【数学】河北省沧州市2025届高三模拟预测试题（解析版）

这是一份【数学】河北省沧州市2025届高三模拟预测试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故或，
则或，又，
则.
故选：C.
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】由，得．
所以的虚部为，
故选：D．
3. 已知，，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，得，，所以．
故选：B．
4. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】．
故选：A．
5. 定义在上的函数其导函数为，若为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为为偶函数，则，
两边同时求导得，
将代入上式得，，得．
故选：A.
6. 已知为等差数列，若，则（ ）
A. 36B. 48C. 60D. 72
【答案】D
【解析】已知为等差数列，
．
故选：D．
7. 某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意甲最终通过测试包括，第一次答对，其概率为，第二次答对，其概率为，
第三次答对，概率为，
记事件甲最终通过测试，事件甲回答两次，则，，
由条件概率公式可得.
故选：B．
8. 已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆，以椭圆右顶点为圆心，以长轴长为直径作圆，过动点作直线与圆切于点，作直线与圆切于点，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得圆，圆，设圆，的圆心分别为，．直线与圆切于点，作直线与圆切于点，
在和中，
，，则得，，整理得，
所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆落在圆，外面的部分．
利用得，
故实数取值范围为．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ）
A.
B. 该场观众年龄平均数的估计值为30
C. 该场观众年龄众数的估计值为35
D. 该场观众年龄60%分位数的估计值为34
【答案】ACD
【解析】∵，
∴，A选项正确；
，B选项错误；
由频率分布直方图可知该场观众年龄众数的估计值为35，C选项正确；
∵，，
∴该场观众年龄60%分位数的估计值为，
∴，
∴，D选项正确.
故选：ACD.
10. 平面内由满足的点形成曲线（ ）
A. 上的点与原点的最近距离为B. 上的点与原点的最远距离为
C. 的周长为D. 围成区域的面积为
【答案】BD
【解析】由在曲线：上，故均在曲线上，故曲线关于坐标原点以及轴对称，
由对称性，当，时，知曲线为，故为以为圆心，以为半径的圆在第一象限和轴轴上部分．
由于经过坐标原点，所以最远距离为，
因此，上的点与原点的最近距离为1，最远距离为，故A错，B正确，
满足的点组成如图，可求得围成的图形的周长为四个半圆的周长，故长度为，围成区域面积为，故C错误，D正确，
故选：BD．
11. 如图设二面角的大小为，在平面内有一条射线，它和棱的夹角为，和平面所成的角为，射线在面内射影和棱的夹角为，则（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】依题意，平面，平面，则，作于，
连，因平面，于是平面，
而平面，则，故是二面角的平面角，
，，
因此，，
，，
，，
所以，，AD正确，BC错误

故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 展开式中的常数项为________．
【答案】15
【解析】由题意知，二项式定理展开式的通项公式为：，
令，得，则常数项为：.
故答案为：15
13. 已知函数，函数，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】由题意，设，
，，故．
设，，
，在时，，所以在单调递减．
在时，，所以在单调递增．
所以，的最小值为．则的最小值为．
故答案为：．
14. 若按照某对应法则，平面点集中的每一点都有唯一的实数与之对应，则称为上的二元函数．且称为的定义域，点对应的为在点的函数值，记作．若点的横，纵坐标，均为整数，称点为整数点．现有，则函数的最小值为________，方程的整数点为________．
【答案】①. ②. ，
【解析】，
因为，，
所以的最小值为，此时，．
又，
若有解，故存在实数使有解，
需满足，整理得，满足条件的整数，
所以的整数解的，，解得或，
则的整数解有，．
故答案为：；；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某AI公司为了解用户对于公司手机APP软件使用的满意情况，在五个不同地区随机抽取用户进行调研，调查结果如表：
（某区满意率是指：该区调研用户中满意人数与该区调研用户总人数的比值）
假设用户是否满意相互独立．
（1）从所有的调研用户中随机抽取1人，求这个用户满意的概率；
（2）用上表数据中每地区使用软件的满意率估计该地区某用户使用软件满意的概率．从I区所有使用该软件的用户和II区所有使用该软件的用户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；
解：（1）由题意知，样本中五个地区的回访用户的总数是：
，
满意的用户人数，
故所求概率为．
（2）根据题意，．
设事件为“从I区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”，
事件为“从II区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件．
根据题意，估计为0.5，估计为0.3.
