湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析

这是一份湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析，共9页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.若角α的终边在直线 y=-x 上,则角α的取值集合为( )
A.
B.
C.
D.
2.函数 f(x)=sin 在区间 上的最小值为( )
A.-1 B.-
C. D.0
3.函数 y=sin 在区间 上的简图是( )
4.正六边形 ABCDEF 中,用 和 表示 ,则 =( )
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A.- B.-
C.- D.-
5.已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 ,那么|4a-b|=( )
A.2 B.6
C.2 D.12
6.在△ABC 中,| |=3,| |=2, ,则直线 AD 通过△ABC 的( )
A.重心 B.外心
C.垂心 D.内心
7.若复数 是纯虚数,则实数 a=( )
A.- B.
C.- D.
8.若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则 a=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.(多选题)已知函数 f(x)=3sin x-4cs x,若 f(α),f(β)分别为 f(x)的极大值与极小值,则( )
A.tan α=-tan β B.tan α=tan β
C.sin α=-sin β D.cs α=-cs β
10.(多选题)已知点 O 在△ABC 所在的平面内,则以下说法正确的有( )
A.若 =0,则点 O 为△ABC 的重心
B.若 =0,则点 O 为△ABC 的垂心
C.若( )· =( )· =0,则点 O 为△ABC 的外心
D.若 ,则点 O 为△ABC 的内心
11.(多选题)已知两个复数 z1,z2 满足 z1z2=i,且 z1=1-i,则下面说法正确的是( )
A.z2= B.|z1|=
C.|z1+z2|≥2 D. =-i
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
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12.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数 y=a+Acs
(x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高为 28 ℃,12 月份的月平均气温最低为 18
℃,则 10 月份的平均气温为 ℃。
13.已知点 P,Q 分别是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的中点, =a, =b,且 a,b 是不共线
的向量,则向量 。
14.在复平面内,O 为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点 A 关于直线 y=-x 的对称点为 B,则
向量 对应的复数为 。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 15.（本小题满分 15 分）
已知函数 f(x)=2cs2x+2 sin xcs x。
(1)求 f 的值;
(2)若 f ,α∈ ,求 cs α的值。
16.（本小题满分 15 分）
已知函数 f(x)=4sin ωxsin -1(ω>0)的最小正周期为π。
(1)求ω及 f(x)的单调递增区间;
(2)求 f(x)图象的对称中心。
17.（本小题满分 15 分）
经过△OAB 的重心 G 的直线与 OA,OB 分别交于点 P,Q,设 , (m
>0,n>0)。
(1)证明: 为定值;
(2)求 m+n 的最小值。
18.（本小题满分 16 分）
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已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(sin A,sin B),n=(cs B,cs A),m·n=sin 2C。
(1)求角 C 的大小;
(2)若 sin A,sin C,sin B 成等差数列,且 ·( )=18,求 c。
19.（本小题满分 16 分）
在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cs Csin(A-B)=cs Bsin(C-A)。
(1)求 tan A 的最小值;
(2)若 tan A=2,a=4 ,求 c。
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高一数学试题答案
一、选择题：
1.D 解 析 如 图 可 知 ,角 α的 取 值 集 合 为
故选 D。
2.B 解析 由已知 x∈ ,得 2x- ,所以 sin ,
故函数 f(x)=sin 上的最小值为- 。故选 B。
3.A 解 析 令 x=0,得 y=sin ,排 除 B,D 项 ,当 x∈ 时 ,-
,在此区间上函数不会出现最高点,排除 C 项。故选 A。
4.B 解 析 设 边 长 为 2,如 图 ,设 AD,EC 交 于 点 O,则 OD=1,AO=3,得
( )+ ( )=- 。故选 B。
5.C 解析 |4a-b|2=16a2+b2-8a·b=16×1+4-8×1×2×cs =12。所以|4a-b|=2 。故选 C。
6.D 解析 因为| |=3,| |=2,所以 , ,则|
|。因为 ,所以 AD 平分∠EAF,所以 AD 平分∠BAC,
所以直线 AD 通过△ABC 的内心。故选 D。
7.A 解 析 i,因 为 是 纯 虚 数 ,所 以
得 a=- 。故选 A。
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8.C 解析 因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以 解得 a=1。故选 C。
二、选择题：
9.BCD 解析 对于 A,B,由题意,得 f'(x)=3cs x+4sin x,因为 f(α),f(β)分别为 f(x)的极大值与
极小值,所以 f'(α)=f'(β)=0,即 3cs α+4sin α=0,3cs β+4sin β=0,所以 tan α=tan β=- ,故 A 不正确
,B 正确;对于 C,f(x)=3sin x-4cs x=5sin(x-φ),其中 sin φ= ,cs φ= ,因为 tan α=tan β,且α,β分别
为 f(x)的极大值点与极小值点,所以由正弦函数的图象知β=α+π+2kπ(k∈Z),所以 sin β=sin
(α+π+2kπ)(k∈Z),cs β=cs(α+π+2kπ)(k∈Z),即 sin β=-sin α,cs β=-cs α,故 C,D 正确。综上所
述,选 BCD。
10.AC 解析 选项 A,设 D 为 BC 的中点,由于 =-( )=-2 ,所以 O 为 BC 边上
中线的三等分点(靠近点 D),同理可证 O 为 AB,AC 边上中线的三等分点,所以 O 为△ABC 的重
心,选项 A 正确;选项 B,向量 , 分别表示在边 AC 和 AB 上的单位向量,设为 ,和 ,
则它们的差是向量 ,则当 · =0,即 时,点 O 在∠BAC 的平分
线上,同理由 · =0,知点 O 在∠ABC 的平分线上,故 O 为△ABC 的内心,选项
B 错误;选项 C,由( )· =0,得( )·( )=0,即 ,故|
|,同 理 有 | |,于 是 O 为 △ ABC 的 外 心 ,选 项 C 正 确 ;选 项 D,由 ·
· ,得 · · =0,所以 ·( )=0,即 · =0,所以
,同理可证 , ,所以OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的
垂心,选项 D 错误。故选 AC。
11.ABD 解析 因为 z1z2=i,z1=1-i,所以 z2= ,故 A 正确;|z1|= ,|
z2|= ,所以|z1|= ,故 B 正确;因为|z1+z2|=