福建省漳州地区2024-2025学年七年级下学期期中联考 数学试卷（含解析）

这是一份福建省漳州地区2024-2025学年七年级下学期期中联考 数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了 下列成语中，表示必然事件的是， 下列计算正确的是， 下列计算， 若，则的末位数字是等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（每题4分，共40分）
1. 下列成语中，表示必然事件的是（ ）
A. 水中捞月B. 守株待兔C. 水涨船高D. 刻舟求剑
【答案】C
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】A．水中捞月，是不可能事件，故本选项不符合题意；
B．守株待兔，是随机事件，故本选项不符合题意；
C．水涨船高是，是必然事件，故本选项符合题意；
D．刻舟求剑，是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2. 国产手机芯片麒麟是全球首个纳米制程芯片，已知纳米米，将纳米用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于的正数，也可以利用科学记数法表示，一般形式为．
【详解】解：纳米米米，
故选：D
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，掌握科学记数法的方法是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法运算法则，单项式除以单项式运算法则，积的乘方运算法则，合并同类项法则对各选项进行判断即可．
【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
4. 如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握．根据平行线的判定对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中可判定，故此选项符合题意；
B中可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
C中可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
D中可判定，不能判定，故此选项不符合题意；
故选：A．
5. 如图，有一个角为的直角三角板放置在一个长方形直尺上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
过点作，得出，根据平行线的性质，结合直角三角板的特征即可求解．
详解】解：如图，过点作．
∵，
∴，
∴．
由题意知，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字1、2、3、4、5、6，则出现朝上的数字小于3的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用朝上的数字小于3的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数字小于3的有2种，
朝上一面的数字小于3的倍数概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是关键．
7. 如图，如果∥，那么，，之间的关系为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质即可得出结论.
【详解】如图，过点E作EF∥AB．
∴∠1+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD．
∴∠FEC=∠ECD（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠AEF+∠FEC
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FEC=∠3
∴∠1+∠2-∠3=180°．
故选B．
考点：平行线的性质．
8. 下列计算：①；②；③；④正确有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式混合运算，利用单项式乘以多项式法则及平方差公式、完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用单项式乘以多项式法则及、进行运算是解题的关键．
【详解】解：①，故此项错误，不符合题意；
②，故此项错误，不符合题意；
③，此项正确，符合题意；
④，故此项错误，不符合题意；
故选：A．
9. 古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，古人在从右往左依次排列绳子上打结，按“满五进一”来计数．如：图①中表示的数是：，则图②中表示的数是（ ）．

A. 45B. 89C. 113D. 324
【答案】B
【解析】
【分析】利用进位制的定义，进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：图②中表示的数是；
故选B．
【点睛】本题考查进位制的性质、图形类规律探究，考查了数学运算能力．理解并掌握题干中的运算公式，是解题的关键．
10. 若，则的末位数字是 （ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】将原式转化成，再结合平方差公式解题即可．本题考查平方差公式、尾数特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【详解】解：
，
∵，，，，，，，；
∴尾数是2，4，8，6，……四个一循环，
∵，
∴232的末位数字是6，
∴的末位数是4．
故选：B．
二．填空题（每题4分，共24分）
11. 如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查垂线段最短，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是解题的关键．根据“垂线段最短”进行解答即可．
【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
12. 如图，点O在直线AB上，，若，则的大小为______．
【答案】30°
【解析】
【分析】根据图示，利用平角求出∠BOC的度数，然后利用垂直，即可求出∠BOD的度数．
【详解】∵，
∴．
∵，即，
∴．
故答案为：30°．
【点睛】此题考查角的运算，运用平角和垂直的定义是解题的关键．
13. 已知，则的值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，根据，得到，根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：16．
14. 若n满足，则等于_____．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形得到．所以，根据该变形公式可以化简已知等式为，由此易求所求代数式的值．
【详解】解：，
即，
，
，
，
故答案为：0．
15. 若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有______个．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键将已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出的值即可．
【详解】，
因为，
可得：，
因为、、为整数，
所以满足条件的的值为，，
即满足条件的的值为，，，共个，
故答案为：
16. 如图，，为上方一点，、分别为、上的点，、的角平分线交于点，的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有____________（填的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质以及直角三角形中两个锐角互余等知识，灵活运用平行线的性质和三角形的外角的性质是解答本题的关键．由角平分线的性质以及平行线的性质可求出，即可判断①；设交于点，交于点，根据平行的性质即有，再结合三角形外角的性质即可判断②；根据角平分线的性质有，，再证，，即可得，即可判断③；先证，根据，即有，再结合，节即可判断④正确；
