湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份湖北省部分高中协作体2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图知，

角的取值集合为:
故选：D.
2. 函数在区间上的最小值是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】因为，所以，所以由正弦函数的图象可知，
函数在区间上的最小值是，故选B.
3. 函数在区间上的简图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增，
当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增，
由此结合各选项中图象以及将代入到函数解析式中，函数值为，
将代入到函数解析式中，函数值为，可知A中图像正确；
故选：A.
4. 正六边形ABCDEF中，用和表示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设边长为2，如图，设交于点，有，，
则
，
故选：B
5. 已知，，与的夹角为，那么（ ）
A. 2B. 6
C. D. 12
【答案】C
【解析】因为|，
所以.
故选：C.
6. 在中，，，，则直线通过的（ ）
A. 垂心B. 外心C. 重心D. 内心
【答案】D
【解析】因为,∴，
设,则，
又，
∴在的角平分线上，
由于三角形中,
故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合，
故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，
故选D.
7. 若复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，则，有.
故选：A
8. 设，则（ ）
A. -1B. 0 C. 1D. 2
【答案】C
【解析】因为，
所以，解得：．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数.若，分别为的极大值与极小值，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】根据辅助角公式可得：，
其中，，
，分别为的极大值与极小值，
，，、，
则，
、，，
设，
则，，则，
，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D正确；故选：BCD.
10. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有（ ）
A. 若,则点O为的重心
B. 若,则点O为垂心
C. 若,则点O为的外心
D. 若,则点O为的内心
【答案】AC
【解析】选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心；
选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，
则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心；
选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心；
选项D，由得，
∴，即，
∴．同理可证，
∴，，，即点O是的垂心；
故选：AC．
11. 已知两个复数满足，且，则下面说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABD
【解析】由题意知，
设为实数)，则，
即，所以，解得，
所以，故A正确；
，，
所以，故B正确；
，
所以，故C错误；
，所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.
【答案】20.5或
【解析】据题意得 ，
解得 ， ，所以
令 得 .
故答案为：20.5
13. 已知点P，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量_________.
【答案】
【解析】如图，取的中点E，连接，，
由题意，得，，
则.
故答案为：.
14. 在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于直线的对称点为，则向量对应的复数为________.
【答案】
【解析】因为关于直线y＝－x的对称点，
所以向量对应的复数为.故答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分
15. 已知函数．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
解：（1）因为，
，
，
所以．
（2）由，得，，
所以，
.
16. 已知函数的最小正周期为．
（1）求及的单调递增区间；
（2）求图象对称中心．
解：（1）
．
∵最小正周期为，∴，
∴，∴，
令，，
解得，，
∴的单调递增区间为．
（2）令，，
解得，，∴图象的对称中心为，．
17. 经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，
.
（1）证明：为定值；
（2）求m＋n的最小值.
（1）证明：设，
因为的重心是G点，
所以，
，
，
因为G， P，Q三点共线，
所以存在，使得，即，
所以有；
（2）解：因为，
所以，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以m＋n的最小值为.
18. 已知在中，角的对边分别为，向量，.
（1）求角的大小;
（2）若成等差数列，且，求.
解：（1）因为，
所以，
因为在中，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
（2）由成等差数列，
可得，由正弦定理得，
因为，所以，所以，得，
由余弦定理得，
所以，，所以.
19. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，，，已知.
（1）求的最小值；
（2）若，，求.
解：（1）由已知得，
整理得，
因为，所以，
又因为，
所以，可得，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
（2）由（1）知，所以，
又因为，所以或，
当时，，由正弦定理得，
当时，，由正弦定理得.
综上，或.