广东省东莞市海逸外国语学校2024-2025学年高二下学期3月月考检测 数学试卷（含解析）

这是一份广东省东莞市海逸外国语学校2024-2025学年高二下学期3月月考检测 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答， 函数的极大值点是， 已知函数的导函数为，且，则， 下列函数求导运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度．
【详解】对求导，得，，
因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A．
【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．
2. 三名防控新冠疫情志愿者分别报名参加甲､乙两个社区服务，每个人限报其中一个服务社区.则不同的报法种数是（ ）
A. 12种B. 9种C. 8种D. 6种
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2种选择，结合分步计数原理计算即可得到答案.
【详解】由题意可知，每名防控新冠疫情志愿者有2种选择，即2种情况，则不同的报法种数是种，
故选：C.
3. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数图象判断函数单调性，进而得出函数的极大值点个数.
【详解】依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，
当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；
当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；
当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；
当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.
因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值.
故选：B
4. 已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的定义求出抛物线在点处的切线的斜率，即可得出该切线的倾斜角.
【详解】抛物线在点处的切线的斜率为
，故切线的倾斜角为．
故选：B.
5. 函数的极大值点是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数研究函数的区间单调性求极大值点即可.
详解】由题设，当时，当或时，
所以在、上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值点是1.
故选：B
6. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参.
【详解】因为曲线，所以
所以在点处的切线斜率为，
直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以.
故选：B.
7. 已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过求导可求得，由此可得结果.
【详解】∵，
∴，
∴，解得，
∴，故.
故选：D.
8. 若曲线与直线有3个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】曲线与直线有3个不同的交点，等价于有3个零点，根据的极大值大于0极小值小于0列不等式组求解即可.
【详解】曲线与直线有3个不同的交点，则有3个不同的解，
令，则有3个零点，可得，
若，，则是单调递增函数，不可能有3个零点，
时，由得，则，
当时，，当，，
所以在上递增，在上递减，在上递增.
要使有3个零点，则的极大值大于0，极小值小于0
即，解得.
即实数的取值范围是
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
9. 下列函数求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式判断各项的正误.
【详解】A：，错误；
B：，正确；
C：，正确；
D：，正确．
故选：BCD
10. 设函数，则（ ）
A. 函数有两个极值点
B. 函数有两个零点
C. 直线是曲线的切线
D. 点是曲线的对称中心
【答案】ABD
【解析】
【分析】求导，确定函数单调性极值，即可判断AB，由导数的几何意义可判断C，由对称中心的概念可判断D;
【详解】
令解得，令解得或，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
因为，极大值，且极小值，
所以函数有两个极值点，有两个零点，故AB正确，
令即，，无解；
故C错误；
，
所以，即点是曲线的对称中心，正确；
故选：ABD
11. 已知数学0，1，2，3，4，用它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A. 可以组成无重复数字的四位数96个B. 可以组成有重复数字的四位数404个
C. 可以组成无重复数字的四位偶数66个D. 可以组成百位是奇数的四位偶数28个
【答案】AB
【解析】
【分析】由两个计数原理逐个判断即可；
【详解】对于A，可以组成无重复数字的四位数（个），A正确；
对于B，可以组成有重复数字的四位数（个），B正确；
对于C，若个位数为0，则有（个），
若个位数不为0，则有（个），
所以可以组成无重复数字的四位偶数（个），C错误；
对于D，可以组成百位是奇数的四位偶数（个），D错误．
故选：AB
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 定义在上的函数满足：，若曲线在处的切线方程为，则该曲线在处的切线方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得出，且，再根据得出和，即可求解．
【详解】因为曲线在处的切线方程为，
所以，且，
又，所以为偶函数，且，
所以，，
所以该曲线在处的切线方程为，即，
故答案为：．
13. 设函数在处的导数存在，且，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的定义计算直接得出结果.
详解】.
故答案为：
14. 如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有__________.
【答案】48
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
【详解】根据题意，对于区域A，有4种涂色方法，对于区域B，有3种涂色方法，
对于区域C，有2种涂色方法，对于区域D，有2种涂色方法，
则由分步乘法计数原理可得种涂色方法.
故答案为：48
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知曲线，
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程.
【小问1详解】
解：由函数，可得，可得，
即曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
所以切线方程为，
又因为在直线上，所以，
即，解得或.
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.
16. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值;
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）极大值，极小值.
（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，对求导，得到的单调性，再根据极值的定义即可得出答案.
（2）由题意知在上恒成立，分，和，分离参数，求出函数的最值即可得出答案.
【小问1详解】
，，
令可得：或，
令可得：，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值.
【小问2详解】
由题意知在上恒成立，当时，显然成立;
当时，，函数在上单调递减，
当时，，所以.
当时，，函数在上单调递减，
当时，，所以.
综上可知:求的取值范围为.
17. 已知，.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若，使，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意结合导数依次求出即可由直线点斜式方程求解；
（2）先由得到，构造函数，利用导数求出即可由存在性得解.
【小问1详解】
时，，
所以，所以切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为即.
【小问2详解】
因为，使得即，
所以，令，则，
所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，
所以，所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，
所以.
18. 茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．总书记强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足．
（1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？
【答案】（1）；（2）当年产量为1百件，最大利润为25万元.
【解析】
【分析】（1）由题意得可得，代入化简，即可得答案.
（2）由（1）得，，利用导数求得的单调性及最值，分析整理，即可得答案.
【详解】解：（1）依题意得：
（2）由（1）得，，
则，
令，得或（舍去）
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有
答：当年产量为1百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为25万元．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分和，两种情况分类讨论得出导函数的正负即得函数单调性；
（2）先化为恒成立，应用导数求右侧的最值，即可得参数范围.
【小问1详解】
因为，所以.
因为，若，即时，在上单调递增，
若，即时，令，得；
令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
因为，恒成立，
所以，则，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
又，所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
所以，实数的取值范围为.