湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷(含详解)

这是一份湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷(含详解)，共8页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为( )
A.αα=k·2π−π4,k∈Z
B.αα=k·2π+3π4,k∈Z
C.αα=k·π−3π4,k∈Z
D.αα=k·π−π4,k∈Z
2.函数f(x)=sin2x−π4在区间0,π2上的最小值为( )
A.-1B.-22
C.22D.0
3.函数y=sin2x−π3在区间−π2,π上的简图是( )
4.正六边形ABCDEF中,用AC和AE表示CD,则CD=( )
A.-23AC+13AEB.-13AC+23AE
C.-23AC+23AED.-13AC+13AE
5.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为π3,那么|4a-b|=( )
A.2B.6
C.23D.12
6.在△ABC中,|AB|=3,|AC|=2,AD=12AB+34AC,则直线AD通过△ABC的( )
A.重心B.外心
C.垂心D.内心
7.若复数a+3i2+i是纯虚数,则实数a=( )
A.-32B.32
C.-23D.23
8.若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=( )
A.-1B.0
C.1D.2
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.(多选题)已知函数f(x)=3sin x-4cs x,若f(α),f(β)分别为f(x)的极大值与极小值,则( )
A.tan α=-tan βB.tan α=tan β
C.sin α=-sin βD.cs α=-cs β
10.(多选题)已知点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有( )
A.若OA+OB+OC=0,则点O为△ABC的重心
B.若OA·ACAC−ABAB=OB·BCBC−BABA=0,则点O为△ABC的垂心
C.若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0,则点O为△ABC的外心
D.若OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O为△ABC的内心
11.(多选题)已知两个复数z1,z2满足z1z2=i,且z1=1-i,则下面说法正确的是( )
A.z2=−1+i2B.|z1|=1|z2|
C.|z1+z2|≥2D.z1z2=-i
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acsπ6(x−6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为 ℃。
13.已知点P,Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点,BC=a,DA=b,且a,b是不共线的向量,则向量PQ= 。
14.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量OB对应的复数为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知函数f(x)=2cs2x+23sin xcs x。
(1)求fπ3的值;
(2)若fα2=115,α∈0,π3,求cs α的值。
16.（本小题满分15分）
已知函数f(x)=4sin ωxsinωx+π3-1(ω>0)的最小正周期为π。
(1)求ω及f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)图象的对称中心。
17.（本小题满分15分）
经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设OP=mOA,OQ=nOB(m>0,n>0)。
(1)证明:1m+1n为定值;
(2)求m+n的最小值。
18.（本小题满分16分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cs B,cs A),m·n=sin 2C。
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且CA·(AB−AC)=18,求c。
19.（本小题满分16分）
在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cs Csin(A-B)=cs Bsin(C-A)。
(1)求tan A的最小值;
(2)若tan A=2,a=45,求c。
高一数学试题答案
一、选择题：
1.D 解析 如图可知,角α的取值集合为αα=2nπ+3π4,n∈Z∪αα=2nπ−π4,n∈Z=αα=(2n+1)π−π4,n∈Z∪αα=2nπ−π4,n∈Z=αα=kπ−π4,k∈Z。故选D。
2.B 解析 由已知x∈0,π2,得2x-π4∈−π4,3π4,所以sin2x−π4∈−22,1,故函数f(x)=sin2x−π4在区间0,π2上的最小值为-22。故选B。
3.A 解析 令x=0,得y=sin−π3=−32,排除B,D项,当x∈−π2,0时,-4π3≤2x−π3≤−π3,在此区间上函数不会出现最高点,排除C项。故选A。
4.B 解析 设边长为2,如图,设AD,EC交于点O,则OD=1,AO=3,得OD=13AO。所以CD=CO+OD=12(CA+AE)+16(AC+AE)=-13AC+23AE。故选B。
5.C 解析 |4a-b|2=16a2+b2-8a·b=16×1+4-8×1×2×csπ3=12。所以|4a-b|=23。故选C。
6.D 解析 因为|AB|=3,|AC|=2,所以12|AB|=34|AC|=32。设AE=12AB,AF=34AC,则|AE|=|AF|。因为AD=12AB+34AC=AE+AF,所以AD平分∠EAF,所以AD平分∠BAC,所以直线AD通过△ABC的内心。故选D。
7.A 解析 a+3i2+i=(a+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=2a+3+(6−a)i5=2a+35+6−a5i,因为a+3i2+i是纯虚数,所以2a+35=0,6−a5≠0,得a=-32。故选A。
8.C 解析 因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以2a=2,1−a2=0,解得a=1。故选C。
二、选择题：
9.BCD 解析 对于A,B,由题意,得f'(x)=3cs x+4sin x,因为f(α),f(β)分别为f(x)的极大值与极小值,所以f'(α)=f'(β)=0,即3cs α+4sin α=0,3cs β+4sin β=0,所以tan α=tan β=-34,故A不正确,B正确;对于C,f(x)=3sin x-4cs x=5sin(x-φ),其中sin φ=45,cs φ=35,因为tan α=tan β,且α,β分别为f(x)的极大值点与极小值点,所以由正弦函数的图象知β=α+π+2kπ(k∈Z),所以sin β=sin(α+π+2kπ)(k∈Z),cs β=cs(α+π+2kπ)(k∈Z),即sin β=-sin α,cs β=-cs α,故C,D正确。综上所述,选BCD。
10.AC 解析 选项A,设D为BC的中点,由于OA=-(OB+OC)=-2OD,所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D),同理可证O为AB,AC边上中线的三等分点,所以O为△ABC的重心,选项A正确;选项B,向量ACAC,ABAB分别表示在边AC和AB上的单位向量,设为AC',和AB',则它们的差是向量B'C',则当OA·ACAC−ABAB=0,即OA⊥B'C'时,点O在∠BAC的平分线上,同理由OB·BCBC−BABA=0,知点O在∠ABC的平分线上,故O为△ABC的内心,选项B错误;选项C,由(OA+OB)·AB=0,得(OA+OB)·(OB−OA)=0,即OB2=OA2,故|OA|=|OB|,同理有|OB|=|OC|,于是O为△ABC的外心,选项C正确;选项D,由OA·OB=OB·OC,得OA·OB−OB·OC=0,所以OB·(OA−OC)=0,即OB·CA=0,所以OB⊥CA,同理可证OA⊥CB,OC⊥AB,所以OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的垂心,选项D错误。故选AC。
11.ABD 解析 因为z1z2=i,z1=1-i,所以z2=i1−i=−1+i2,故A正确;|z1|=12+(−1)2=2,|z2|=−122+122=22,所以|z1|=1|z2|,故B正确;因为|z1+z2|=1−i2=22