湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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命题学校：鄂南高中 命题教师：汪勇谋 陈艳峰 刘峰 徐丹
审题学校：红安一中 审题教师：王晓华
考试时间：2024年4月178下午15：00-17：00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在处导数为6，则（ ）
A. B. 2C. D. 6
2. 在等差数列中，是数列的前项和，，则（ ）
A. 118B. 128C. 138D. 148
3. 函数在上的最大值为（ ）
A 0B. C. D.
4. 已知函数为奇函数，当时，，则曲线的图象在点处的切线方程是（ ）
A B. C. D.
5. 式子的值为（ ）
A. 27B. 127C. 5160D. 与的取值有关
6. 2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流．某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约，这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩，已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为（ ）
A. 240B. 360C. 420D. 540
7. 已知为数列的前项和，数列满足：，，记不超过的最大整数为，则的值为（ ）
A 4B. 3C. 2D. 1
8. 对任意的，不等式恒成立，则正实数的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A. 没有空盒子的方法共有6种
B. 所有的放法共有21种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有9种
D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号盒子的方法有2种
10. 已知数列满足，则（ ）
A. B. 数列是等差数列
C. 的前项和为D. 数列的最小项为4
11. 已知函数和的定义域为R，为偶函数，gx=g4−x,fx=1−g′x，下列说法正确的是（ ）
A. 函数关于对称B. g′2022=0
C. 关于点对称D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数的导函数为．，且满足，则______．
13. 已知函数在内单调递增，则的最小值为______．
14. 计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．若将一个十进制数表示为，其中，则其二进制为，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为．记为中0的个数，如，则______；从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有______个．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为．
（1）求正整数和实数的值；
（2）求的展开式中项的系数．
16. 已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且是和的等差中项，是和的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求证：．
17. 已知函数（为自然常数，）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，．
18. 已知函数．
（1）当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程；
（2）证明：函数有3个零点；
（3）若在区间上有最小值，求的取值范围．
19. 如果一个正项数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都大于同一个常数，那么这个数列就叫做类等比数列，这个常数叫做类等比数列的类比．
（1）若数列是一个类等比数列，且，证明；
（2）对于一个正项数列，且首项，满足；
①证明：数列为递减数列；
②证明：．