2024湖北省部分高中联考协作体高一上学期期中考试数学试题含解析

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷﹑草稿纸上无效．
3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，下列关系式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系得答案.
【详解】因为集合
所以，A错误；
，B错误，C正确；
，D错误.
故选：C.
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据交集的定义求解即可.
【详解】集合，，
则.
故选：D.
3. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论得到分段函数解析式，由此可得图象.
【详解】，结合一次函数的图象可知ABC错误；D正确.
故选：D.
4. 设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.
【详解】根据图像，当时，的解为，
因函数为奇函数，
所以当时，若，即，则
所以，解得，
综合得不等式的解集是.
故选：C.
5. 两次购买同一种物品，每次的价格不同可以用两种不同的策略，第种策略每次购买这种物品的数量一定；第二种策略每次购买这种物品所花的钱数一定．则哪种购物方式比较经济？（ ）
A. 第一种B. 第二种C. 都一样D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】设两次购物的价格分别为、，第一种策略：每次购买量为n，第二种策略：每次花钱数为m，计算出按第一种策略购物，两次购物的平均价格，按第二种策略购物，两次购物的平均价格，做差比较大小即可.
【详解】设两次购物的价格分别为、，
第一种策略：每次购买量为n，第二种策略：每次花钱数为m，
若按第一种策略购物，两次购物的平均价格为，
若按第二种策略购物，两次购物的平均价格为，
因为，所以，
所以.
故选：B.
6. 对于函数（，），选取的一组值计算和，所得的正确结果一定不可能是（ ）
A. 3和4B. 2和6C. 1和7D. 4和8
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数奇偶性可知为奇函数，所以可得，验证选项即可得出结论.
【详解】根据题意可知，
所以可得，又，可知一定是偶数，
经检验可知，A选项两数之和为，不是偶数，不合题意；其余选项两数之和均为偶数，符合题意；
故选：A
7. 设、，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设，分析函数在上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件判断可得出合适的选项.
【详解】设，则函数在、上均为增函数，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递增，
若，则，即；
若，则，可得.
因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
8. 已知函数值域为，那么a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式得出在上有，由题意可得，然后求解即可.
【详解】当时，单调递增，所以在上有，
所以要使函数的值域为，
则需，解得.
故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. ，为奇数
B. ，二次函数的图象关于轴对称
C. “”是“”的必要条件
D. 与是同一函数
【答案】BC
【解析】
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，当是整数时，是偶数，故为假命题.
B选项，二次函数的对称轴为轴，所以B选项正确.
C选项，当时，，
所以“”是“”的必要条件，所以C选项正确.
D选项，定义域是，的定义域是，
所以不是同一函数，故为假命题.
故选：BC
10. 设，则（ ）
A. B. （）
C. 在上单调递增D. 的值域为
【答案】ABC
【解析】
【分析】代入以及，即可判断AB；利用增函数的定义，即可判断C；由已知，即可求函数的值域.
【详解】，得，所以函数的定义域为，
，即，故A正确；
，，故B正确；
设，
则，
因为，所以，且，，
所以，即，
所以在上单调递增，故C正确；
由，得，由，得或，
所以函数的值域为，故D错误.
故选：ABC
11. 已知函数的定义域为R，，则（ ）
A. B. C. 是奇函数D. 是偶函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，令得到；B选项，令得到；CD选项，先赋值求出，进而令得到，得到C错误，D正确.
【详解】A选项，中，令得，，A正确；
B选项，中，令得，，
解得，B正确；
CD选项，中，令得，，
解得，
中，令得，
，
函数的定义域为R，故为偶函数，C错误，D正确.
故选：ABD
12. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.
【详解】解：对于A：由，，，则，
所以，解得，
所以，
所以当时，有最小值，故A正确．
对于B：由，，，即，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值是，故B正确；
对于C：由，，，则，所以，解得，
所以，因为，所以，
所以，所以，即，故C错误；
对于D：，
当且仅当，即，时取等号，故D错误；
故选：AB
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数的值域是，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由二次函数图象可知，解方程计算可得.
【详解】根据二次函数性质可知，的最小值为，
所以可得，解得；
故答案为：
14. 已知，且，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：.
15. 已知，函数，若函数与x轴恰有2个交点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出每一段的零点，然后根据函数与x轴的交点情况分类讨论求的取值范围.
【详解】令，得，
令，得或
因为函数与x轴恰有2个交点，
当两个交点为时，，得，
当两个交点为时，，，得，
当两个交点为时，，，不可能，
综合得取值范围是.
故答案为：.
16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则求出函数的图象的对称中心为______；类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论是______.