则；
；
．
的分布列为
的期望．
16. 已知函数在点处的切线斜率为．
（1）求在点处的切线方程；
（2）若，求证：．
（1）解：因为，则,，
又在点处的切线斜率为，
则，即，解得，
所以，则，
故在处的切线方程为．
（2）证明：由（1）知，则，
要证，即证，即，
设，得，
令，则，
因为，故恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以时，，时，，
则在区间上单调增减，在区间上单调增增，
所以的最小值为，所以．
即.
17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
（1）证明：由得，
由正弦定理得．
，
得，
即．
因为，为三角形内角，
所以，或（舍去），
∴．
（2）解：∵，
由正弦定理，得，，
∴．
又∵，∴，
得．
因为为锐角三角形，则，且，
则，，
解得，．
∴．
所以周长的取值范围为．
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为直角，侧面为等腰直角三角形，平面平面，且，．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在内（不含边界）是否存在点，使直线与直线、所成的角均为，若存在，求点到点的距离；若不存在，请说明理由．
（1）证明：∵底面为直角梯形，，为直角，
，，
∴，，得，所以，
又∵平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，∴，
又∵侧面为等腰直角三角形，，
∴，，
∴平面，又平面，所以．
（2）解：（法一）由题意可知四边形为直角梯形，
延长，交与点，连接．
则平面平面，
过点作，垂足为，连接，
由（1）知平面，平面，
则，又，，所以平面，平面，则．
所以为平面与平面夹角．
在直角梯形中，，，，
得，，，可解得，
所以在中，，
则平面与平面夹角的余弦值为．
（法二）∵平面平面，平面平面，
可过点作垂足为，
由题意知为等腰直角三角形，故点为线段的中点，且，
分别以过点与直线，平行的直线为轴，轴，
以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：因点在内（不含边界），可设，，
由（2）知，，，，
则，
，
又直线与直线、均成角，则，
又由题意知，所以，即，
得，
整理得，即或．
又由，得，即，
①当时，由，得到，解得或，
当时，，
因为点在内（不含边界），得，，．故，舍去．
当时，，此时符合题意，，得到，
②当时，得，
所以，解得．此时．
因为点在内（不含边界），得，，，
故，舍去．
综上存在点在内（不含边界），使得直线与直线、均成角，且点到点的距离为．
19. 双曲线过点，离心率 ，，为双曲线的左右焦点．
（1）双曲线上一动点到右焦点的距离和点到直线的距离的比为定值，求的值；
（2）当点在双曲线右支上时，求内切圆的标准方程；
（3）作直线与的左支交于点，得到，然后作直线交双曲的右支于，得到，再作直线与的左支交于点，得到，再作直线交双曲的右支于，得到，依此方法一直继续下去．设的内切圆为，的内切圆为，的内切圆为，的内切圆为，证明圆的周长和小于．
（1）解：由题意可知，解得，，．
所以双曲线方程为．
动点到右焦点距离和点到直线的距离的比为定值，
得．
两边平方得①
又代入①
得，解得．
（2）解 ：的圆心记为，分别过点作垂直于于点，垂直于与点，垂直于与点，
由题意可知，，，
所以
，
∴，即是双曲线的右顶点．可知的内切圆圆心横坐标均为2．
由（1）知到右焦点的距离和点到直线的距离的比为定值．
，则．
设的内切圆半径为，
由等面积法得，
得，所以的内切圆圆心为，半径为．
圆的方程为．
（3）证明：由（2）知的内切圆方程为，且右支上的点与，构成的三角形内切圆圆心横坐标均为2．则由双曲线对称性，得左支上的点与，构成的三角形内切圆圆心横坐标均为．
设为奇数，
如图设为按题意中方法依次所作两个三角形，的内切圆圆心，设圆，的半径分别为，，可得，，且，与点共线，均在的角平分线上，所以，
由双曲线的对称性，为偶数时，同样得到，
又，所以的半径构成以2为首项，为公比的等比数列．
即．
则圆的周长和为
．地区
I区
II区
III区
IV区
V区
调研用户（人数）
250
100
200
500
350
满意率
0.5
0.3
0.7
0.6
0.5
0
1
2
0.35
0.5
0.15