人教版数学高二上学期精品期末模拟试卷（含详细解析）

这是一份人教版数学高二上学期精品期末模拟试卷（含详细解析），共64页。试卷主要包含了方程+＝10的化简结果是，已知P是圆C，已知抛物线E，已知双曲线C1，已知圆C，已知A，已知双曲线C，与椭圆＝1有相同焦点，且过点等内容，欢迎下载使用。
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
2．已知P是圆C：x2+y2＝1上一点，Q是圆D：（x﹣3）2+（y+4）2＝3上一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，若|PF2|＝|F1F2|且，则b＝（ ）
A．B．C．2D．
4．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，过点A，B的抛物线的切线交于点N．则四边形CMNF的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
5．已知双曲线C1：与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线C2相交于点B，若点A为线段FB的中点双曲线C1的离心率为e，则e2＝（ ）
A．B．C．D．
6．若双曲线的实轴长为4，则正数m＝（ ）
A．B．2C．D．
7．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣my＝0上任意一点M关于直线y＝2x﹣1的对称点N也在圆上．则实数m＝（ ）
A．4B．6C．﹣6D．﹣4
8．已知A（3，2），抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，|OP|＝|OF2|，且△POF1的面积为4，则实数b＝（ ）
A．B．2C．D．4
10．与椭圆＝1有相同焦点，且过点（0，）的椭圆方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
11．已知双曲线 ﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝48x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣＝1B．﹣＝1
C．﹣＝1D．﹣＝1
12．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
二．多选题（共8小题）
（多选）13．已知圆O：x2+y2＝4，下列说法正确的是（ ）
A．过点P（1，1）作直线与圆O交于A，B两点，则|AB|范围为
B．过直线l：x+y﹣4＝0上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点（1，1）
C．圆O与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为（3，5）
D．圆O上有2个点到直线的距离等于1
（多选）14．若点P（1，0）在圆C：x2+y2+2x﹣4y+m＝0的外部，则m的取值可能为（ ）
A．﹣3B．1C．4D．7
（多选）15．以下关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（ ）
A．双曲线与椭圆有相同的焦点
B．过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有2条
C．设A，B是两个定点，k是非零常数，若|PA|﹣|PB|＝k，则动点P的轨迹是双曲线的一支
D．动圆P过定点F（1，0）且与定直线l：x＝﹣1相切，则圆心P的轨迹方程是y2＝4x
（多选）16．已知直线l：x＝4是曲线C的准线，则曲线C的方程可能为（ ）
A．x2＝﹣16yB．y2＝﹣16x
C．﹣＝1D．+＝1
（多选）17．已知抛物线C：x2＝8y，点P是抛物线C准线上的一点，过点P作抛物线C的切线，切点分别为A，B，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是 （ ）
A．直线AB恒过定点（0，2）
B．|k1﹣k2|＝2
C．k1k2＝﹣1
D．△PAB的面积最小值为16
（多选）18．已知双曲线C：x2﹣4y2＝1，则双曲线的（ ）
A．焦点坐标为
B．离心率为
C．渐近线方程为x+2y＝0和x﹣2y＝0
D．虚轴长为1
（多选）19．已知抛物线C：y2＝12x，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点M（4，3），则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为x＝﹣3
B．若|PF|＝7，则△PMF的面积为2
C．|PF|﹣|PM|的最大值为
D．△PMF的周长的最小值为
（多选）20．已知直线l：y＝x+m过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A．m＝﹣1
B．|AB|＝8
C．|AF|＝2|BF|
D．抛物线C上的动点到直线y＝x+2距离的最小值为
三．填空题（共11小题）
21．已知椭圆x2+ky2＝2的焦点在y轴上，若椭圆的焦距为4，则k的值为 ．
22．设圆C与双曲线的渐近线相切，且圆心是双曲线的右焦点，则圆C的标准方程是 ．
23．动直线l：（m﹣2）x+（m+1）y﹣3m＝0（m∈R）过定点M，则M的坐标为 ．
24．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点，点P在C上，，且△POM的面积为1，则C的准线方程为 ．
25．椭圆4（x﹣a）2+y2＝4与抛物线y2＝2x有公共点，则a的取值范围是 ．
26．已知点M（﹣5，0），点P在曲线上运动，点Q在曲线（x﹣5）2+y2＝1上运动，则的最小值是 ．
27．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，则|PF1|•（|PF2|+2）的最大值为 ．
28．双曲线的渐近线方程为 ．
29．已知直线l：y＝kx+2k与曲线恰有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是 ．
30．已知tanα＝3，则tan（α+）＝ ．
31．过点P（2，1）作圆O：x2+y2＝1的切线l，则切线l的斜率 ．
四．解答题（共14小题）
32．已知点A是抛物线y2＝16x上的动点，过点A向x轴作垂线段，垂足为B，垂线段AB中点为C，设C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点F（1，0）且斜率为1的直线l交曲线E于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．
33．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF1⊥x轴，|MF1|＝．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y＝kx+2交椭圆于A、B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．
34．已知双曲线的方程是．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，且|PF1|•|PF2|＝16，求PF2的大小．
35．已知F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，直线y＝x﹣2与抛物线E交于M，N两点且|MF|+|NF|＝10．
（1）求抛物线E的方程；
（2）直线l：y＝kx+2（k≠0）交抛物线E于A，B两点，点G与点A关于x轴对称，直线AG与直线y＝x交于点C，与直线OB交于点D（O为坐标原点），求证：|AC|＝|CD|．
36．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，e＝，虚轴长为4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线l：y＝kx（0＜k＜2）与双曲线交于A，B两点且∠AF2B＝，求△AF2B的面积．
37．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线y＝x截抛物线C所得弦长为．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直角三角形APB的三个顶点在抛物线C上，且直角顶点P的横坐标为1，过点A、B分别作抛物线C的切线，两切线相交于点Q．
①若直线AB经过点（0，3），求点Q的纵坐标；
②求的最大值及此时点Q的坐标．
38．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（a，a）（a为正数），F为抛物线的焦点，且|PF|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段FQ的中点，求点M的轨迹方程．
39．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1作斜率为k（k≠0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点O作直线AB的垂线，垂足为D．若点D恰好是F1与A的中点，求线段AB的长度．
40．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M在直线x＝上，点N在双曲线C上，且焦点F在以线段MN为直径的圆上，分别记直线MN，ON的斜率为k1，k2，求k1k2的值．
41．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点（1，），（0，﹣）．
（2）以点F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点，经过点P（2，）．
42．求双曲线16x2﹣9y2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
43．已知圆，圆，证明圆C1与圆C2相交，并求圆C1与圆C2的公共弦长．
