安徽省铜陵市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

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（卷面分值：120分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本试卷共4页．答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号写在答卷的密封区内．
2．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须将答案写在答卷的相应题号框内．请保持试卷卷面清洁，不折叠、不破损．
3．考试结束后，请将答卷和答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知直线与直线互相平行，则m为（ ）
A. B. -2C. -2或2D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用两直线平行的性质列方程求出的值，再检验两直线是否重合即可.
【详解】因为直线与直线互相平行，
所以，解得或，
又因为时，两直线重合，不符合题意，舍去.
所以，.
故选：D.
2. 若，则（ ）
A. 3B. 6C. 12D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】先化简得到，转化为导数的定义式，即可求解.
【详解】由，
所以.
故选：A.
3. 在等差数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用等差数列的项的性质及通项公式基本量运算即可求解.
【详解】因为数列为等差数列，且，得，
所以，所以.
故选：A.
4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质分别判断、、与、的大小关系，进而比较、、的大小.
【详解】已知，显然.
对于指数函数，因为e>1，所以在上单调递增.
由于，那么b=e2024303>e0=1.
对于对数函数，因为底数e>1，所以在上单调递增.
，根据对数函数性质（），这里，所以，且，即.
由上述分析可知.
故选：D.
5. 已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考虑只需点位于长轴端点时，，可得，然后可解.
【详解】由对称性可知，，
因为，，
所以当点位于长轴端点时最小，
由题可知，在椭圆上存在一点，使得，
只需当点位于长轴端点时，，即，故，
又，所以椭圆离心率的取值范围为.
故选：B

6. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立关系，再利用导数求出最小值.
【详解】设直线与曲线、曲线相切的切点分别为，
求导得，，则，且，
由，两边取对数整理得：，代入，可得，
令，求导得，
则当时，，当，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以斜率的最小值为.
故选：C
【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.
7. 在空间四边形中，点在线段上，且为的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的基本运算分解向量即可.
【详解】因点在线段上，且，则，
因为的中点，则，
则.
故选：B.
8. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为：如果在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，那么称为、两点间的“曼哈顿距离”．已知为常数，动点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义构造分段函数，分段分析即可得到函数的最小值.
【详解】由题意得，，令，则，，
令，则，
当时，在上单调递减，故当时，取到最小值；
当，，在上单调递增，；
当时，在上单调递增，故当时，取到最小值，
综上，的最小值．
故选：A．
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数的求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案.
【详解】对于A,，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
10. 如图，四棱锥底面是边长为4的正方形，若点M在四边形内（包含边界）运动，N为的中点，，，则（ ）．

A. 当M为的中点时，异面直线与所成角为
B. 当平面时，点M的轨迹长度为
C. 当与平面所成的角是时，点M到的距离可能为
D. 点Q是四棱锥外接球上的一点，则的最大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，建立适当的空间直角坐标系，求得，判断它是否为0即可；对于B，通过分析得知点M的轨迹是过点O与平行的线段，比较的长度和即可；对于C，点M的轨迹以中点K为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如图），只需比较弧上点到距离的最小值和的大小即可判断；对于D，，根据的最大值即可判断.
【详解】对于A，因为为正方形，连接与，相交于点O，连接，
则，，两两垂直，
故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，
N为的中点，则．
当M为的中点时，，，，

设异面直线与所成角为，
，，故，A正确；
对于B，设Q为的中点，N为的中点，

则，平面，平面，则平面，
又平面，，平面，
又，设，
故平面平面，平面平面，
平面平面，则，
则H为的中点，点M在四边形内（包含边界）运动，则，
点M的轨迹是过点O与平行的线段，长度为4，B不正确；
对于C，即点M的轨迹以中点K为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如图），

