河北省沧州市沧县中学2025年高考数学模拟试卷（含解析）

这是一份河北省沧州市沧县中学2025年高考数学模拟试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足z=2+i1−i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.若集合A={x| x0)的焦点到直线y=x−1的距离为 2，则p=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知sin(α−π6)=13，则cs(2π3−α)=( )
A. −13B. 13C. −2 23D. 2 23
5.已知△ABC中，AB=3AC=6，∠BAC=60°，点D在边BC上，∠BAD=30°，则AD的长为( )
A. 3 24B. 3 34C. 3 32D. 3 3
6.已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，则( )
A. f(0)=1B. f(1)=−1C. f(2)=0D. f(3)=0
7.已知正实数m，n满足mn=2，则1m+2n+92m+n的最小值为( )
A. 2 2B. 3C. 3 2D. 4
8.已知当x>0时，不等式lnxekx+1≤kxx+1恒成立，则实数k的最小值为( )
A. 1eB. 1C. 2D. e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某一批产品的长度测试结果满足正态分布N(20,σ2)，则下列说法正确的是( )
A. σ越大，这一批产品的长度测试结果在(19,21)内的概率越大
B. 这一批产品的长度测试结果大于20的概率为12
C. 这一批产品的长度测试结果在(20.1,20.2)内的概率和在(19.8,19.9)内的概率相等
D. 这一批产品的长度测试结果大于19.5的概率与小于21.5的概率相等
10.已知函数f(x)=13x3−x2−3x+1，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)有两个极值点
B. 函数f(x)有三个零点
C. 函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称
D. 直线9x+3y+1=0是曲线y=f(x)的一条切线
11.如图，在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=AA1=12B1C1，若该正三棱台ABC−A1B1C1的体积为14 23，则下列说法正确的是( )
A. A1B1=2
B. BB1⊥A1C1
C. 正三棱台ABC−A1B1C1外接球的表面积为22π
D. 平面ABC与平面ABB1A1夹角的正弦值为2 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线x23−y26=1的渐近线方程为______．
13.现有一枚质地均匀的骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)，投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为______．
14.设正整数n=a0⋅30+a1⋅31+a2⋅32+…+ak⋅3k，其中ai∈{0,1,2}(i=0，1，2，…，k)，记M(n)=a0+a1+a2+…+ak，当n≥3，n∈N*时，M(3n+1−372)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=4，2Sn=(n+1)an．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=1anan+1+an，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题12分)
在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b−aa=sin2B−sin2Csin2A．
(1)求角C的大小；
(2)若c=2，求△ABC周长的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，BB1=B1C1=2A1B1=4，∠BB1A1=∠C1B1A1=60°．
(1)求证：平面A1BC1⊥平面ABCD；
(2)求点D到平面A1BC1的距离；
(3)若cs∠BB1C1=14，求直线B1D与平面BB1C1C所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−mlnx．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)没有零点，求实数m的取值范围；
(3)若函数g(x)=(m−2)x，满足f(x)=g(x)有两个不同的实数根，求正整数m的最小值．
19.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为4 3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P为曲线x2+y2=7上一点，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，求：
