山西省大同市第三中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

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满分：120分 时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：解：．，计算正确，故该选项符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
故选：A．
2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：根据三角形的三边关系，得∶
第三根木棒的长度应大于，而小于．
故选：B．
3. 若边形的内角和是，那么等于（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
解析：解：根据题意，得，
解得，
故选：C．
4. 将多项式进行因式分解，公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：多项式，
公因式是．
故选：A．
5. 如图．屋顶钢架外枢是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A. 等边对等角B. 等角对等边
C. 三角形具有稳定性D. 等腰三角形“三线合一”
【答案】D
解析：解：∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：如图，
由题意知：，
∴，
故选：B．
7. 如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为19，则的周长为 （ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】A
解析：∵是垂直平分线，
∴，，
∴
∵的周长为19，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：A．
8. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B. 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等
C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D. 一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】A
解析：A、两直角相等，两个锐角对应相等，只有两个角相等，不能判定全等，选项是假命题，符合题意；
B、两个直角对应相等、斜边及锐角对应相等，构成AAS，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意；
C、两个直角对应相等、两条直角边对应相等，构成了SAS，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意；
D、两个直角相等、一条直角边和斜边对应相等，构成了HL，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意．
故选：A．
9. 若等式对任意实数都成立，那么的值分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
解析：解： ，
∵ ，等式对任意实数都成立，
∴，，
解得：，，
故选：B．
10. 为了运用平方差公式计算，下列变形正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：解：
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】
解析：解：原式
，
故答案为：．
12. 已知，，则______．
【答案】
解析：解：∵，，
∴，
∴

故答案为：
13. 一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为_______（结果用科学记数法表示）．
【答案】
解析：解：计算机工作秒运算的次数为：
．
故答案为：．
14. 已知多项式是完全平方式，则的值为______．
【答案】或1
解析：解：是完全平方式，
，
解得：或1．
故答案为：或1．
15. 如图所示，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小正方形，小明将图a中的阴影部分拼成了一个如图b所示的长方形，这一过程可以验证恒等式______．
【答案】
解析：解：∵图a中阴影部分面积为，图b中阴影部分面积为，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 分解因式．
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
17. 计算
（1）如果的乘积中不含的一次项，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）3 （2）108
小问1详解】
解：∵的乘积中不含的一次项，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
解析：解：原式
，
当时，原式．
19. 课余时间，某同学用橡皮垒了两面与桌面垂直的“墙”，“墙”的高度，两面
“墙”之间刚好可以放进一块等腰直角三角形木板（如图），且，其中点B在上，点A，D分别与两面“墙”的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两面“墙”之间的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：由题意可知，，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
∵，，，
∴，，
∴，
即两面“墙”之间的距离为．
20. 如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
（1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）
（3）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．
【答案】（1）平方米
（2）平方米
（3）67平方米
【小问1详解】
∵平方米，
∴长方形地块的面积为平方米；
【小问2详解】
∵平方米，
∴雕像的面积为平方米；
【小问3详解】
∵绿化部分的面积为平方米；
∴当a＝3，b＝1时，
（平方米），
∴绿化部分的面积为67平方米．
21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）若与关于轴成轴对称，
请在网格中画出，并写出顶点坐标；
（2）计算的面积；
（3）若点为轴上一点，当最小时，写出此时点坐标______．
【答案】（1）见详解，
（2）3.5 （3）
【小问1详解】
∵若与关于y轴成轴对称，，
∴，
则即为所求；
【小问2详解】
解：．
【小问3详解】
解：如图，作点A关于x轴的对称点，则与x轴的交点即是点P的位置．
∴．
22. 如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）按要求填空：
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______；
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：______；方法2：______
③观察图②，请写出代数式，，这三个代数式之间的等量关系：______；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值．
（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示______．
【答案】（1）①；②， ；③
（2）20 （3）
【小问1详解】
解：①阴影部分的正方形边长是，
故答案为：；
②方法1：阴影部分的面积就等于边长为的小正方形的面积，即，
方法2：边长为的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即，
故答案为：，；
③由②知：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∴，，
由（1）知：，
∴；
【小问3详解】
解：根据大长方形面积等于长乘以宽，则有：，
或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有：，
故可得：，
故答案为：．
23. 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
例如．求代数式的最小值．
原式
．
可知当时，有最小值，最小值是-8．
（1）分解因式： ．
（2）已知的三边长a、b、c都是整数，且满足，求边长c的最小值；
（3）当x，y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
【答案】（1）
（2）5 （3）当时，代数式有最大值，最大值为16
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
即，
∴，
∵a、b、c是的三边长，
∴，
∵a、b、c都是整数，
∴边长c的最小值为5；
【小问3详解】
解：∵
=
=
=
=
∵
∴
∴当时，代数式有最大值，最大值为16．