湖北省部分高中协作体2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题 含解析

这是一份湖北省部分高中协作体2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题 含解析，共9页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答
题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答
案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1、在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则 的值是( )
A. B.
C. D.
2.已知数列{an}中,a1=2,a2=4,an+an+1+an+2=2,则 a2 025=( )
A.4 B.2
C.-2 D.-4
3.数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式是( )
A.an= (10n-1) B.an= (10n-1)
C.an= D.an= (10n-1)
4、现有一球形气球,在吹气过程中,气球的体积 V(单位:L)与直径 d(单位:dm)的关
系式为 V= ,当 d=2 dm 时,气球体积的瞬时变化率为( )
A.2π B.π
C. D.
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5、若两曲线 y=ln x-1 与 y=ax2 存在公切线,则正实数 a 的取值范围是( )
A.(0,2e] B.
C. D.[2e,+∞)
6、如图是 f(x)的导函数 f'(x)的图象,则 f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7、(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9 的展开式中 x2 的系数是( )
A.60 B.80
C.84 D.120
8、甲、乙、丙等 5 人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有 2 人,则不同排法
共有( )
A.20 种 B.16 种
C.12 种 D.8 种
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选
项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选
错的得 0 分。
9、(多选题)如果函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则以下关于函数 y=f
(x)的判断正确的是( )
A.在区间(2,4)上单调递减
B.在区间(2,3)上单调递增
C.-3 是极小值点
D.4 是极大值点
10、(多选题)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f'(x),且函数 g(x)=xf'(x)的图象如
图所示,则下列结论中一定成立的是( )
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A.f(x)有两个极值点
B.f(-2)为函数的极小值
C.f(x)有两个极小值
D.f(-1)为 f(x)的极小值
11、(多选题)已知(1-2x)2 023=a0+a1x+a2x2+…+a2 023x2 023,则下列结论正确的是
( )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为 22 023
B.展开式中所有奇次项的系数的和为
C.展开式中所有偶次项的系数的和为
D. =-1
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12、已知等差数列{an}的项数为奇数,其中所有奇数项和为 290,所有偶数项和为
261,则该数列的项数为 。
13、已知函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且 x≤1 时,f(x)=ex+x-1,则曲线 y=f(x)在
点 P(2,f(2))处的切线方程为 。
14、(x+1)2 的展开式中,x3 的系数是 。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15、（本小题满分 15 分）
在数列{an}中,Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn+1=4an+2,a1=1。
(1)设 cn= ,求证数列{cn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式。
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16、（本小题满分 15 分）
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,且满足(n-1)·Sn+2nan+1=0。
(1)设 bn= ,证明:{bn}是等比数列;
(2)设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明:Tnln(x+1) 。
18、（本小题满分 15 分）
已知函数 f(x)=ex+sin x-1。
(1)判定函数 f(x)在 上的零点个数;
(2)∀x≥0,f(x)+mx≥0 恒成立,求实数 m 的取值范围。
19、（本小题满分 17 分）
有 6 名同学报名参加 3 个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方
法(6 名同学不一定都能参加)?
(1)每人只参加一项,每项人数不限;
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;
(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限。
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高二数学试题答案
一、选择题：
1、C 解析 由已知,得 a2=1+(-1)2=2,所以 2a3=2+(-1)3,a3= ,所以 +(-1)4,a4=3,所以
