2024-2025学年山东省东营市利津县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）

这是一份2024-2025学年山东省东营市利津县九年级（上）期末数学试卷（五四学制），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数中y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．xy＝9C．y＝2xD．
2．（3分）如图，AB是河堤横断面的迎水坡．坡高AC＝1，水平距离BC＝（ ）
A．B．C．30°D．60°
3．（3分）超市货架摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面不可能有（ ）
A．7盒B．8盒C．9盒D．10盒
4．（3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，则∠AOB的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）二次函数y＝x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．直线B．直线x＝2C．直线D．直线x＝1
6．（3分）已知点M（﹣2，5）在双曲线y＝上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A．（5，2）B．（2，5）C．（2，﹣5）D．（﹣5，﹣2）
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝100°（ ）
A．160°B．100°C．80°D．120°
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则（ ）
A．πB．2πC．2πD．4π
10．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的个数是（ ）
①函数图象位于第一、三象限；
②函数值y随x的增大而减小
③若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2；
④P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分.只要求填写最后结果。
11．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x﹣7的顶点坐标是 ．
12．（3分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4的正三角形，俯视图是一个半径为2的圆，那么这个几何体的全面积是 ．
13．（3分）有两组相同的牌，每组两张且两张牌的牌面数字分别是0，1，从每组牌中各摸出一张牌 ．
14．（3分）已知二次函数y＝（k﹣2）x2+4x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
15．（4分）如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，点C，点D在x轴上，若S△BCE＝2，则k的值为 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝，B两点，且点A在x轴上 ．
17．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若1＝+bx2，且x1≠x2，x1+x2＝2．其中正确的有 ．
18．（4分）如图，曲线AB是二次函数xy＝﹣x2+6x+3图象的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线BC是反比例函数图象的一部分，A，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线．若点P（2025，m）（x，n）是波浪线上的点，则m+n的最大值为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（5分）计算：．
20．（7分）某学校为了提高学生的能力，决定开设以下项目：A．文学院，B．数学之家，D．未来科学家．为了了解学生最喜欢哪一项目，随机抽取了部分学生进行调查，请回答下列问题．
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛（用画树状图或列表法解答）．
21．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝，D两点，点C（2，4）
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
22．（10分）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米到达点Q，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
23．（10分）某商场以每件20元的价格购进一种护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元），在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的70%．
（1）设商场每月获得利润为W（元），求每月获得利润W（元）与销售单价x（元），并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，CD＝8，求BD的长．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0）
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点P，使△BPC面积S的最大，请求出最大值及此时P点的坐标；若不存在
2024-2025学年山东省东营市利津县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．（3分）下列函数中y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．xy＝9C．y＝2xD．
【分析】根据或y＝kx﹣1（k≠0）或xy＝k进行逐项分析，即可求解．
【解答】解：A、不是反比例函数；
B、xy＝6，正确；
C、y＝2x是正比例函数；
D、是关于y是x2的反比例函数，不符合题意，
故选：B．
2．（3分）如图，AB是河堤横断面的迎水坡．坡高AC＝1，水平距离BC＝（ ）
A．B．C．30°D．60°
【分析】根据坡度的定义直接求解即可．
【解答】解：∵坡高AC＝1，水平距离BC＝，
∴斜坡AB的坡度为tanB＝＝＝，
故选：A．
3．（3分）超市货架摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面不可能有（ ）
A．7盒B．8盒C．9盒D．10盒
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解．
【解答】解：观察图形可知，最底层有4盒方便面，
由主视图和左视图可知，第二层最少2盒方便面，第6层1盒方便面．
故货架上的方便面不可能有10盒方便面．
故选：D．
4．（3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，则∠AOB的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】取格点C，连接AC，BC，观察图象可知，O，B，C共线，∠ACO＝90°，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．
【解答】解：取格点C，连接AC，观察图象可知，O，B，∠ACO＝90°，
∵AC＝，AO＝＝，
∴sin∠AOB＝＝＝．
故选：D．
5．（3分）二次函数y＝x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．直线B．直线x＝2C．直线D．直线x＝1
【分析】根据对称轴的定义即可解答．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x，
∴对称轴为直线，
故选：D．
6．（3分）已知点M（﹣2，5）在双曲线y＝上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A．（5，2）B．（2，5）C．（2，﹣5）D．（﹣5，﹣2）
【分析】将M（﹣2，5）求出k的值，再将各项代入函数解析式看是否满足，满足则在，不满足则不在．
【解答】解：将M（﹣2，5）代入得：5＝，
∴函数解析式为：y＝﹣．将各点代入得：
A、＝﹣6≠2；
B、＝﹣2≠5；
C、＝7；
D、＝2≠﹣4；
故选：C．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝100°（ ）