44．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，各棱长均为1，E为A1B1的中点，D为CC1的中点．
（1）求证：C1E∥平面AB1D；
（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
45．已知椭圆C的方程椭圆左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点．
（1）若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积；
（2）在椭圆C上找一点P，使它到直线l：x+y+4＝0的距离最短，并求出最短距离．
人教版数学高二上学期期末精品模拟考试（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．方程+＝10的化简结果是（ ）
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
【考点】曲线与方程．
【答案】C
【分析】方程+＝10表示（x，y）与（4，0），（﹣4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（﹣4，0）为焦点的椭圆，且a＝5，c＝4，可得结论．
【解答】解：方程+＝10表示（x，y）与（4，0），（﹣4，0）两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以（4，0），（﹣4，0）为焦点的椭圆，且a＝5，c＝4，
所以b＝3，
所以椭圆方程为+＝1，
故选：C．
【点评】本题考查曲线与方程，考查椭圆的定义，比较基础．
2．已知P是圆C：x2+y2＝1上一点，Q是圆D：（x﹣3）2+（y+4）2＝3上一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定．
【答案】B
【分析】根据题意，分析两圆的圆心、半径，求出圆心距，利用两圆的圆心距及圆的性质计算即可．
【解答】解：根据题意，因为C（0，0），D（3，﹣4），所以|CD|＝5，
且两圆的半径分别为，即两圆外离，
所以|PQ|的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，若|PF2|＝|F1F2|且，则b＝（ ）
A．B．C．2D．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】D
【分析】画出图形，根据椭圆的定义和性质及余弦定理的应用求解即可．
【解答】解：由题意知该椭圆的焦点在x轴上，如图所示：
由题意|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|+|PF2|＝2a＝6，
所以|PF1|＝6﹣2c，
由余弦定理得：，
即，
即c2﹣5c+6＝0，
由，
则c＝2，
由a2﹣b2＝c2，
所以b2＝5，
即．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的定义和性质，重点考查了余弦定理的应用，属中档题．
4．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，过点A，B的抛物线的切线交于点N．则四边形CMNF的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【考点】抛物线的切线方程及性质．
【答案】C
【分析】由抛物线方程求得F的坐标，得到AB所在直线方程，求出M的坐标，进一步求得C的坐标，再由导数求得过A，B的切线方程，联立求得N点坐标，可得四边形CMNF是底边为4，高为2的平行四边形，则其面积可求．
【解答】解：由抛物线E：y2＝4x，得F（1，0），直线AB的方程为：y＝x﹣1．
联立方程组，可得：x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝6，
y1+y2＝x1+x2﹣2＝4，
∴M（3，2），则线段AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），
即x+y﹣5＝0，可得C（5，0）．
当y＞0时，y＝2，y′＝，当y＜0时，y＝﹣2，y′＝．
∴AN：，BN：．
联立解得N（﹣1，2）．
可得四边形CMNF是底边为4，高为2的平行四边形．
∴四边形CMNF的面积为4×2＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系的应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
5．已知双曲线C1：与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线C2相交于点B，若点A为线段FB的中点双曲线C1的离心率为e，则e2＝（ ）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】B
【分析】设渐近线方程为y＝x，过F与渐近线垂直的直线方程为y＝﹣（x﹣c），求得点A的坐标，可得点B的坐标，利用点B在抛物线上，可得（）2＝4（﹣c），可求e2的值．
【解答】解：设渐近线方程为y＝x，过F与渐近线垂直的直线方程为y＝﹣（x﹣c），
联立两方程解得交点A（，），
∵点A为线段FB的中点，可得B（﹣c，），
又因为双曲线C1与抛物线C2有公共焦点F，∴＝c，∴p＝2c，
∴抛物线C2：y2＝4cx，∵点B在抛物线上，
∴（）2＝4（﹣c），∴a2c2+a4﹣c4＝0，
∴（e2）2﹣e2﹣1＝0，∴e2＝或e＝（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的渐近线以及离心率的综合问题，属于中档题．
6．若双曲线的实轴长为4，则正数m＝（ ）
A．B．2C．D．
【考点】双曲线的实轴和虚轴．
【答案】A
【分析】依题意可得，解得即可．
【解答】解：由双曲线实轴长为4，有，又m＞0，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
7．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣my＝0上任意一点M关于直线y＝2x﹣1的对称点N也在圆上．则实数m＝（ ）
A．4B．6C．﹣6D．﹣4
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】B
【分析】求得圆心坐标，由已知可得圆心在直线y＝2x﹣1上，可求得m的值．
【解答】解：圆C的方程化为标准方程为，
因为圆C：x2+y2﹣4x﹣my＝0上任意一点M关于直线y＝2x﹣1的对称点N也在圆上．
所以直线y＝2x﹣1经过圆心，即，解得m＝6．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属基础题．
8．已知A（3，2），抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】C
【分析】过点P作PH垂直于准线且交准线于H，则△PAF的周长|AF|+|PA|+|PF|转化成|AF|+|PA|+|PH|即可求解．
【解答】解：由题意，抛物线的准线x＝﹣2，过点P作PH垂直于准线且交准线于H，则|PF|＝|PH|，
由题可知，△PAF的周长为|AF|+|PA|+|PF|＝|AF|+|PA|+|PH|，又，
如图，|AF|+|PA|+|PH|≥|AF|+|AH|，
当A，P，H三点共线时，△PAF的周长最小，且最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，|OP|＝|OF2|，且△POF1的面积为4，则实数b＝（ ）
A．B．2C．D．4
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】C
【分析】由，得△PF1F2为直角三角形，根据双曲线定义，再利用以及勾股定理建立等量关系即可求解．
【解答】解：因为△POF1的面积为4，所以△PF1F2的面积为8，
又|OP|＝|OF2|，所以，
所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
所以|m﹣n|＝2a，m2+n2＝4c2，
所以，
所以，
又b＞0，所以．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
10．与椭圆＝1有相同焦点，且过点（0，）的椭圆方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
【考点】椭圆的几何特征；椭圆的标准方程．
【答案】C
【分析】求出已知椭圆的焦点坐标，利用所求椭圆经过的点，求出a，b，得到椭圆方程即可．
【解答】解：椭圆＝1的焦点（±2，0），
所以所求椭圆的焦点坐标（±2，0），即c＝2，
所求椭圆过点（0，），可知b＝，所以a＝，
所求椭圆方程为：．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
11．已知双曲线 ﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝48x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣＝1B．﹣＝1
C．﹣＝1D．﹣＝1
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】A
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程6，可得双曲线的左焦点，此时由双曲线的性质a2+b2＝c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．
【解答】解：因为抛物线y2＝48x的准线方程为x＝﹣12，
则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，
所以a2+b2＝c2＝144，
又双曲线的一条渐近线方程是y＝x，
所以＝，
解得a2＝36，b2＝108，
所以双曲线的方程为﹣＝1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．