K到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为，
因为，所以存在点M到的距离为，C正确；
对于D，，的最大值，D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：解题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，准确画出图形，利用向量方法解决几何问题.
11. 双曲线的左、右焦点分别，，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为Ⅰ，过作直线PI的垂线，垂足为D，则（ ）
A. I到x轴的距离为aB. 点D的轨迹在圆上
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出基本图形，结合内切圆的性质和切线长定理，双曲线的第一定义可证的横坐标为判断A的真假；结合双曲线的定义，判断点轨迹，可判断B的真假；由内切圆性质易得，判断C项；由，可得为直角三角形，结合双曲线、椭圆的第一定义，勾股定理，可判断D项.
【详解】如图：
对于A，设圆与的三边，，的切点为，，.则
，
即，又，所以，所以，即到轴的距离为，故A错误；
对于B，过作直线的垂线，垂足为D，延长交于点，由内切圆及垂线性质可知，，则为中点且，连接，由中位线定理可知，故点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上，故B正确；
对于C，若，则等价于，即，又为双曲线的离心率，所以，故，故C正确；
对于D，若，设椭圆的长半轴长为，由可知：为直角三角形，，
因为，即，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题难度较大，作图，设切点，连接是关键，重点考查了双曲线第一定义，椭圆第一定义，内切圆的性质，切线长性质，主要应用了转化与划归的数学思想，解决此类题目，多角度，全方位的看待问题至关重要.可总结如下：
1、圆锥曲线相关的几何问题，第一定义，关系式需优先考虑；
2、双曲线上一点到两焦点组成三角形的内切圆圆心的横坐标的绝对值为.
第Ⅱ卷（主观题 共92分）
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知直线的方向向量，平面的法向量.若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，则，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为直线的方向向量，平面的法向量，
又，所以，
则，解得.
故答案为：
13. 已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为__________．
【答案】15
【解析】
【分析】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为，当最大时，则，最后由三角形的面积公式即可求解.
【详解】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为，
又圆心坐标为，所以，
又半径为，则当最大时，，
此时的面积也最大，最大值为．
故答案为：15.
14. 已知函数和的图像有交点，则取最小值时，的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到有零点，设零点为t，得到，设点是直线l：上任意一点，原点到直线距离为和原点到点P的距离有，再求得h的最小值即可.
【详解】因为函数和的图像有交点，
所以有零点，
设零点为t，则，即，
设点是直线l：上任意一点，
则原点到直线的距离为，所以原点到点P的距离有，
设，则，，
当时，，在上递减；
当时，，在上递增，
所以，由，解得，
所以直线的斜率为，所以，
故答案为：
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若，讨论的零点个数．
【答案】（1）极大值，极小值；
（2）当或时，函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.
【解析】
【分析】（1）根据题意求函数的导函数，利用单调性求极值即可；
（2）将函数零点转化成函数图象的交点，设新函数，求导分析单调性和极值，得到函数图象，分类讨论在不同取值范围时交点的个数，即所求零点个数.
【小问1详解】
由题意，，则.
所以，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以在处取得极大值，在处取得极小值.
【小问2详解】
由题意，，
令，则.
设，则
所以，当时，，单调递增；
当或时，，单调递减.
所以，在处取得极小值，在处取得极大值.
如图，

所以，当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点
16. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面.是等腰三角形，且.在梯形中，，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由线线平行得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，由面面垂直得到线面垂直，得到各点坐标，求出两平面的法向量，从而求出两平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
证明：∵，平面，平面，
∴平面.
【小问2详解】
以为原点，以，及平面过的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系.

∵是直角梯形，，，，，，
∴，，
∴，
取的中点，连接，故，又，
∴⊥，
∵平面⊥平面，两平面交线为，平面，
∴⊥平面，
∴点到直线的距离为，
∴点到平面的距离为2.
∴，，
∴，，，
设平面的法向量为，平面的法向罣为，
则，
解得，令，则，故，
，
令可得，故，
设平面与平面的夹角为，
则.
∴平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的方程；
（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可；
（2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可；
【小问1详解】
由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为，
右焦点到渐近线的距离，解得，
由离心率，又，解得，
双曲线的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为：，
联立，
恒成立，，
直线与双曲线的右支交于两点，，解得.
，
.

18. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对，恒成立，求a取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，由，求得或，分，，和，四种情况讨论，结合的符号，求得的单调区间；
（2）根据题意，转化为在上恒成立，设ℎx=(lnx−x+1)xex,x>1，求得，再令φx=lnx−x+2,x>0，求得，得出函数的单调性，结合φe>0,φe21，可得，
令φx=lnx−x+2,x>0，可得，
令，解得；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
且φe=3−e>0,φe2=4−e2