【详解】∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
设交于点，交于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（共9小题，共86分）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，整式的乘法运算；
（1）根据化简绝对值，负整数指数幂进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先分别根据完全平方公式，平方差公式计算和，然后在括号内合并同类项，最后根据多项式除以单项式进行计算，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
当，时，
原式
19. 尺规作图：已知：如图（1），，如图（2），，请在图（2）中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】以点E为顶点，直线的上方作，则即为所求．此题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握作图方法是解题的关键．
【详解】解：如图所示，即为所求，
20. 如图，直线，，求的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵（已知），
∴（ ）．
∵ （ ），
又（ ），
∴ （ ）．
∵ ，
∴ （ ）．
【答案】两直线平行，同位角相等；对顶角相等；已知；；等量代换；；；等式的性质
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，由平行线的性质和对顶角的性质可求出的度数，再由平角的定义可求出的度数．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵（对顶角相等），
又（已知），
∴（等量代换）．
∵，
∴（等式的性质）．
21. 数学实践课上，王老师在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为 ，请求出m的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了求简单事件的概率，
（1）由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率；
（2）由红球概率可得拿出白球后盒子中球的总数，进而求解即可．
【小问1详解】
解：球的总数（个），
黑球个数（个） ，
∴任意摸出一个球是黑球的概率为；
【小问2详解】
球的总数为（个），
，
∴m的值为3．
22. 如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，于点E，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用．
（1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论；
（2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23. 阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）；
∵；
∴．
∴代数式的最小值为；
（2）；
∵；
∴；
∴代数式的最大值为7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最小值为 ；
（2）已知；，请比较A与B的大小，并说明理由；
【拓展提高】
（3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）两个正方形面积之和有最小值，此时这根铁丝剪成两段后的长度，，这两个正方形面积的和为
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用，整式的加减运算，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）模仿题干过程，则再结合，即可作答．
（2）运用作差法，得出，结合，即可作答．
（3）根据正方形的面积列式，得，分析得当时，S有最小值，最小值为18，即可作答．
【详解】解：（1）
∵，
∴．
∴最小值为．
故答案为：．
（2），
∵
，
∵
∴
∴．
（3）设一段为x，则另一段为，
根据题意得：
当时，S有最小值，最小值为18，
则两个正方形面积之和有最小值，此时这根铁丝剪成两段后的长度，，这两个正方形面积的和为
24. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；
图1表示：______；
图2表示：______；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若，，求的值；
（3）请直接写出下列问题答案：
①若，，则 ；
②若，则 ．
（4）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为______．
【答案】（1）；
（2）10 （3）①；②13
（4）
【解析】
【分析】（1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（2）将根据完全平方公式用含有，的式子表示出来，然后代入求值即可．
（3）①利用，代入求值即可，②利用代入求值即可；
（4），，，，可以利用代入求值即可．
【小问1详解】
解：图1中，由图可知，
，
由题意得，，
即，
故答案为：．
图2中，由图可知，，，
由题图可知，，
即，
故答案为：．
【小问2详解】
解：，
，，
．
【小问3详解】
解：①由图2可得，
，，
，
．
故答案为：．
②由图1可得，
，
，
原式．
故答案为：13．
【小问4详解】
解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
阴影．
即图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
25. 如图，直角三角板与直角三角板的斜边在同一直线上，，，，平分，不动将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中：
（1）如图，当 时，；当 时，；
（2）将绕点按逆时针方向旋转到如图的位置，边与延长线交于点，边与交点，则
（3）当顶点不在内部时，求此时的度数范围；（三角形的内部不包含三角形的边）
（4）在旋转过程中，当的一边与平行时，求的度数．
【答案】（1），；
（2）；
（3）或；
（4）或或．
【解析】
【分析】当时，根据平行线的性质可知，又因为，可得；当时，因为，可得；
根据角的和与差关系可得：，，所以可得，计算求值即可；
分别求出当点在边上和点在边上时度数，即可求出的取值范围；
的一边与平行可以分为三种情况：当时、当时、当时，根据平行线的性质分情况求解即可．
【小问1详解】
解：如下图所示，
，
，
又，
，
即；
如下图所示，
，，
，
，
又,
，
即；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：如下图所示，
，，
；
故答案为：；
【小问3详解】
解：如下图所示，
当点在边上时，
由可知，，
；
如下图所示，
当点在边上时，
，
；
综上所述，或；
【小问4详解】
解：如下图所示，
当时，，
，
；
如下图所示，
当时，，
，
；
如下图所示，
当时，，
；
综上所述，当的一边与平行时，求的度数为或或．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质、三角形外角的性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用平行线的性质找角之间的关系，在解题过程中还要注意利用分类讨论的思想，分情况考虑问题．