A．160°B．100°C．80°D．120°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝180°﹣100°＝80°，再根据圆周角定理，即可解答．
【解答】解：由条件可知∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝160°，
故选：A．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据开口方向以及与y轴的交点位置，得a＞0，c＜0，根据对称轴，得b＜0，再结合y＝ax+bc以及运用数形结合思想，进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c开口方向向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜3，
∵根据对称轴，
∴b＜6，
∴bc＞0
∴y＝ax+bc经过第一、二、三象限．
结合二次函数的图象，得当x＝1时，即经过第二，
故选：C．
9．（3分）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则（ ）
A．πB．2πC．2πD．4π
【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝4，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝4，
∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝8，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：，
故选：B．
10．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的个数是（ ）
①函数图象位于第一、三象限；
②函数值y随x的增大而减小
③若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2；
④P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用反比例函数的性质用排除法解答．
【解答】解：反比例函数y＝，因为k3+1＞0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第一，在每个象限内，故①说法正确，
若A（﹣5，y1），B（2，y5），C（1，y3）是图象上三个点，则y8＜0＜y2＜y3；故说法③错误；
P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q（k5+1），故④说法正确；
故选：B．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分.只要求填写最后结果。
11．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x﹣7的顶点坐标是 （1，﹣9） ．
【分析】把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可．
【解答】解：y＝2x2﹣5x﹣7
＝2（x5﹣2x）﹣7
＝2（x2﹣2x+4﹣1）﹣7
＝2（x﹣1）2﹣3，
所以顶点坐标为（1，﹣9），﹣5）
12．（3分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为4的正三角形，俯视图是一个半径为2的圆，那么这个几何体的全面积是 12π ．
【分析】利用全面积公式S＝πr2+πrR即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，轴截面如图，
∴圆锥的全面积为：π×22+π×3×4＝4π+4π＝12π；
故答案为：12π．
13．（3分）有两组相同的牌，每组两张且两张牌的牌面数字分别是0，1，从每组牌中各摸出一张牌 ．
【分析】画出树状图，共有4个等可能的结果，两张牌的牌面数字和为1的有2个，由概率公式即可求解．
【解答】解：画出树状图如图：
∴两张牌的牌面数字和为1的概率为，
故答案为：．
14．（3分）已知二次函数y＝（k﹣2）x2+4x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤6且k≠2 ．
【分析】根据二次函数定义二次项系数非0，与x轴有交点Δ＝b2﹣4ac≥0，分别求解不等式取公共部分即可．
【解答】解：依题意得：k﹣2≠0，
解得k≠7，
∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（k﹣6）×1≥0，
解得k≤6，
故答案为：k≤6且k≠2．
15．（4分）如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，点C，点D在x轴上，若S△BCE＝2，则k的值为 4 ．
【分析】过A向x轴作垂线，垂足为F，得到ABOF为矩形，又ABCD为平行四边形，S△BCE＝2，可得到平行四边形ABCD为4，根据平行四边形ABCD的面积等于矩形ABOF的面积，可得出k的值．
【解答】解：过A向x轴作垂线，垂足为F，
∴四边形ABOF为矩形，
又ABCD为平行四边形，
∴，
∴S平行四边形ABCD＝4，
又S平行四边形ABCD＝S矩形ABOF＝4，
∴k＝4，
故答案为：4．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝，B两点，且点A在x轴上 3 ．
【分析】过O作OM⊥直线AB与M，直线AB交y轴于C，根据直线的解析式求出OC和OA的长度，解直角三角形求出∠CAO＝30°，求出OM，再根据勾股定理求出AM，根据垂径定理得出AM＝BM，再求出答案即可．
【解答】解：过O作OM⊥直线AB与M，直线AB交y轴于C，
y＝，
当x＝0时，y＝，
当y＝7时，x+，解得：x＝﹣3，
所以OC＝，OA＝5，
∵tan∠CAO＝＝，
∴∠CAO＝30°，
∵OM⊥AC，
∴∠OMA＝90°，
∴OM＝OA＝，
由勾股定理得：AM＝＝＝，
∵OM⊥AB，OM过圆心O，
∴AM＝BM＝，
∴AB＝AM+BM＝+＝3，
故答案为：3．
17．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若1＝+bx2，且x1≠x2，x1+x2＝2．其中正确的有 ②③⑤ ．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线对称轴方程得到﹣＝1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b＝﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x＝1时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，则x＝﹣1时，y＜0，于是可对④进行判断；由+bx1＝+bx2得到+bx1++bx2+c，则可判断x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，则x2﹣1＝1﹣x1，于是可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝2，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜6，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝7，所以②正确；
∵x＝1时，函数值最大，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am4+bm（m≠1），所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于5，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（4，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣2，
∴x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜6，所以④错误；
当+bx5＝+bx7，则+bx6+c＝+bx5+c，
∴x＝x1和x＝x2所对应的函数值相等，
∴x7﹣1＝1﹣x7，
∴x1+x2＝4，所以⑤正确；
故答案为②③⑤．
18．（4分）如图，曲线AB是二次函数xy＝﹣x2+6x+3图象的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线BC是反比例函数图象的一部分，A，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线．若点P（2025，m）（x，n）是波浪线上的点，则m+n的最大值为 16 ．