3a5=3+(-1)5,所以 a5= ,所以 。故选 C。
2.D 解 析 因 为 a1=2,a2=4,an+an+1+an+2=2,所 以 an+2=2-an+1-an,则
a3=2-a2-a1=-4,a4=2-a3-a2=2,a5=2-a4-a3=4,…,所 以 数 列 {an}是 以 3 为 周 期 的 周 期 数 列 ,则 a2
025=a675×3=a3=-4。故选 D。
3.C 解析 根据题意,数列 9,99,999,9 999,…的第 n 项为 10n-1,则数列 0.9,0.99,0.999,0.999
9,…的第 n 项为 ×(10n-1)=1- ,则数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式是 an=
。故选 C。
4、A 解析 设 V=f(d)= ,则 f'(d)= ,所以当 d=2 dm 时,气球体积的瞬时变化率为 f
'(2)=2π。故选 A。
5、B 解析 设公切线与曲线 y=ln x-1 和 y=ax2 的切点分别为(x1,ln x1-1),(x2,a ),其中 x1>0,
对于y=ln x-1有y'= ,则y=ln x-1的切线方程为y-(ln x1-1)= (x-x1),即y= +ln x1-2。对于y=ax2
有 y'=2ax,则 y=ax2 的 切 线 方 程 为 y-a =2ax2(x-x2),即 y=2ax2x-a ,所 以
则- =ln x1-2,即 ln x1(x1>0)。令 g(x)=2x2-x2ln x,则其
定义域为(0,+∞),g'(x)=3x-2xln x=x(3-2ln x),令g'(x)=0,得x= ,当x∈(0, )时,g'(x)>0,g(x)单调递
增;当 x∈( ,+∞)时,g'(x)0,则函数 f(x)在区间(2,4)上单调递增,故 A 不
正确,B 正确;C 项,由题中图象知当 x=-3 时,函数 f'(x)取得极小值,但是函数 y=f(x)没有取得极小
值,故 C 错误;D 项,当 x=4 时,f'(x)=0,当 20,当 x∈(0,1)时,g(x)0。所以 f(x)在(-∞,-2),
(0,1)上单调递减,在(-2,0),(1,+∞)上单调递增。故 AD 错误,BC 正确。故选 BC。
11、ACD 解析 对于 A,(1-2x)2 023 的展开式中所有项的二项式系数的和为 22 023,故 A 正
确;对于 B,令 f(x)=(1-2x)2 023,则 a0+a1+a2+a3+…+a2 023=f(1)=-1,a0-a1+a2-a3+…-a2 023=f(-1)=32 023,
所以展开式中所有奇次项的系数的和为 ,展开式中所有偶次项的系数
的 和 为 ,故 B 错 误 ,C 正 确 ;对 于 D,a0=f(0)=1, +…+
-a0=-1,故 D 正确。故选 ACD。
三、填空题：
12、19 解析 设等差数列{an}的前n项和为Sn,项数为2k-1,则 ,解得k=10,
则项数为 2×10-1=19。
13、 2x+y-4=0 解析 解法一:P(2,f(2))关于直线 x=1 的对称点为(0,f(0)),即点(0,0),当 x≤1
时,f'(x)=ex+1,f'(0)=2,所以 f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,其关于直线 x=1 对称的直线方程
即所求方程为 2x+y-4=0。
解法二:设点 M(x1,y1),N(x2,y2)分别为函数 f(x)的图象上关于直线 x=1 对称的两点,且 x1≤11 时
,f(x)=e2-x-x+1,所 以 f(2)=e2-2-2+1=0,f'(x)=-e2-x-1,所 以 f'(2)=-e2-2-1=-2,所 以 曲 线 y=f(x)在 点 P
(2,f(2))处的切线方程为 y=-2(x-2),即 2x+y-4=0。
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14、 15 解 析 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk+1= x5-2k,
(x+1)2=x2+2x+1,当在(x2+2x+1)中取 x2 时,令 5-2k=1,解得 k=2,则有 x2 x=10x3;当在(x2+2x+1)中
取 2x 时,令 5-2k=2,无解;当在(x2+2x+1)中取 1 时,令 5-2k=3,解得 k=1,则有 1× x3=5x3。所以(x
+1)2 的展开式中,含 x3 的项为 10x3+5x3=15x3,所以 x3 的系数是 15。
四、解答题：
15、解 (1)证明:在数列{an}中,∀n∈N*,Sn+1=4an+2,则当 n≥2 时,Sn=4an-1+2,两式相减,得 an
+1=4an-4an-1。因为 cn= ,即 an=2ncn,所以 2n+1cn+1=4×2ncn-4×2n-1cn-1,整理得 cn+1=2cn-cn-1,即 cn
+1+cn-1=2cn,所以数列{cn}是等差数列。
(2)由 Sn+1=4an+2,得 a1+a2=4a1+2,又 a1=1,所以 a2=5,c1= ,c2= ,因此,等差数列{cn}的
公差 d= ,即{cn}是以 为首项, 为公差的等差数列,所以 cn= (n-1)= ,即
,则 an=(3n-1)·2n-2,所以数列{an}的通项公式为 an=(3n-1)·2n-2。
16、 证 明 (1)因 为 (n-1)Sn+2nan+1=0,而 an+1=Sn+1-Sn,所 以 (n-1)Sn+2n(Sn+1-Sn)=0,所 以
,即 bn+1= bn,而 b1=S1=a1= ,所以数列{bn}是以 为首项, 为公比的等比数列。
(2)由(1)知 ,所以 Sn= ,所以 an+1= 。当 n=1 时,c1= =1,所以 T10 在区间
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上 恒 成 立 。 所 以 g(x)在 区 间 上 单 调 递 增 ,所 以 g(x)≥g
-0.739>0,所以当 时,f(x)>ln(x+1)。
18、【分析】 对于第(2)问:设 g(x)=ex+sin x+mx-1(x≥0),因为 g(0)=0,g(x)≥0,所以一定存在 x0 >0,使 g(x)在(0,x0)上单调递增,否则不满足 g(x)≥0。又 g'(x)=ex+cs x+m,所以 g'(0)=m+2≥0,即 m ≥-2。这可能就是所要求的范围,下面给予证明。
【解】 (1)由题意得 f'(x)=ex+cs x,当 x∈ 时,易得函数 f'(x)单调递增,而 f
'(-π)=e-π-10,而 f(-π)=e-π-1