12．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
【考点】抛物线的标准方程．
【答案】C
【分析】根据抛物线方程算出|OF|＝，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|＝．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF＝∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．
【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|＝，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF|＝＝，
∴sin∠OAF＝＝，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF＝∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝，
∵|MF|＝5，|AF|＝
∴＝，整理得4+＝，解之可得p＝2或p＝8
因此，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．
故选：C．
方法二：
∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F（，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|＝x+＝5，可得x＝5﹣，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16＝0，所以p＝2或p＝8．
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．
故选：C．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
二．多选题（共8小题）
（多选）13．已知圆O：x2+y2＝4，下列说法正确的是（ ）
A．过点P（1，1）作直线与圆O交于A，B两点，则|AB|范围为
B．过直线l：x+y﹣4＝0上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点（1，1）
C．圆O与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为（3，5）
D．圆O上有2个点到直线的距离等于1
【考点】直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定．
【答案】AB
【分析】对于A：可知点P在圆O内，根据圆心O到过点P的直线的距离结合弦长公式分析求解；对于B：作以Q（a，4﹣a）为圆心，|QC|为半径的圆Q，由题意可知：直线CD为圆Q与圆O的公共弦所在的直线，结合两圆方程分析求解；对于D：根据点到直线的距离公式结合圆的性质分析判断．
【解答】解：因为圆O的圆心为O（0，0），半径R＝2，
对于选项A：因为，可知点P在圆O内，
可得圆心O到过点P的直线的距离，
所以，故A正确；
对于选项B：设Q（a，4﹣a），则，
可得|QC|2＝|OQ|2﹣r2＝a2+（4﹣a）2﹣4．
以Q为圆心，|QC|为半径的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣4+a）2＝a2+（4﹣a）2﹣4，
整理得x2+y2﹣2ax﹣2（4﹣a）y+4＝0，由题意可知：直线CD为圆Q与圆O的公共弦所在的直线，
可得4﹣2ax﹣2（4﹣a）x+4＝0，整理得a（x﹣y）+4（y﹣1）＝0，
令，解得，所以直线CD多过定点（1，1），故B正确；
对于选项C：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2的圆心C（3，4），半径为r，
则，
若圆O与圆C有且仅有两条公切线，则|r﹣R|＜|OC|＜R+r，即|r﹣2|＜5＜2+r，解得3＜r＜7，
所以实数r的取值范围为（3，7），故C错误；
对于选项D：因为圆心O到直线l： 的距离，
所以圆O上有4个点到直线的距离等于1，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）14．若点P（1，0）在圆C：x2+y2+2x﹣4y+m＝0的外部，则m的取值可能为（ ）
A．﹣3B．1C．4D．7
【考点】点与圆的位置关系．
【答案】BC
【分析】由圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，结合点在圆外列不等式组求参数范围．
【解答】解：由题设C：（x+1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，P（1，0）在圆外，
则，解得﹣3＜m＜5．
故选：BC．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
（多选）15．以下关于圆锥曲线的命题中，其中是真命题的有（ ）
A．双曲线与椭圆有相同的焦点
B．过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有2条
C．设A，B是两个定点，k是非零常数，若|PA|﹣|PB|＝k，则动点P的轨迹是双曲线的一支
D．动圆P过定点F（1，0）且与定直线l：x＝﹣1相切，则圆心P的轨迹方程是y2＝4x
【考点】双曲线的几何特征；命题的真假判断与应用；双曲线的定义．
【答案】AD
【分析】求出双曲线与椭圆的焦点坐标即可判断A；求出双曲线的实轴长及过右焦点的直线垂直x轴时所截弦长即可判断B；由双曲线的定义即可判断C；根据抛物线的定义即可判断D．
【解答】解：对于A，双曲线的焦点为（±5，0），椭圆的焦点为（±5，0），故A正确；
对于B，由双曲线的方程知，右焦点，实轴长为10，所以过右焦点与双曲线左右两支各交于一点且满足弦长为10的直线只有1条；
过右焦点的直线垂直x轴时，得两交点坐标为，此时弦长为，所以过右焦点与双曲线右支相交于两点且满足弦长为10的直线有2条；
综上，过双曲线的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，故B错误；
对于C，当|k|＝|AB|时，动点P的轨迹是一条射线，当|k|＜|AB|时，动点P的轨迹是双曲线的一支，故C错误；
对于D，因为动圆P过定点F（1，0）且与定直线l：x＝﹣1相切，即P点到F（1，0）的距离与到直线l：x＝﹣1的距离相等，
根据抛物线的定义可得，P点的轨迹是为以F（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，所以点P的轨迹方程为y2＝4x，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
（多选）16．已知直线l：x＝4是曲线C的准线，则曲线C的方程可能为（ ）
A．x2＝﹣16yB．y2＝﹣16x
C．﹣＝1D．+＝1
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】BD
【分析】求出抛物线以及椭圆、双曲线的准线方程，即可得到结果．
【解答】解：x2＝﹣16y的准线方程为：y＝4；
y2＝﹣16x的准线方程为：x＝4；
﹣＝1的准线方程为：x＝±．
+＝1的准线方程为：x＝±4；
直线l：x＝4是曲线C的准线，则曲线C的方程可能为：BD．
故选：BD．
【点评】本题考查圆锥曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
（多选）17．已知抛物线C：x2＝8y，点P是抛物线C准线上的一点，过点P作抛物线C的切线，切点分别为A，B，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是 （ ）
A．直线AB恒过定点（0，2）
B．|k1﹣k2|＝2
C．k1k2＝﹣1
D．△PAB的面积最小值为16
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．
【答案】ACD
【分析】利用导数可得切线方程，进而可得直线AB方程，即可判断A选项；联立直线AB与抛物线，结合韦达定理可得k1k2与|k1﹣k2|，判断BC选项；利用弦长公式，结合点到直线的距离可判断D选项．
【解答】解：设P（t，﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），因为，所以，，
所以在点A处的切线方程为，即x1x＝4（y+y1），
同理可得，在点B处的切线方程为x2x＝4（y+y2），所以tx1＝4（﹣2+y1），tx2＝4（﹣2+y2），
故直线AB的方程为tx＝4（﹣2+y），直线AB恒过定点（0，2），故A选项正确；
由，得x2﹣2tx﹣16＝0，所以x1+x2＝2t，x1x2＝﹣16，
所以，≥2，故B选项错误，C选项正确；，点P到直线AB的距离，
所以△PAB的面积，所以Smin＝16，故D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于中档题．
（多选）18．已知双曲线C：x2﹣4y2＝1，则双曲线的（ ）
A．焦点坐标为
B．离心率为
C．渐近线方程为x+2y＝0和x﹣2y＝0
D．虚轴长为1
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】CD
【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，e，可得双曲线的渐近线方程和虚轴长、焦点坐标，可得结论．
【解答】解：双曲线C：x2﹣4y2＝1即x2﹣＝1，
可得a＝1，b＝，c＝＝，e＝＝，
渐近线方程为x+2y＝0和x﹣2y＝0，
焦点坐标为（﹣，0），（，0），虚轴长为2b＝1，
故选：CD．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
（多选）19．已知抛物线C：y2＝12x，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点M（4，3），则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为x＝﹣3