【答案】 ①. ②. 的图像关于对称的充要条件是为偶函数
【解析】
【分析】根据函数为奇函数，即可求解，根据偶函数的定义，并且类别推广，即可求解推广结论.
【详解】为奇函数，所以且
所以，，
所以函数的图象的对称中心为；
若函数关于对称，则为偶函数，
因为若为偶函数，则，即函数关于对称，
反过来若函数关于对称，则，即为偶函数，
综上可知，命题的推广结论为“的图像关于对称的充要条件是为偶函数”.
故答案为：； 的图像关于对称的充要条件是为偶函数
四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-5=0}.
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若A∪B=A，求实数a取值范围.
【答案】（1）-1或-3；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；
（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；
【小问1详解】
由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}.
因为A∩B={2}，所以2∈B，将x=2代入B中的方程，
得a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3，
当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2，2}，满足条件；
当a=-3时，B={x|x2-4x+4=0}={2}，满足条件，
综上，实数a的值为-1或-3；
【小问2详解】
对于集合B，=4（a+1）2-4（a2-5）=8（a+3）.
因为A∪B=A，所以B⊆A.
当<0，即a<-3时，B为空集，满足条件；
当=0，即a=-3时，B={2}，满足条件；
当>0，即a>-3时，B=A={1，2}才能满足条件，
则由根与系数的关系，得1+2=-2（a+1），1×2=a2-5，
解得a=-，且a2=7，矛盾.
综上，实数a的取值范围是.
18. 已知集合，．
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）命题q：，是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论和，根据条件列出不等式组求解m的取值范围；
（2）将条件转化为，进而求出m的取值范围.
【小问1详解】
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，实数m的取值范围为
【小问2详解】
由题意，所以即，
此时.
为使，需有，即.
故实数m的取值范围为
19. 已知函数f(x)＝的定义域为R.
（1）求a的取值范围；
（2）若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.
【答案】（1）[0，1]；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数f(x)＝的定义域为R，转化为ax2＋2ax＋1≥0恒成立求解.
（2）根据f(x)＝，结合f(x)的最小值为，解得a＝，然后将不等式x2－x－a2－a<0转化为x2－x－<0,，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】（1）因为函数f(x)＝的定义域为R.
所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有
解得0综上可知，a的取值范围是[0，1]．
（2）因为f(x)＝＝
因为a>0，所以当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意得，＝，所以a＝，
所以不等式x2－x－a2－a<0可化为x2－x－<0.
解得－所以不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20. 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量（升与速度（千米每小时）的关系可近似表示为：
（1）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？
（2）已知，两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从地驶向地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
【答案】(1) 65 km/h (2) 当速度为120 km/h时，总耗油量最少．
【解析】
【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，比较可得结论；
（2）分类讨论，利用基本不等式、函数的单调性，即可得出结论．
【详解】解：（1）当时，，
，有最小值
当，函数单调递减，故当时，有最小值10
因，故时每小时耗油量最低
（2）设总耗油量为由题意可知
①当时，
当且仅当，即时，取得最小值16
②当时，为减函数
当，取得最小值10
，所以当速度为120时，总耗油量最少．
【点睛】本题主要考查函数最值的应用，考查函数模型的建立，考查函数的单调性，利用基本不等式是解决本题的关键．
21. 设函数是定义在R上的奇函数．
（1）若对任意的，，且，满足，，求满足的实数x的取值范围；
（2）若对任意的，，且，满足，解关于m的不等式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先判断函数的单调性，再求解不等式；
（2）首先设函数，并判断函数的单调性，并结合函数是偶函数，以及单调性，求解不等式.
【小问1详解】
由题意奇函数满足，
∴变为，
又，即当时，，
∴在上单调递减，
∴，
解得，
故实数x的取值范围为；
【小问2详解】
∵函数是定义在R上的奇函数，
∴为定义在R上的偶函数，
又∵，
即，，
∴在上递减，
则在上递增，
，
即，
则，
则，整理为，
解得：.
22. 已知函数（）．
（1）若的定义域和值域均是，求实数a的值；
（2）若在区间上是减函数，且对任意的，都有．求实数a的取值范围；
（3）若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先确定单调性，根据单调性列方程组求解；
（2）根据函数单调性求出在区间上的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题列不等式求解；
（3）求出函数和的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，进而可列不等式求解.
【小问1详解】
在上单调递减，又，
在上单调递减，
，即，
解得；
【小问2详解】
在区间上是减函数，
，
，
，
时，，
又对任意的，都有，
，
；
【小问3详解】
∵，明显其在上单调递增，
当时，
又在上单调递减，
∵对任意的，都存在，使得成立
∴
∴
∴