2021-2022学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知函数的定义域为R，若，则（       ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】利用导数的定义可求得的值.

【详解】解：因为，所以，由导数的定义可得，所以.

故选：B.

2．已知随机变量，则的值为（       ）

A．0.24 B．0.26 C．0.68 D．0.76

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性计算作答.

【详解】因随机变量，

所以.

故选：A

3．《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影，一天内这两部影片各只放映一次，《长津湖》必须在白天放映，《我和我的父辈》只能在晚上放映，则一天内放映这两部电影不同的安排方式共有（       ）

A．10种 B．16种 C．24种 D．36种

【答案】C

【分析】先分别得出《长津湖》，《我和我的父辈》的不同放映安排数，由乘法原理可得答案.

【详解】由题意《长津湖》有6种不同的放映安排，《我和我的父辈》有4种不同的放映安排

则一天内放映这两部电影不同的安排方式共有种

故选：C

4．甲乙两位游客慕名来到咸宁泡温泉，准备分别从三江森林温泉、太乙温泉、温泉谷和瑶池温泉4个温泉中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的温泉不同，事件B：甲和乙至少一人选择三江森林温泉，则条件概率（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出事件A含有的基本事件个数，事件AB含有的基本事件个数，再利用条件概率公式计算作答.

【详解】甲和乙选择的温泉不同，则事件A含有的基本事件个数，

事件AB是三江森林温泉必有1人选，另1人从余下3个温泉中选择1个的事件，

则事件AB含有的基本事件个数，

所以.

故选：D

5．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】过点作切线，过点作切线，连接，得到直线，由导数的几何意义可知(2)(3)，整理可得答案．

【详解】过点作切线，过点作切线，连接，得到直线，

由图可知，的斜率的斜率的斜率，

即(2)(3)，

即(3)(3)(2)(2)，

故选：B．

6．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，……，第行的第3个数字为则（       ）

A．165 B．120 C．220 D．96

【答案】A

【分析】根据题意，由杨辉三角可得，再由组合数的性质可求得答案

【详解】由题意得，，

则，

故选：A

7．已知，其中为展开式中项的系数，．给出下列命题：

①   ②   ③是的最大项

其中正确命题是个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】求出, 所以① 正确; ,所以② 错误；假设最大，解不等式组即得③正确.

【详解】解：

所以，

所以,,

所以①正确;

,

所以②错误；

假设最大，所以，

解之得是的最大项.

所以③正确.

故选：C

8．已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用导数求出的最大值即可求解作答.

【详解】函数的定义域为，求导得：，

令，，则，即在上单调递增，，

因此，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，

于是得当时，，函数的值域是，

而函数恒有零点，当且仅当，解得，

所以实数k的取值范围是.

故选：B

【点睛】思路点睛：涉及函数零点问题，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合求解.

二、多选题

9．若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由两点分布性质可知，根据数学期望和方差计算公式可判断AB的正误；根据均值和方差的性质可判断CD的正误.

【详解】解：随机变量服从两点分布且，，

对于A，，，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：ABD.

10．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（       ）

A．所有可能的方法有种

B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种

C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有20种

D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有60种

【答案】BD

【分析】由分步计数乘法原理，结合特殊元素优先考虑原则逐项分析，计算作答.

【详解】对于A，每名同学有5种选择方法，则所有可能的方法有种，A不正确；

对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，工厂甲没有同学去的方法有种，

所以工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有种，B正确；

对于C，同学A必须去工厂甲，则同学B，C的安排方法有种，C不正确；

对于D，三名同学所选工厂各不相同的安排方法有种，D正确.

故选：BD

11．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，也曾到过我市通城县进行试验，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为）均服从正态分布，其中，．如图，已知，，两正态密度曲线在直线左侧交于点，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据正太分布密度曲线的几何性质即可判断.

【详解】由图可知，故A错误；

由图可知，故B正确；

∵，，

由图可知，∴，故C正确；

因为，，，，

，

根据正态分布曲线的性质，根据原则，应该有，故D不正确.

故选：BC.

12．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】令，利用导数说明函数的单调性，利用函数的单调性判断A、D，利用作差法及对数的运算判断C、D；

【详解】解：令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，即，故A错误；

因为，即，所以，故B错误；

因为，所以，故C正确；

因为，即，即，即，故D错误；

故选：ABD

三、填空题

13．已知函数．则在处的切线方程为_________．

【答案】

【分析】求出函数的导函数，即可求出与，再用点斜式求出切线方程；

【详解】解：因为，所以，，

则，即切点为，切线的斜率，

所以切线方程为，即；

故答案为：

14．已知随机变量X的分布列为

则随机变量X的方差的值为_________．

【答案】

【分析】先利用概率和为1求得x，再利用期望和方差公式求解.

【详解】解：因为，

解得，

所以，

所以，

故答案为：

15．某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从6篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的4篇，则该生他能过关的概率为____________．

【答案】0.8

【分析】考虑对立面，用1减去只能背出1篇的概率即可.

【详解】解：.

故答案为：.