B．若|PF|＝7，则△PMF的面积为2
C．|PF|﹣|PM|的最大值为
D．△PMF的周长的最小值为
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为x＝﹣3，即可判断A，根据抛物线定义得到xP＝4，故P点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到（|PF|﹣|PM|）max＝|MF|，计算即可判断C，三角形PMF的周长＝，再结合抛物线定义即可求出|PM|+|PF|的最小值，即得到周长最小值，从而判断D．
【解答】解：对A选项，∵y2＝12x，∴p＝6，∴F（3，0），准线方程为x＝﹣3，故A正确；
对B选项，根据抛物线定义得，∴xP＝4，
∵M（4，3），∴PM∥y轴，当x＝4时，，
若P点在第一象限时，此时，
故，△PMF的高为1，
故，
若点P在第四象限，此时，
故，△PMF的高为1，
故，故B错误；
对C选项，∵|PF|﹣|PM|≤|MF|，
∴，故C正确；
对D选项，连接FM，并延长交于抛物线于点P，此时即为|PF|﹣|PM|最大值的情况，
图对应如下：
过点P作PD⊥准线，垂足为点D，
△PMF的周长＝，
若周长最小，则|PM|+|PD|长度和最小，
显然当点P，M，D位于同一条直线上时，|PM|+|MF|的和最小，
此时|PM|+|MF|＝|PD|＝7，
故周长最小值为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属中档题．
（多选）20．已知直线l：y＝x+m过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A．m＝﹣1
B．|AB|＝8
C．|AF|＝2|BF|
D．抛物线C上的动点到直线y＝x+2距离的最小值为
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点弦及焦半径．
【答案】ABD
【分析】对于A选项，求出F（1，0），从而得到m+1＝0，求出m＝﹣1；
对于B选项，联立直线方程和抛物线方程，得到两根之和，由焦点弦弦长公式求出|AB|＝8；
对于C选项，在B选项基础上求出，结合焦半径公式得到|AF|≠2|BF|；
对于D选项，设M（x1，y1），表达出点M到直线y＝x+2的距离为，求出最小值．
【解答】解：对于A，由抛物线C：y2＝4x，可得焦点为F（1，0），
因为l：y＝x+m过抛物线C的焦点F，可得m+1＝0，解得m＝﹣1，故A正确；
对于B，联立方程组，整理得x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则Δ＝36﹣4＝32＞0，x1+x2＝6，x1x2＝1，
由抛物线的焦点弦的性质，可得|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8，故B正确；
对于C，由x2﹣6x+1＝0，解得，根据抛物线的定义，
可得，
所以|AF|≠2|BF|，故C错误；
对于D，设M（x1，y1）是抛物线C上的任意一点，可得，
则点M到直线y＝x+2的距离为，
当y1＝2时，，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题
三．填空题（共11小题）
21．已知椭圆x2+ky2＝2的焦点在y轴上，若椭圆的焦距为4，则k的值为 ．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】．
【分析】首先将椭圆方程化为标准式，即可得到a2、b2，根据焦距求出k．
【解答】解：椭圆x2+ky2＝2即，焦点在y轴上，
所以，
所以，
又椭圆的焦距为4，
所以，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，属于中档题．
22．设圆C与双曲线的渐近线相切，且圆心是双曲线的右焦点，则圆C的标准方程是 （x﹣5）2+y2＝16 ．
【考点】圆的标准方程；双曲线的几何特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出渐近线和右焦点，利用点到直线的距离公式求出半径为 r，可得圆的标准方程．
【解答】解：双曲线的一条渐近线为4x﹣3y＝0，圆心即右焦点（5，0），
故半径为 r＝＝4，故圆的方程为（x﹣5）2+y2＝16，
故答案为（x﹣5）2+y2＝16．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，求圆的标准方程的方法，求圆的半径是解题的关键．
23．动直线l：（m﹣2）x+（m+1）y﹣3m＝0（m∈R）过定点M，则M的坐标为 （1，2） ．
【考点】恒过定点的直线．
【答案】（1，2）．
【分析】依题意将直线整理成关于m的一次函数形式，解方程组即可求得M（1，2）．
【解答】解：根据题意将直线l方程整理可得（x+y﹣3）m﹣2x+y＝0，
令，解得，
所以可得M（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查求直线过的定点，属于基础题．
24．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点，点P在C上，，且△POM的面积为1，则C的准线方程为 x＝﹣1 ．
【考点】求抛物线的准线方程；抛物线的定义．
【答案】x＝﹣1．
【分析】根据抛物线的定义结合几何关系确定出∠PMQ的大小，然后根据△POM的面积列出关于p的方程，由此求解出p的值，则准线方程可知．
【解答】解：由题知C的准线过点M，
如图，过点P作C的准线的垂线，垂足为Q，
由抛物线的定义可知|PQ|＝|PF|，
则由可知，
所以在Rt△PQM中，∠PMQ＝45°，
得|PQ|＝|MQ|，
由△POM的面积为1，得，
则，
则，
所以，
得p＝2，
所以C的准线方程为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
25．椭圆4（x﹣a）2+y2＝4与抛物线y2＝2x有公共点，则a的取值范围是 [﹣1，] ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】[﹣1，]．
【分析】联立方程，将椭圆4（x﹣a）2+y2＝4与抛物线y2＝2x有公共点，转化为方程2x2﹣（4a﹣1）x+2a2﹣2＝0至少有一个非负根，求出两根皆负时，实数a的取值范围，即可求得结论．
【解答】解：椭圆4（x﹣a）2+y2＝4与抛物线y2＝2x联立可得2x＝4﹣4（x﹣a）2，
∴2x2﹣（4a﹣1）x+2a2﹣2＝0．
∵椭圆4（x﹣a）2+y2＝4与抛物线y2＝2x有公共点，
∴方程2x2﹣（4a﹣1）x+2a2﹣2＝0至少有一个非负根．
∴Δ＝（4a﹣1）2﹣16（a2﹣1）＝﹣8a+17≥0，∴a≤．
又∵两根皆负时，由韦达定理可得2a2＞2，4a﹣1＜0，∴a＜﹣1或a＞1且a＜，即a＜﹣1．
∴方程2x2﹣（4a﹣1）x+2a2﹣2＝0至少有一个非负根时，﹣1≤a≤．
∴a的取值范围是[﹣1，]．
故答案为：[﹣1，]．
【点评】本题考查椭圆与抛物线的位置关系，考查学生分析转化问题的能力，考查计算能力，正确合理转化是关键，属中档题．
26．已知点M（﹣5，0），点P在曲线上运动，点Q在曲线（x﹣5）2+y2＝1上运动，则的最小值是 20 ．
【考点】双曲线的几何特征；椭圆的几何特征．
【答案】20．
【分析】由已知结合双曲线定义，性质及圆的性质先表示所求式子，然后利用换元法进行变形，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为点P在曲线上运动，即在双曲线右支上，
所以|PM|﹣|PF2|＝6，
又点Q在曲线（x﹣5）2+y2＝1上运动，
所以|PQ|≤R+|PF2|＝1+|PF2|，
所以≥＝，
因为P在双曲线右支上，F2为右焦点，
所以|PF2|≥c﹣a＝2，
令t＝|PF2|+1，则t≥3，
＝＝t＝20，当且仅当t＝5时取等号，
所以的最小值为20．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了双曲线的定义及性质，圆的性质，基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
27．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，则|PF1|•（|PF2|+2）的最大值为 25 ．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】25．
【分析】先根据定义得到|PF1|和|PF2|的关系，再利用均值不等式求最大值．
【解答】解：因为点P是椭圆C上的一点，
所以|PF1|+|PF2|＝8，
又由均值不等式可得，
当且仅当|PF1|＝|PF2|+2，
即|PF1|＝5，|PF2|＝3时等号成立，
故答案为：25．
【点评】本题考查了椭圆的定义，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
28．双曲线的渐近线方程为 ．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【答案】．
【分析】根据双曲线的方程，求出a，b的值，由焦点在x轴上，求出渐近线方程．
【解答】解：双曲线，焦点在x轴上，a2＝7，b2＝14，则，，
所以渐近线方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
29．已知直线l：y＝kx+2k与曲线恰有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】．
【分析】由题意画出图形，求出直线l：y＝kx+2k与曲线相切时的k值，数形结合得答案．
【解答】解：由，得（x﹣3）2+（y﹣2）2＝9（y≥2），
其图象是以（3，2）为圆心，3为半径的圆的上半部分，
直线l：y＝kx+2k是过点（﹣2，0）的直线，作出图象，如图所示：
半圆过点B（0，2），由图象可知求得直线PB的斜率，以及直线l与半圆相切于A的斜率，
可求直线l：y＝kx+2k与曲线恰有两个不同的公共点时，实数k的取值范围，
易得直线PB的斜率为，
