新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分100分 时间100分钟
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个式子中，最简二次根式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
【详解】解：A． ，不是最简二次根式，所以选项不符合题意；
B． ，被开方数12中含有能开得尽方因式4，因此选项不符合题意；
C． ，被开方数中含有分母，因此选项不符合题意；
D． ，是最简二次根式，因此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．
2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，6B. 2，，C. 1，2，D. 6，8，10
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
D、由于，能构成直角三角形，故本选项正确，符合题意．
故选择：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断．
【详解】解：A、与不能合并，所以选项错误；
B、，所以选项错误；
C、，所以选项错误；
D、，所以选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
4. 如图，平行四边形中，，则等于（ ）．

A. 120°B. 110°C. 70°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，，求出，再代入求出答案即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对边分别平行．
5. 在平面直角坐标系中，已知点P坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】画图，根据勾股定理求解.
【详解】如图所示：
∵P（3，4），
∴OP＝＝5．
故选C．
【点睛】本题考查的是勾股定理及坐标与图形性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
6. 在四边形中，对角线互相平分，若添加一个条件使得四边形是菱形，则这个条件可以是（ ）
A. B. C. D. ∥
【答案】C
【解析】
【详解】∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．
故选C.
7. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴O是中点，
又∵E是中点，
∴OE是的中位线，
∴，，
∵的周长为12，，
∴，
∴的周长为．
故选：B.
8. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A. 17B. 15C. 10D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：两棵树的高度差为（米，间距为15米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米．
故选：A．
9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在线段上，垂直平分，若，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：四边形矩形，
，，
，
垂直平分，
，
是等边三角形，
，，
，
设，则，
中，，
，
解得：（负值舍去），
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ）
A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故①错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，
∴E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
【答案】x≥-5
【解析】
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【详解】解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥-5．
【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
【详解】解：由题意可知：，，
在中，，是的中线，
，
故答案为：3．
13. 如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为________．

【答案】50
【解析】
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF=BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积===50，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．
14. 如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为________．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质可得，由轴对称的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，即，解一元一次方程即可求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，
由折叠可得，，
设，则，
在中，由勾股定理可得：
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键．
15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且它们的长度分别为和，过点O的直线分别交、于点E、F，则阴影部分面积的和为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相平分的性质，求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．根据菱形的对角线互相平分可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
【详解】解：、是菱形的对角线，
，
，
，
在和中，
，
，
的面积的面积，
阴影部分的面积菱形的面积，
对角线、的长度分别为和，
菱形的面积，
阴影部分面积的和．
故答案为：12．
16. 如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，得到，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定理解答即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
延长到点，使得，
，
，
，
连接，
，
当，，三点共线时，取得最小值，
，，
，，
，
，
，
故的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）15 （2）0
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式及实数的混合运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算．
（1）化简二次根式，然后从左往右计算即可；
（2）化简二次根式，先算除法，再算减法；
（3）先算乘方，再算乘法，最后算减法；
（4）先算负整数指数幂、乘方、去绝对值，再算除法，然后算加减．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19. 已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）13 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加减法，按照计算法则、运用平方差公式和完全平方公式是解决本题的关键．
因为，，所以，，
（1），代入数据计算即可．
（2），代入数据计算即可．
【小问1详解】
解：因为，，
所以，
，
，
；
【小问2详解】
解：
．
20. 在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
（1）求证：；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用SAS直接证明；
（2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形．
【小问1详解】
证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
【小问2详解】
证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键．
21. 如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据矩形的四个角都是直角得到，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的邻角互补，对角线平分对角可得，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，根据勾股定理求出，根据菱形的对角线互相平分求出，，根据菱形面积等于对角线积的一半即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等．掌握相关知识是解题的关键．
22. 如图，在中，，，点D为内一点，且，，．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
（1）直接根据勾股定理求出的长即可；
（2）先根据勾股定理判断出是直角三角形，再根据解答即可．
小问1详解】
解：，，．
；
【小问2详解】
，，，，
即，
是直角三角形，，
．
23. 综合与探究
【问题情境】在数学课上，同学们用矩形纸片进行探究活动．
如图1，勤奋小组准备了矩形纸片，与交于点O，将矩形纸片折叠，使点B的对应点恰好落在点O处，得到折痕，与相交于点F．
如图2，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，．
【猜想发现】
（1）如图1，__________三角形，__________°；如图2，是__________三角形．
【深入探究】
（2）如图2．试探究线段和线段之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在图2的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，请直接写出，，三条线段之间的关系式．
【答案】（1）直角，30；等腰；（2）且，理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）在如图1中，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质，可得，，进而由所对的直角边为斜边的一半得出；在如图2中，由正方形和折叠的性质可得，，，进而得，，再根据三角形内角和可得，，，由等边对等角可得，即△是等腰三角形．
（2）由（1）得，，，根据平行线的性质，即可得出且．
（3）过点作的垂线，垂足为，设交于点，由矩形的判定和性质可得，，再根据折叠的性质可得，，进而得出，再由可证，，进而证明，由，，可得，证明，，故，即可证明．
【详解】解：（1）在图1中，四边形是矩形，
，，
由折叠可得，
，
，
，
，
矩形纸片折叠，使点的对应点恰好落在点处，折痕是对称轴，
，即是直角三角形，
在图2中，四边形是正方形，
，
，分别平分和，，
，，
由折叠可得，
，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
是等腰三角形．
故答案为：直角，30；等腰；
（2）且；理由如下：
由（1）得，，，
，，即，
且．
（3）．理由如下：
过点作的垂线，垂足为，设交于点，如图3，
，
四边形为矩形，
，
正方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为对称轴，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，所对的直角边为斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．