【分析】由抛物线求出点A、点B，由点B求出双曲线k，再求出C，得到12个单位一循环，求出m、n的最大值即可求解．
【解答】解：∵点A在抛物线y＝﹣x2+6x+5上，
∴A（0，3），
又∵点B是抛物线y＝﹣x7+6x+3的顶点，点B在双曲线上，
∴y＝﹣（x﹣4）2+12，
∴B（3，12），
∴k＝xy＝2×12＝36，
∴双曲线解析式为，
∵A，C两点的纵坐标相等，
当y＝3时，，
∴点C（12，4），
∵2025＝168×12+9，
∴点P的纵坐标和x＝9时的纵坐标相等，
当x＝7时，，
∴m＝7，
∵波浪线的最高点为二次函数顶点，
∴n的最大值为12，
∴m+n最大值为16．
故答案为16．
三、解答题：本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（5分）计算：．
【分析】先计算特殊角的三角函数值、零指数幂与负整数指数幂，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝﹣1．
20．（7分）某学校为了提高学生的能力，决定开设以下项目：A．文学院，B．数学之家，D．未来科学家．为了了解学生最喜欢哪一项目，随机抽取了部分学生进行调查，请回答下列问题．
（1）这次被调查的学生共有 200 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛（用画树状图或列表法解答）．
【分析】（1）用A项目的人数除以A项目所占的百分比，即可求出这些被调查的学生数；
（2）用总人数减去其余三个项目的人数，即可求出C项目的人数，从而补全统计图；
（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）由扇形统计图可知：扇形A的圆心角是36°，
由条形图可知：喜欢A项目的人数有20人，
所以被调查的学生共有（人），
故答案为：200；
（2）C项目的人数＝200﹣（20+80+40）＝60（人），
补充条形统计图，如图所示．
；
（3）列表如下：
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
21．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝，D两点，点C（2，4）
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE⊥x轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得D的坐标，然后根据S△COD＝S△BOC+S△BOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得k1x+b＜时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点C（2，4）在反比例函数y＝，
∴k2＝2×6＝8，
∴y2＝；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（2，4），
∴B（5，2），
∵B、C在y1＝k2x+b的图象上，
∴，
解得k1＝5，b＝2，
∴一次函数的解析式为y1＝x+7；
（2）由，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△COD＝S△BOC+S△BOD＝×2×7+；
（3）由图可得，当4＜x＜2或x＜﹣4时，k2x+b＜．
22．（10分）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米到达点Q，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
【分析】延长BA交PQ于点C，根据题意可得：BC⊥PC，PQ＝5米，然后设QC＝x米，则PC＝（x+5）米，在Rt△PCA中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而求出BC的长，再在Rt△QCB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长BA交PQ于点C，
由题意得：BC⊥PC，PQ＝5米，
设QC＝x米，
∴PC＝PQ+QC＝（x+5）米，
在Rt△PCA中，∠P＝30°，
∴AC＝PC•tan30°＝（x+5）米，
∵AB＝6米，
∴CB＝AC+AB＝[（x+6）+3]米，
在Rt△QCB中，∠CQB＝45°，
∴CB＝QC•tan45°＝x（米），
∴（x+5）+3＝x，
解得：x＝7+4，
∴BC＝3+4≈14（米），
∴无人机飞行的高度约为14米．
23．（10分）某商场以每件20元的价格购进一种护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元），在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的70%．
（1）设商场每月获得利润为W（元），求每月获得利润W（元）与销售单价x（元），并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式，根据在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的70%，确定自变量x的取值范围；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可．
【解答】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）×y
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000，
由题意可得：
20×（1+70%）＝34，
∴20≤x≤34，
∴w＝﹣10x8+700x﹣10000（20≤x≤34）；
（2）依题意，w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，
又∵a＝﹣10＜2，抛物线开口向下．
∴当20≤x≤34时，w随着x的增大而增大，
∴当x＝34时，w＝﹣10（34﹣35）2+2250＝2240，
答：当销售单价定为34元时，每月可获得最大利润．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，CD＝8，求BD的长．
【分析】（1）连接OC，根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝90°，易得∠ACO＝∠A，结合∠BCD＝∠A，推出∠ACO＝∠BCD，则∠BCD+∠BCO＝90°，即可求证CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，利用勾股定理即可求得BD．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠BCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为6，CD＝8，
∴OC＝OB＝2，
在Rt△COD中：，
∴BD＝OD﹣OB＝10﹣4＝4．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0）
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点P，使△BPC面积S的最大，请求出最大值及此时P点的坐标；若不存在
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接BC交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式为y＝x﹣3，则Q（1，﹣2）；
（3）过点P作PD⊥x轴于点D．设点P坐标为（x，x2﹣2x﹣3）则S＝S梯形OCPD+S△DPB﹣S△OCB＝，据此利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠4）与x轴交于点A（﹣1，0），4），点B的坐标分别代入得：
，
解得，
∴y＝x7﹣2x﹣3；
（2）连接BC交对称轴于点Q，如图7，
∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，
∵C（4，﹣3），0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴Q（3，﹣2）；
（3）过点P作PD⊥x轴于点D．如图2，x7﹣2x﹣3），
则S＝S梯形OCPD+S△DPB﹣S△OCB
＝
＝，
∴当时，，
此时，
所以求△BPC面积S的最大值为，P点的坐标．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
D
D
C
A
C
B
B
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