由＝3，可得直线PA的斜率为，
所以实数k的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．
30．已知tanα＝3，则tan（α+）＝ ﹣2 ．
【考点】两角和与差的三角函数．
【答案】见试题解答内容
【分析】将所求的式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入，即可求出值．
【解答】解：∵tanα＝3，
∴tan（α+）＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
31．过点P（2，1）作圆O：x2+y2＝1的切线l，则切线l的斜率 0或 ．
【考点】过圆外一点的圆的切线方程．
【答案】0或．
【分析】设出直线方程，借助切线的性质计算即可得．
【解答】解：圆O：x2+y2＝1可知圆心O（0，0），半径r＝1，
当直线l斜率不存在时，直线l为x＝2，
此时圆心（0，0）到l的距离d＝2≠r，故不符合条件，
当直线l斜率存在时，设直线l为y＝k（x﹣2）+1，
即kx﹣y﹣2k+1＝0，
此时圆心（0，0）到l的距离d＝＝r＝1，
解得k＝0或．
故答案为：0或．
【点评】本题考查分类讨论的思想及点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
四．解答题（共14小题）
32．已知点A是抛物线y2＝16x上的动点，过点A向x轴作垂线段，垂足为B，垂线段AB中点为C，设C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点F（1，0）且斜率为1的直线l交曲线E于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．
【考点】直线与抛物线的综合；直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）2．
【分析】（1）根据中点坐标即可将A（x，2y）代入y2＝16x求解；
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可由面积公式求解．
【解答】解：（1）设C（x，y），则A（x，2y），
由于A（x，2y）在抛物线y2＝16x上，所以4y2＝16x，即y2＝4x；
（2）根据题意可设直线l的方程为y＝x﹣1，
联立，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝6，x1x2＝1，
因此y1+y2＝x1+x2﹣2＝4，y1y2＝（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣4，
所以△MON面积为S＝×|OF|×|y1﹣y2|＝×1×|y1﹣y2|＝＝×4＝2．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
33．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF1⊥x轴，|MF1|＝．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y＝kx+2交椭圆于A、B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）运用离心率公式和通径长公式，结合椭圆的a，b，c的关系，解方程即可得到a，b的值，今儿得到椭圆方程；
（2）直线l：y＝kx+2与椭圆联立，表示出△AOB面积，利用韦达定理，结合换元，基本不等式，即可求△AOB面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得e＝＝，即a＝c
∵b2＝a2﹣c2＝a2﹣a2＝a2①．
∵MF1⊥x轴
∴|MF1|＝＝②
由①②可得a＝2，b2＝8
∴椭圆的方程为+＝1
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线l：y＝kx+2与椭圆联立可得（2+3k2）x2+12kx﹣12＝0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
又原点到直线l：y＝kx+2的距离d＝，
∴△AOB的面积S＝|x1﹣x2|d
＝|x1﹣x2|＝，
令t＝1+3k2（t≥1），
则S2＝＝≤＝24．
当且仅当t＝1，即k＝0时，△AOB面积的最大值为2．
【点评】本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
34．已知双曲线的方程是．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，且|PF1|•|PF2|＝16，求PF2的大小．
【考点】直线与双曲线的综合．
【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程；
（2）由双曲线定义有|PF1|﹣|PF2|＝6，结合已知求|PF2|即可．
【解答】解：（1）由双曲线方程知渐近线方程为：；
（2）由双曲线定义|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，
所以|PF1|＝|PF2|+6，
所以，
解得：|PF2|＝2或|PF2|＝﹣8（舍），
所以：|PF2|＝2．
【点评】本题考查了双曲线的性质及直线与双曲线位置关系，属于中档题．
35．已知F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，直线y＝x﹣2与抛物线E交于M，N两点且|MF|+|NF|＝10．
（1）求抛物线E的方程；
（2）直线l：y＝kx+2（k≠0）交抛物线E于A，B两点，点G与点A关于x轴对称，直线AG与直线y＝x交于点C，与直线OB交于点D（O为坐标原点），求证：|AC|＝|CD|．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【答案】（1）y2＝4x；（2）证明见解答．
【分析】（1）联立y＝x﹣2和y2＝2px，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则G（x1，﹣y1），C（x1，x1），显然x1，x2均不为0，联立直线y＝kx+2与抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理可得证明．
【解答】解：（1）将y＝x﹣2代入y2＝2px，可得x2﹣（4+2p）x+4＝0，
设M，N的横坐标分别为xM，xN，可得xM+xN＝4+2p，
由|MF|+|NF|＝10，可得xM++xN+＝xM+xN+p＝10，
即4+3p＝10，解得p＝2，
则抛物线E的方程为y2＝4x；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则G（x1，﹣y1），C（x1，x1），显然x1，x2均不为0，
由可得y2﹣y+2＝0，
则y1+y2＝，y1y2＝，消去k，可得y1y2＝2y1+2y2，
由可得D（x1，x1），
由y1+•x1＝y1+•＝y1+，
2x1＝2•＝y12，
y12﹣y1﹣＝y1（y1﹣2﹣）＝y1•＝0，
所以2x1＝y1+，
则C为AD的中点，即|AC|＝|CD|．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
36．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，e＝，虚轴长为4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线l：y＝kx（0＜k＜2）与双曲线交于A，B两点且∠AF2B＝，求△AF2B的面积．
【考点】双曲线的焦点三角形．
【答案】（1）x2﹣＝1；（2）．
【分析】（1）根据双曲线的几何性质，方程思想即可求解；
（2）连接AF1，BF1，则由双曲线与直线l的对称性易知：四边形AF1BF2为平行四边形，从而得△AF2B的面积等于△F1AF2的面积，再推到出“焦点三角形“的面积公式，从而根据公式即可求解．
【解答】解：（1）∵双曲线的离心率e＝，虚轴长为4，
∴，解得a＝1，b＝2，c＝，
∴双曲线的标准方程为x2﹣＝1；
（2）如图，连接AF1，BF1，
则由双曲线与直线l的对称性易知：四边形AF1BF2为平行四边形，
又∠AF2B＝，∴∠F1AF2＝，
由根据平行四边形的性质可知：△AF2B的面积等于△F1AF2的面积，
设AF1＝m，AF2＝n，∠F1AF2＝θ＝，
则根据双曲线的几何性质及余弦定理可得：
，两式结合化简可得mn＝，
∴△F1AF2的面积S＝mnsinθ＝＝，
由（1）知b2＝4，又＝，
∴△F1AF2的面积S＝＝，
∴△AF2B的面积为．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，“焦点三角形“的面积的求解，属中档题．
37．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线y＝x截抛物线C所得弦长为．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直角三角形APB的三个顶点在抛物线C上，且直角顶点P的横坐标为1，过点A、B分别作抛物线C的切线，两切线相交于点Q．
①若直线AB经过点（0，3），求点Q的纵坐标；
②求的最大值及此时点Q的坐标．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的标准方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ），解得两交点为（0，0），（2p，2p）．利用距离公式求解即可．
（Ⅱ）①设点，，Q（m，n）．切线QA：，QB：，
由题设知，，转化求解点Q的纵坐标．
②由题设知，即．利用三角形的面积的比值，结合基本不等式转化求解即可．
【解答】解：（Ⅰ），解得两交点为（0，0），（2p，2p）．
所以，．
（Ⅱ）①设点，，Q（m，n）．切线QA：，QB：，
由题设知，，
即x1，x2是方程x2﹣2mx+n＝0的两根，于是x1+x2＝2m，x1x2＝n．
故直线AB：2mx﹣y﹣n＝0．又因为直线AB经过点（0，3），
