山西省大同市第一中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份山西省大同市第一中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共14页。试卷主要包含了2）， 计算的值为等内容，欢迎下载使用。
数学
（监测内容：第十一至十四章14.2）
注意事项：
1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解： ，
故选：A．
2. 在平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：依题意，与点关于y轴对称的点的坐标为，
故选：A．
3. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：A、中只有相同的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、只有互为相反数的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、能用平方差公式计算，故本选项正确；
D、中不存在相同的项与互为相反数的项，，故本选项错误．
故选：C．
4. 应县佛宫寺释迦塔（应县木塔）是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，全塔没用一个铁钉，全靠构件互相卯榫咬合，共使用了54种不同形式的斗栱，被誉为“斗栱博物馆”．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式，如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上）．若，则木楔的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
5. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A. 13B. 17C. 13或17D. 13或10
答案：B
解：①当腰是3，底边是7时，3+33能构成三角形，则其周长=3+7+7=17．
故选：B．
6. 若的计算结果中不含x的一次项，则a的值是（ ）
A. B. C. 2D.
答案：D
解：
，
计算结果不含x的一次项，
，
解得，
故选：D．
7. 沙棘果富含多种维生素、氨基酸等营养成分，被誉为“神奇之果”．朔州市当地沙棘种植不仅改善了生态环境，还带动了当地经济发展．某果农租了两块地种植沙棘，第一块地是边长为的正方形，第二块地是长为，宽为的长方形，则第二块地比第一块地的面积（单位：）多（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：由题意得：
，
故选：D．
8. 如图，已知，只添加一个条件即可证明与全等，这个条件不可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：A、已知，，，则，A不符合题意；
B、已知，，，则与不一定全等（SSA），B符合题意；
C、已知，，，则， C不符合题意；
D、已知，，，则，D不符合题意；
故答案为：B．
9. 如图1,将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为
4a2b则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ）
A. 4abB. 8abC. 4a+bD. 8a+2b
答案：D
设纸盒底部长方形的宽为x，
依题意得b×x×a=4a2b
∴x=4a
故纸盒底部长方形的周长为2（4a+b）=8a+2b
故选D
10. 课本第113页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律：
，1展开式的系数和为1
，11展开式的系数和为
，121展开式的系数和为
，1331展开式的系数和为
，14641展开式的系数和为
………
根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A 32B. 64C. 128D. 256
答案：B
解：依题意，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
，
当时，展开式的项系数和为，
故选：B．
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. “中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的外角和是__________．
答案：
解：正多边形的外角和是，
故正五边形的外角和为；
故答案为：
12. 已知一个多项式乘，所得的结果是，那么这个多项式是__________．
答案：
解：∵一个多项式乘所得的结果是，
，
∴这个多项式是，
故答案为：．
13. 若，，则的值为__________．
答案：
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片__________张．
答案：
解：如下图所示，长方形的长为，宽为，
长方形的面积为，
图中有个，个，
长方形中剩余部分的面积为，
型卡片的面积为，
需要个类型的卡片．
故答案为： ．
15. 图①是一类光学直角棱镜，其中一块直角棱镜的截面为图②所示的，所在的面为不透光的磨砂面，，．现有一束单色光从边的点E处垂直射入，到达边的点D处，恰有，经过反射后（即）从边的点F处射出．若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度为__________cm．
答案：20
解：∵、，
∴，
，
，，
，，
，
，，，
∴是等边三角形；
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：20．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
答案：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
17. 先化简，再求值：，，．
答案：，32
解：
，
当，时，原式 ．
18. 如图，在中，，D为的中点，，，求的度数．
答案：
解：∵，D为的中点，
，平分，
，．
∵，
∴，
∴．
19. 如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形．
（1）通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ；
（2）利用上述乘法公式计算：．
答案：（1）；
（2）4．
【小问1详解】
解：∵两个图形面积相等，右侧等腰梯形的高为大小正方形边长之差，
∴左侧图形面积为大小正方形面积之差，即；右侧等腰梯形面积为，
∴．
【小问2详解】
解：根据上述乘法公式计算：，
，
，
，
．
20. 马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
答案：详见解析
解：如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，
∴，，
∴，
根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为，
∴所走路线即为．
21. 下面是某小组在活动课上的策划方案，请仔细阅读并完成相应任务．
项目主题
探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出
墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
任务：
（1）若，则 °；
（2）请你说明他们做法正确的原因．
答案：（1）72； （2）见解析．
【小问1详解】
解： ，，
，
．
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意可知，，．
在和中，
，
∴．
∴．
∴测量OD的长度，即为点A的高度．
项目图纸
解决过程
①找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；②使直杆顶端缓慢下滑，直到；③标记测试直杆的底端点D，测量的长度，即为点A的高度．
22. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
①；
② ；
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请将情形②的内容补充完整．
答案：（1）①7，5；②；
（2）见解析．
【小问1详解】
解：①由规律可得，，
故答案为：7，5；
②由规律可得，，
故答案为：．
【小问2详解】
解：设，，其中k，m均为自然数．
所以
．
∵为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾，
∴x，y不可能均为奇数．
23. 借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法!请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【课本链接】
（1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得 ，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得 ；
N
表示结果
一般结论
奇数
…
4的倍数
…

假设，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数，则为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾，故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数…
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
而是偶数，矛盾，故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确
【知识应用】
（2）根据图②所得的公式，若，，则 ；
（3）若满足，求的值．
【拓展延伸】
（4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．
答案：（1），；（2）；（3）；（4）．
解：（1），
；
故答案为：，
（2），，
；
故答案为：
（3）设，，则，．
所以．
所以的值是；
（4）种草区域的面积和为．
因为，，，所以，．
因为种花区域的面积和为，所以．
因为，所以．
所以．
所以．
所以种草区域的面积和为．