①∠APB；
②△APB面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵z=2+i1−i=(2+i)(1+i)(1+i)(1−i)=12+32i，
∴复数z在复平面内对应的点(12,32)位于第一象限．
故选：A．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：集合A={x| x0)的焦点(0,p2)到直线y=x−1的距离为 2，
所以|p2+1| 2= 2，
即|p2+1|=2，
又p>0，
解得p=2．
故选：B．
利用抛物线标准方程形式得焦点坐标为(0,p2)，再结合题设条件，即可求解．
本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查诱导公式，主要考查学生的数学运算能力，属于基础题．
利用诱导公式可得sin (α−π6)=cs (2π3−α)．
【解答】
解：cs2π3−α=cs [π2−(α−π6)]=sinα−π6=13．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：因为∠BAC=60°，∠BAD=30°，
所以∠BAD=∠CAD=12∠BAC，即AD是∠BAC的平分线．
根据三角形的内角平分线定理，可得BDCD=ABAC=3，即BD=34BC．
所以AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC−AB)=14AB+34AC，
两边平方得AD2=(14AB+34AC)2=116AB2+916AC2+38AB⋅AC=116×62+916×22+38×6×2cs60°=274，
所以|AD|= AD2=3 32，即AD的长为3 32．
故选：C．
根据三角形的内角平分线定理，结合向量的线性运算法则推导出AD=14AB+34AC，然后根据平面向量数量积的运算性质与向量模的公式算出AD的长．
本题主要考查三角形内角平分线定理、平面向量的线性运算、向量数量积的运算性质与向量模的公式等知识，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数
所以f(−x+1)=−f(x+1)，
即f(1−x)=−f(1+x)，所以f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，所以f(1)=0．
又因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(−x+2)，
即f(2+x)=f(2−x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(3)=0．
故选：D．
利用函数f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数的条件，建立关于f(x)的方程，通过代入特定值推导各选项的函数值即可．
本题考查函数的奇偶性相关知识，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为mn=2，m>0，n>0，
则1m+2n+92m+n=1m+m+92m+2m，
设1m+m=t，则t≥2，原式为t+92t≥2 t×92t=3 2，
当且仅当t=3 22时等号成立，此时1m+2n+92m+n的最小值为3 2．
故选：C．
利用基本不等式可得最值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题目：已知当x>0时，不等式lnxekx+1≤kxx+1恒成立，
因为lnxekx+10；x∈(e,+∞)时，M′(x)0；当x∈(−1,3)时，f′(x)0时，函数f(x)在(0, 2m2)上单调递减，在( 2m2,+∞)上单调递增；
[0,2e)；
3．
【解析】解：(1)函数f(x)=x2−mlnx的定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=2x−mx=2x2−mx，
当m≤0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当m>0时，令f′(x)=0，可得x= 2m2，
所以函数f(x)在(0, 2m2)上单调递减，在( 2m2,+∞)上单调递增；
综上，当m≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当m>0时，函数f(x)在(0, 2m2)上单调递减，在( 2m2,+∞)上单调递增；
(2)由(1)可得，当m0时，函数f(x)在(0, 2m2)上单调递减，在( 2m2,+∞)上单调递增，
所以要使得f(x)没有零点，则f(x)的最小值f( 2m2)=m2−mln 2m2>0，
计算可得00，F(1)=0，
所以m=3时，f(x)=g(x)有两个不同的实数根，
综上所述，正整数m的最小值为3．
(1)求导，直接判断函数单调性；
(2)根据函数单调性及零点存在定理可得参数范围；
(3)构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合零点存在定理可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】x24+y23=1；
①∠APB=90°；②[97,167]．