16．某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和为4次的称为“神投小组”，获得二次“神投小组”的队员可以结束训练．已知甲、乙两名队员每次投进篮球的概率分别为，若，在游戏中，甲乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进行________轮游戏才行．

【答案】32

【分析】根据给定条件，求出甲乙两人获得“神投小组”的概率表达式，并求出其最大值，再利用二项分布期望公式计算作答.

【详解】依题意，甲乙组队获得“神投小组”的概率，

而，则有，当且仅当时取“=”，

因此，，因甲乙在一轮游戏中有获得“神投小组”和没有获得“神投小组”两个结果，

则甲乙在n轮游戏中获得“神投小组”次数满足，，

甲乙两名队员想结束训练，他们必获得2次“神投小组”称号，即，解得，

所以甲乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进行32轮游戏才行．

故答案为：32

四、解答题

17．（1）求函数在处的导数；

（2）已知函数的导函数为，且，求．

【答案】（1）10；（2）.

【分析】（1）求出函数的导数，再求导函数在处的函数值即可.

（2）对于给定等式两边求导，解方程求出作答.

【详解】（1）函数，求导得：函数，

所以；

（2）因，两边求导得：，

当时，，解得，

所以.

18．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．

(1)求n的值；

(2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）．

【答案】(1)8；

(2).

【分析】（1）由题设可得，进而写出第三、四项的系数，结合已知列方程求n值即可.

（2）由（1）有，确定有理项的对应k值，进而求得对应项的系数，即可得结果.

【详解】(1)由题意，二项式展开式的通项公式．

所以第三项系数为，第四项系数为，

由，解得，即n的值为8．

(2)由（1）知：．

当，3，6时，对应的是有理项．

当时，展开式中对应的有理项为；

当时，展开式中对应的有理项为；

当时，展开式中对应的有理项为；

故展开式中有理项的系数之和为．

19．如图所示，某风景区在一个直径AB为400m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注:小路及绿化带的宽度忽略不计）

(1)设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；

(2)试确定的值，使得绿化带总长度最大，并求最大值．

【答案】(1)，；

(2)；.

【分析】（1）连接OC，BC，利用直角三角形边角关系及弧长公式列式计算作答.

（2）由（1）的结论，借助导数求解函数的最大值作答.

【详解】(1)连接OC，BC，如图，

由AB是半圆直径得，而，，则，

，则圆弧BC长为，

所以(m)，.

(2)由（1）知，，，求导得：，

当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，

则当时，(m)，

所以时，绿化带总长度最大，最大值为.

20．“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：

(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

(2)在这调查的600人中，用分层抽样的方法从周末体育锻炼时间在内的学生中已经抽取了10人．现在，从这10人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在内的人数为X，求X的分布列以及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．

（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义可得，10人中锻炼时间在，的人数为4人，在，的人数为人，则所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．

【详解】(1)解：由表中数据可得，，

故这600名学生周末体育锻炼时间的平均数为．

(2)由题意可得，10人中锻炼时间在的人数为人，

在的人数为人，

则所有可能取值为0，1，2，3，

，，，，

故的分布列为：

故．

21．某中学小蔡老师在校“五一”表彰活动中，根据学生表现筛选出品学兼优的李好，张好，王学，徐习四人，欲从此4人中选择一人为“校优秀学生”，现进入最后一个互投环节，李好，张好，王学，徐习四人每人一票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同．

(1)记李好的得票数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)求最终仅李好一人获得最高票数的概率．

【答案】(1)分布列见解析；

(2)

【分析】（1）由题意每个人投给其他任何一人的概率均为，X的取值为0,1,2,3，分别求出其概率得出分布列，由期望公式求出期望即可

（2）最终仅李好一人获得最高票数，则李好得票数为3票或2票（其他人得票数小于2票），分别求出其概率，再相加得出答案.

【详解】(1)由题意每个人投给其他任何一人的概率均为

X的取值为0,1,2,3

;

;   

X的分布列为

则

(2)最终仅李好一人获得最高票数，则李好得票数为3票或2票（其他人得票数小于2票）

若李好得票数为3票的概率为

李好得票数为2票（其他人得票数小于2票）时，

不妨假设张好，王学投票为李好；

若李好投票给张好，徐习只能投票给王学；

若李好投票给王学，徐习只能投票给张好；

李好投票给徐习，徐习可以投票给张好或王学；

所以其概率为：

所以最终仅李好一人获得最高票数的概率为：

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若当时，，求实数a的取值范围；

(3)设，证明：．

【答案】(1)递减区间，递增区间；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）求出的导函数，求解或的x取值区间即可作答.

（2）等价变形不等式，构造函数并求其最大值推理作答.

（3）化简变形所证不等式的两边，利用（2）中信息结合不等式的性质推理作答.

【详解】(1)函数的定义域为，求导得：，

当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，

所以函数的递减区间是，递增区间是.

(2)当时，，令，则，

当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，

当时，，则有，

所以实数a的取值范围是.

(3)依题意，，

同理，，而，即有，

由（2）知，当且时，，于是得，，

因此，，，即有，则，

所以.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.