新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿克苏市2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿克苏市2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了填空，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空（每小题3分，共30分）
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．∵，∴不是二次根式；
B．是二次根式；
C．的根指数是3，不是二次根式；
D．当时，不是二次根式．
故选B．
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，1，B. 4，5，6C. 6，8，11D. 5，12，23
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据两小边的平方和等于最长边的平方逐项判断即可，熟练掌握勾股定理逆定理是解此题的关键．
【详解】解：A、∵，∴1，1，能构成直角三角形，符合题意；
B、∵，∴4，5，6 不能构成直角三角形，不合题意；
C、∵，∴，，不能构成直角三角形，不合题意；
D、∵，∴，，不能构成直角三角形，不合题意；
故选：A．
3. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识，掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意；
B．根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意；
C．根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，符合题意；
D．根据两组对边分别平行能判断四边形平行四边形，故不符合题意．
故选：C．
4. 若是整数，则满足条件的自然数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义条件，以及二次根式的性质，先根据被开方数是非负数求出m的取值范围，再结合二次根式的性质求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
∴，
∵m是自然数，
∴，
∴，
当，，是无理数，
当，，是整数．
故选B．
5. 正方形的边长为3，则对角线的长度为（ ）
A. B. 6C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，正方形对角线的长的平方等于其相邻两边的长的平方和，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，四边形是边长为3的正方形，则，
∴，
故选：C．
6. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法，以及二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：A．，正确；符合题意；
B． ，故不正确；不符合题意；
C． ，故不正确；不符合题意；
D． ，故不正确；不符合题意；
故选A．
7. 平行四边形中，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形得出两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
8. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了两点间的距离，任意两点，之间的距离为．据此求解即可．
【详解】解：点到原点的距离是．
故选D．
9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. 1.5B. 3C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，且，
，
，
，，
，
是直角三角形，且，
，
，
又，
，
在和中，，
，
，
则图中阴影部分的面积是，
故选：B．
10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A. 2025B. 2024C. 22023D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是_________三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：，，
，
这个三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
12. 要使得式子有意义，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键．
【详解】解：二次根式有意义，
故，
故，
故答案为：.
13. 直角三角形的两条直角边的长分别为1，3，则斜边的长在_________和_________这两个连续的正整数之间．
【答案】 ①. 3 ②. 4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，无理数的大小估算，直接利用勾股定理求出斜边的长，进而估算的大小，即可求解．
【详解】由勾股定理得，斜边长为：，
∵
∴
故答案为：3，4．
14. 如图，已知菱形的对角线，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相平分可得，然后求出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
【详解】四边形是菱形，
∴，，
点是的中点，
是中位线，
∴，
菱形周长；
故答案为．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．
15. 平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标平移，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的特点，列出方程．
用平移点的坐标的方法，求点的坐标即可．
【详解】解：设点的坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴经过平移可以与重合，
∵，，，
，，
解得：，，
∴点的坐标为；
故答案为：
16. 形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质．根据题目给出的方法结合完全平方公式将转化为，进一步计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共52分）
17. （1）计算：
（2）已知，求的近似值（结果保留小数点后一位）．
【答案】（1）；（2）约
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算括号里，再算乘法；
（2）先根据乘法法则计算，然后把代入求近似值．
【详解】解：（1）原式


（2）原式

当时，
原式 ．
18. 如图，工作人员在某山峰上适当的位置确定一点修建索道口，经测量的垂直高度，在山下点处也修建一个索道口，，从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走，那么多少分钟后才能到达山顶？
【答案】大约13分钟后才能达到山顶
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出索道的长度，再根据时间=路程速度求解．
先在，根据勾股定理求出的长度，此长度即为从山下到山顶的路程，再用路程除以速度得出到达山顶所需时间．
【详解】解∶在中，，，


（分钟）
答：大约13分钟后才能达到山顶．
19. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）_____的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____；
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）小亮 （2）
（3），8
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
（1）（2）根据二次根式的性质判断即可；
（3）根据二次根式的性质把原式化简，把代入计算即可．
【小问1详解】
解：小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
【小问2详解】
解：错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：
，
当时，原式．
20. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证≌，得，再由，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，，则，然后求出，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21. 【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
请你用“双求法”解决下面两个问题：
（1）如图2，在中，，是边上的高，，求的长度；
（2）如图3，在中，是边上的高，，设，求的值；
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
（1）由勾股定理得到，根据等面积法即可求解；
（2）在中，由勾股定理，得 ，在中，由勾股定理，得，由此列式即可求解．
【小问1详解】
解：在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，
解得，；
【小问2详解】
解：在中，由勾股定理，得 ，
在中，由勾股定理，得，
∴，
整理得，，
解得，．
22. 如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示）
（2）经过多长时间，四边形是矩形？
（3）经过多长时间，PQ的长为？
【答案】（1）t，
（2）
（3）经过5秒或9秒，的长为
【解析】
【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键
（1）根据路程=速度乘以时间列式即可；
（2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可；
（3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可．
【小问1详解】
由题意，得线段，
故答案为：t，；
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形，
则，即，
解得：；
【小问3详解】
解：过点作于点
在中，根据勾股定理，
已知，
，
则可得方程，
即，
移项可得，
两边同时开平方得；
当时，
移项可得，
解得；
当时，
移项可得，
解得；
所以，经过秒或秒，的长为．