【解析】解：(1)由题意知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点坐标分别为(−a,0)，(a,0)，(0,−b)，(0,b)，
所以该四边形的面积为12×2a×2b=4 3，
设椭圆离心率为c，因为椭圆C的离心率e=12，故ca=12，
联立ab=2 3ca=12a2=b2+c2，解得a=2，b= 3，c=1，
则椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)①当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为y=kx+m(k≠0)，
设P(x1,y1)，则m=y1−kx1,x12+y12=7，
联立y=kx+mx24+y23=1，消去y并整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2−12=0，
则Δ=64k2m2−4(4k2+3)(4m2−12)=0，即m2=4k2+3，
将m=y1−kx1代入上式，得关于k的方程(x12−4)k2−2x1y1k+y12−3=0，
则Δ1=4(3x12+4y12−12)>0(P在椭圆x24+y23=1外)，
kPA，kPB为该方程的两个根，故kPA⋅kPB=y12−3x12−4=7−x12−3x12−4=−1，
即PA⊥PB，所以∠APB=90°；
假设有一条切线斜率不存在，不妨假设PB斜率不存在，则不妨设PB过椭圆的右顶点，
则直线PB的方程为x=2，则P点坐标为(2,± 3)，
显然此时A点取椭圆的短轴顶点(0,± 3)，则直线PA的方程为y=± 3，
此时满足PA与椭圆相切，且PA⊥PB，所以∠APB=90°．
综上所述，∠APB=90°．
②先证明：椭圆C：x2a2+y2b2=1,(a>b>0)上一点Q(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1．
设切线方程为y=y0+k(x−x0)，
与椭圆标准方程联立得x2a2+(y0+kx−kx0)2b2=1，
整理得(a2k2+b2)x2+2a2(ky0−k2x0)x+a2(y02+k2x02−2⁢⁢⁢kx0y0−b2)，
因为直线与椭圆相切，
则Δ=(2a2(ky0−k2x0))2−4a2(a2k2+b2)(y02+k2x02−2kx0y0−b2)=4a2b2(a2k2−y02−k2x02+2kx0y0+b2)=0，
因为ab≠0，故(x02−a2)k2−2x0y0k+y02−b2=0，
Δ0=4x02y02−4(x02−a2)(y02−b2)=a2b2−a2y02−b2x02，
由于Q(x0,y0)在椭圆C上，有x02a2+y02b2=1，即a2y02+b2x02=a2b2，所以x02=a2(1−y02b2)，
所以Δ0=0,k=x0y0x02−a2=b2x0a2y0．
将k代入原切线方程，得y=y0+b2x0a2y0(x−x0)，
整理得x0xa2+y0yb2=1．
所以过椭圆上一点Q(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1．
设A(x2,y2)，B(x3,y3)，故A，B处的切线方程分别为x2x4+y2y3=1,x3x4+y3y3=1，
由于两切线均经过P(x1,y1)，因此x1x24+y1y23=1,x1x34+y1y33=1，
因此A(x2,y2)，B(x3,y3)均满足直线x1x4+y1y3=1，故直线AB的方程为x1x4+y1y3=1，
联立x1x 4+y1y3=1x24+y23=1，消去y得(3x12+4y12)x2−24x1x+48−16y12=0，
Δ2=(24x1)2−4(3x12+4y12)(48−16y12)=64y12(3x12+4y12−12)>0，
则x2+x3=24x13x12+4y12，x2x3=48−16y123x12+4y12，
故|AB|= 1+kAB2⋅ (x2+x3)2−4x2x3= 1+9x1216y12×8|y1| 3x12+4y12−123x12+4y12
=2 9x12+16y12 3x12+4y12−123x12+4y12，
又点P到直线AB的距离d=|3x12+4y12−12| 9x12+16y12，
故△APB的面积S△APB=12|AB|d= 9x12+16y12 3x12+4y12−123x12+4y12⋅|3x12+4y12−12| 9x12+16y12
=(3x12+4y12−12) 3x12+4y12−123x12+4y12，
又x12+y12=7，故令t= 3x12+4y12−12= y12+9，t∈[3,4]，
则S△APB=t3t2+12=11t+12t3，
令f(t)=1t+12t3，显然f(t)在[3,4]上单调递减，故y=11t+12t3在[3,4]上单调递增，
则(S△APB)min=1f(3)=2721=97，(S△APB)max=1f(4)=6428=167，
即S△APB的取值范围为[97,167]．
(1)根据椭圆的几何性质即可联立方程求解a，b，c的值得解；
(2)根据直线有无斜率，可结合直线方程以及斜率公式求解PA⊥PB，即可得解①，根据圆的切点弦可得直线AB的方程为xx14+yy13=1，即可联立与椭圆的方程得韦达定理，根据弦长公式以及点到直线的距离公式得面积的表达式，由换元法以及函数的单调性，即可求解②．
本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．