所以n＝﹣3，即点Q的纵坐标为﹣3．
②由题设知，即．
则，
若4n+6＜0，令t＝﹣2n﹣3（t＞0），，
若4n+6＞0，令t＝2n+3＞0，，
当且仅当t＝5，n＝1时，等号成立，此时点Q的坐标为．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
38．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（a，a）（a为正数），F为抛物线的焦点，且|PF|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点Q为抛物线C上一动点，点M为线段FQ的中点，求点M的轨迹方程．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【答案】（1）y2＝4x；（2）y2＝2x﹣1．
【分析】（1）可得a2＝2pa，进而可得，求解可得抛物线C的标准方程；
（2）C：y2＝16x，设Q（x1，y1），M（x，y），根据点M为线段FQ的中点，可得：，由点Q为抛物线C上，代入即可得解．
【解答】解：（1）由抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（a，a），可得a2＝2pa，可得a＝2p，
又|PF|＝5，可得，
解得p＝2，a＝4，
故抛物线C的标准方程为y2＝4x；
（2）由（1）知C：y2＝4x，则F（1，0），
设Q（x1，y1），M（x，y），
根据点M为线段FQ的中点，
可得：，即，
由点Q为抛物线C上一动点，可得（2y）2＝4（2x﹣1）
整理可得点M的轨速方程为y2＝2x﹣1．
【点评】本题主要考查直线与抛物线方程的位置关系，轨迹方程的求解等知识，属中档题．
39．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1作斜率为k（k≠0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，过原点O作直线AB的垂线，垂足为D．若点D恰好是F1与A的中点，求线段AB的长度．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）待定系数法去求椭圆C的方程；
（2）先由题给条件确定直线AB的方程，再与椭圆C的方程联立，求得A，B两点的横坐标，进而求得线段AB的长度．
【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，
根据离心率，得到，
故b2＝a2﹣c2＝c2，所以a2＝2b2，所以可以得到椭圆C的方程为，
再代入点，得到，解得b2＝4，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）设A点坐标（x1，y1），B点坐标（x2，y2），
根据椭圆的对称性，设k＞0，
因为OD⊥AF1，D为AF1的中点，所以有|OF1|＝|OA|，
又因为|OF1|＝2，如果E为椭圆C的上顶点，则有|OE|＝2，则有点A，E重合，则直线AB的方程为y＝x+2，
由，得3x2+8x＝0，
所以，
所以．
【点评】本题主要考查椭圆的方程和椭圆的性质，属于中档题．
40．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M在直线x＝上，点N在双曲线C上，且焦点F在以线段MN为直径的圆上，分别记直线MN，ON的斜率为k1，k2，求k1k2的值．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【答案】；
（2）．
【分析】（1）利用双曲线的性质及点在双曲线上待定系数法求解即可；
（2）设M与N的坐标，利用两点斜率公式及F在以线段MN为直径的圆上，得出点坐标之间关系式结合N在双曲线上消元计算即可．
【解答】解：（1）易知双曲线C的渐近线为，
根据题意可知，
解之得a2＝3，b2＝1，
故双曲线C的标准方程为；
（2）由（1）可知F（2，0），设，显然，
由题意可知MF⊥NF，则，
而，
所以．
【点评】本题考查了根据双曲线过的点求标准方程，根据双曲线的渐近线求标准方程，双曲线中的定值问题，属于中档题．
41．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点（1，），（0，﹣）．
（2）以点F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点，经过点P（2，）．
【考点】根据椭圆上的点求椭圆的标准方程．
【答案】（1）+＝1：
（2）+＝1．
【分析】（1）由已知可得椭圆焦点在x轴上，再由椭圆定义求a，结合隐含条件求b，则椭圆方程可求．
（2）由已知可得c，结合椭圆的性质可求2a，进而可求椭圆的标准方程．
【解答】解：（1）∵焦点在x轴上，中心为坐标原点，设椭圆方程为+＝1，经过点（0，﹣）．
∴b＝，∴+＝1，又椭圆经过点（1，），∴+＝1，解得a2＝4，
∴椭圆的标准方程为+＝1：
（2）∵F1（﹣1，0），F2（1，0），且点P（2，）在椭圆上，
∴2a＝+＝2，
∴a＝，则b2＝a2﹣c2＝4．
∴椭圆方程为+＝1．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆方程的求法，属基础题．
42．求双曲线16x2﹣9y2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】实半轴为a＝3，虚半轴为b＝4，焦点坐标为（﹣5，0），（5，0），离心率为，渐近线方程为．
【分析】先将双曲线化为标准方程，再利用双曲线的几何性质求解即可．
【解答】解：因为双曲线16x2﹣9y2＝144可化为，
所以a2＝9，b2＝16，c2＝a2+b2＝25，
所以a＝3，b＝4，c＝5，
所以实半轴为a＝3，虚半轴为b＝4，
焦点坐标为（﹣5，0），（5，0），
离心率为，
渐近线方程为．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
43．已知圆，圆，证明圆C1与圆C2相交，并求圆C1与圆C2的公共弦长．
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．
【答案】证明见解析，．
【分析】分别求出两圆的圆心及半径，再求出圆心距，进而可证得两圆相交，两圆的方程相减得到公共弦所在直线的方程，再根据圆的弦长公式即可得解．
【解答】证明：圆C1的标准方程为，
所以圆心为，半径，
圆C2的标准方程为，
所以圆心为，半径，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝1，，，
所以|r1﹣r2|＜d＜r1+r2，圆C1和圆C2相交；
将圆C2和圆C1的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为2x+1＝0，
设公共弦所在直线的方程为2x+1＝0与圆C1与圆C2相交的公共点分别为A，B，
圆心到直线到直线2x+1＝0的距离，
则公共弦长为．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，以及公共弦长的求解，属于中档题．
44．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，各棱长均为1，E为A1B1的中点，D为CC1的中点．
（1）求证：C1E∥平面AB1D；
（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行．
【答案】（1）证明见解析．
（2）．
【分析】（1）构造平行四边形，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出两向量夹角的余弦值，进而得到两异面直线所成角的余弦值即可．
【解答】解：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，各棱长均为1，E为A1B1的中点，D为CC1的中点，
连接A1B与AB1交于点O，连接EO，DO，如图，
∵E为A1B1的中点，∴EO∥AA1，，
∵D为CC1的中点，∴C1D∥AA1，，
∴EO∥C1D，EO＝C1D，∴四边形EODC1是平行四边形，∴C1E∥DO，
∵C1E⊄平面AB1D，DO⊂平面AB1D，
∴C1E∥平面AB1D．
（2）依题意，以C为原点，以CA，CC1为x，z轴，以在平面ABC内垂直于CA的直线为y轴，如图，
则，
故，
记异面直线AB1与BC1所成角为θ，则，
∴，
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的判定与证明、异面直线所成角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
45．已知椭圆C的方程椭圆左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点．
（1）若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积；
（2）在椭圆C上找一点P，使它到直线l：x+y+4＝0的距离最短，并求出最短距离．
【考点】由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数；椭圆的焦点三角形．
【答案】（1）；
（2）P的坐标为．
【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义，余弦定理和三角形面积公式再进行求解即可；
（2）设出与直线l：x+y+4＝0平行的直线方程，将该直线方程与椭圆方程联立，结合根的判别式求出m的值，再结合点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】解：（1）椭圆C的方程为，
∵点P是椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，
易得，，
在△F1PF2中，由余弦定理得，
整理得，即，
∴，
则；
（2）设与直线l平行的直线x+y+m＝0与椭圆相切，
联立，消去y并整理得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，①
∵Δ＝（6m）2﹣16（3m2﹣3）＝0，解得m＝±2；
当m＝﹣2时，直线l与直线x+y﹣2＝0的距离，
当m＝2时，直线l与直线x+y+2＝0的距离；
∵，∴m＝2符合题意，将m＝2代入①式中，解得，
当时，，则点P的坐标为，
点P到直线k的距离的最小值为．
【点评】本题主要考查椭圆的焦点三角形，直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
3．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
4．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
5．恒过定点的直线
【知识点的认识】
﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
其中a和b是直线的方向向量分量．
【解题方法点拨】
﹣求方程：
1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程．
2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式．
3．标准方程：得到直线方程如：
a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0
【命题方向】
﹣定点直线：考查如何找到所有恒过一个定点的直线方程，通常涉及固定点和直线方程的转换．
6．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （x﹣3）2+（y+2）2＝5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
7．点与圆的位置关系
【知识点的认识】
点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较．
①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；
②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；
③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．
8．过圆外一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式：
其中R是与圆外切的圆的半径．
【解题方法点拨】
﹣求切线方程：
1．计算切点：找到外点到圆的距离，即切线半径．
2．应用公式：使用切线方程公式计算得到切线方程．
【命题方向】
﹣外切线问题：考查如何找到通过圆外一点的切线方程，涉及到切线长度和几何计算．
9．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
10．圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
【解题方法点拨】
圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r1+r2
②外切（3条公切线）：d＝r1+r2
③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2
④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
11．根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系
【知识点的认识】
﹣位置关系：两圆的位置关系可以通过圆心距和半径之和与半径之差确定：
﹣相交：圆心距小于两半径之和且大于半径之差
﹣外离：圆心距大于两半径之和
﹣内切：圆心距等于半径之差
﹣外切：圆心距等于两半径之和
【解题方法点拨】
﹣确定位置关系：
1．计算圆心距．
2．比较半径和圆心距，确定圆与圆的位置关系．
【命题方向】
﹣圆与圆的位置关系：考查如何通过圆心距和半径的比较确定圆与圆的位置关系，涉及几何计算和代数比较．
12．两圆的公切线条数及方程的确定
【知识点的认识】
之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线．
【解题方法点拨】
初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的参数即可．
13．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
14．根据椭圆上的点求椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆上的点（x1，y1）可以用来求椭圆的标准方程．代入标准方程可以形成方程组来求解a和b．
【解题方法点拨】
1．代入点坐标：将点（x1，y1）代入标准方程：
2．求解a和b：利用代入的方程解得a和b，从而确定椭圆的标准方程．
【命题方向】
﹣给定椭圆上的点，求椭圆的标准方程．
﹣从点的坐标推导出椭圆的方程．
15．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
16．直线与椭圆的综合
【知识点的认识】
直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与椭圆相交⇔Δ＞0；
直线与椭圆相切⇔Δ＝0；
直线与椭圆相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨】
（1）直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；
②借助直线和椭圆的几何性质来判断．
根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．
（2）弦长的求法
设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|＝＝（k为直线斜率）
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
（3）中点弦、弦中点常见问题
①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；
②平行弦中点的轨迹；
③过定点的弦的中点的轨迹．
解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．
（4）椭圆切线问题
①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；
②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；
③过椭圆上一点只能作一条切线．
（5）最值与范围问题的解决思路
①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；
②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．
在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．
【命题方向】
1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；
2．由已知条件求直线的方程；
3．中点弦或弦的中点问题；
4．弦长问题；
5．与向量结合求参变量的取值．
17．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数
【知识点的认识】
根据直线与椭圆的公共点个数可以推导出直线的方程或椭圆的参数．
【解题方法点拨】
1．利用方程个数：由交点个数推导直线方程或椭圆参数．
2．计算交点：解方程组，确定交点个数．
【命题方向】
﹣根据公共点个数，求直线方程或椭圆的参数．
﹣利用直线与椭圆的交点情况推导相关方程．
18．椭圆的焦点三角形
【知识点的认识】
焦点三角形是由椭圆的两个焦点和椭圆上的一点形成的三角形．三角形的面积和其他性质可以通过椭圆的参数计算．
【解题方法点拨】
1．计算三角形面积：使用焦点坐标和椭圆上的点计算三角形的面积．
2．应用公式：三角形面积公式为：
【命题方向】
﹣给定焦点和椭圆上的点，计算焦点三角形的面积．
﹣分析焦点三角形的几何特征．
19．抛物线的定义
【知识点的认识】
抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．
标准方程
①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；
②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．
性质
我们以y2＝2px（p＞0）为例：
①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．
【解题方法点拨】
例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为
解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，
∴设P（x，），
∵点Q的坐标为（3，0），
∴|PQ|＝
＝
＝，
∴当x＝，即P（）时，
|PQ|取最小值．
故答案为：．
这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．
例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．
解：如图所示，
设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．
过点P作PM⊥l，垂足为M．
则|PM|＝|PF|．
设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．
∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．
即|PM|+|PQ|的最小值为．
故答案为：．
这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．
【命题方向】
抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．
20．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
21．抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
22．求抛物线的准线方程
【知识点的认识】
准线是与焦点平行的直线，距离焦点的距离等于p．准线的方程为或根据抛物线的对称轴决定．
【解题方法点拨】
1．确定准线的位置：准线的方程取决于p的值．
2．代入标准方程：使用p计算准线的方程．
【命题方向】
﹣给定抛物线参数，求准线的方程．
﹣根据抛物线的标准方程确定准线方程．
23．直线与抛物线的综合
【知识点的认识】
直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与抛物线相交⇔Δ＞0；
直线与抛物线相切⇔Δ＝0；
直线与抛物线相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨】
研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．
直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组的解的个数．
（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．
【命题方向】
掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往往是高考考试的热点．
24．抛物线的切线方程及性质
【知识点的认识】
抛物线的切线方程可以通过点斜式或标准方程表示．对于y2＝2px，切线方程为；对于x2＝2py，切线方程为．
【解题方法点拨】
1．计算切线方程：根据给定点或斜率求解切线方程．
2．分析切线性质：使用标准方程验证切线的性质．
【命题方向】
﹣给定切点或斜率，求抛物线的切线方程．
﹣分析切线的性质及其在抛物线上的几何位置．
25．抛物线的焦点弦及焦半径
【知识点的认识】
焦点弦是通过焦点且与抛物线的两条切线相交的弦．焦半径是从焦点到弦上任意一点的距离．
【解题方法点拨】
1．计算焦点弦：使用焦点和弦的方程计算焦点弦的长度．
2．计算焦半径：计算焦点到弦上点的距离．
【命题方向】
﹣给定焦点和弦，计算焦点弦的长度和焦半径．
﹣分析焦点弦和焦半径的性质．
26．双曲线的定义
【知识点的认识】
双曲线（Hyperbla）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（fcus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
标准方程
①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；
②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．
性质
这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：
①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．
【解题方法点拨】
例1：双曲线﹣＝1的渐近线方程为
解：由﹣＝0可得y＝±2x，即双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线．
例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程
解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，
设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），
∵双曲线过点P（4，3），
∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．
∴所求双曲线方程为﹣y2＝﹣5，
即：﹣＝1．
一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了．
【命题方向】
这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写．
27．求双曲线的渐近线方程
【知识点的认识】
双曲线的渐近线是双曲线无限远处的切线．对于双曲线或，其渐近线方程为或．
【解题方法点拨】
1．计算斜率：利用计算渐近线的斜率．
2．代入方程：写出渐近线方程．
【命题方向】
﹣给定双曲线的参数，求渐近线方程．
﹣利用标准方程计算渐近线方程．
28．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
29．双曲线的实轴和虚轴
【知识点的认识】
双曲线的实轴是通过两个顶点的线段，虚轴是与双曲线相交的渐近线的距离．对于双曲线，实轴长度为2a，虚轴长度为2b．
【解题方法点拨】
1．计算实轴长度：由a计算实轴长度．
2．计算虚轴长度：由b计算虚轴长度．
【命题方向】
﹣给定双曲线方程，求实轴和虚轴的长度．
﹣利用参数计算实轴和虚轴的长度．
30．直线与双曲线的综合
【知识点的认识】
直线与双曲线的位置判断：将直线方程与双曲线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与双曲线相交⇔Δ＞0；
直线与双曲线相切⇔Δ＝0；
直线与双曲线相离⇔Δ＜0；
直线与双曲线的位置关系只有三种，不可能出现有多个解，因为直线与双曲线的交点个数最多有2个．值得注意的是，当直线方程和双曲线方程联立后，如果得到一元一次方程，说明此时直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线相交，且只有一个交点．
【解题方法点拨】
（1）直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：
①直线平行渐近线；②直线与双曲线相切．
（2）弦长的求法
设直线与双曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|＝＝（k为直线斜率）
注意：利用公式计算直线被双曲线截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
【命题方向】
双曲线知识通常与圆、椭圆、抛物线或数列、向量及不等式、三角函数相联系，综合考查数学知识及应用是高考的重点，应用中应注意对知识的综合及分析能力，双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．
31．双曲线的焦点三角形
【知识点的认识】
焦点三角形由双曲线上的点、焦点组成的三角形．其面积可以通过双曲线的参数计算．
【解题方法点拨】
1．确定三角形顶点：计算双曲线上的点和焦点的坐标．
2．计算面积：使用三角形面积公式计算面积．
【命题方向】
﹣给定双曲线上的点和焦点，求焦点三角形的面积．
﹣分析焦点三角形的几何性质及计算方法．
32．曲线与方程
【知识点的认识】
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．
【解题方法点拨】
例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）
A：直线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支．
解：对定点B分类讨论：
①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．
由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．
②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．
由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．
③若定点B与圆心A重合，如图3所示：
设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，
因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆．
④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．
综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．
故选A．
这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．
【命题方向】
这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．
33．直线与圆锥曲线的综合
【知识点的认识】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【解题方法点拨】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则
＝
当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【命题方向】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
D
C
B
A
B
C
C
C
A
题号
12
答案
C
标准方程
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e＝（0＜e＜1）
e＝（0＜e＜1）
准线
x＝±
y＝±
标准方程
y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上
x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形


顶点
（0，0）
（0，0）
对称轴
x轴
焦点在x轴长上
y轴
焦点在y轴长上
焦点
（，0）
（0，）
焦距
无
无
离心率
e＝1
e＝1
准线
x＝﹣
y＝﹣
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0