新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试卷（3月）（含解析）

这是一份新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考 数学试卷（3月）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键．
一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式；
B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式；
C．恒成立，故C一定二次根式；
D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式；
故选：C．
2. 如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
先求出正方形的边长，再根据勾股定理求出该直角三角形另一直角边的长度，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由图可知正方形的边长为，
∴正方形的面积为：，
故选：B．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．
4. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案．
【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴∠BAO＝90°，OA＝3
∴，
∴BD＝2BO＝10，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质．
5. 如果最简二次根式和能合并，则x的值为（ ）
A. B. C. 2D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简根式能合并，那么被开方数相同，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解一元一次方程，熟知同类二次根式的定义是解题的关键．
6. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理可以判断各个选项的条件能否判断三角形是否为直角三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故选项A不符合题意；
∵
∴设
∴，即，
∴是直角三角形，故选项B不符合题意；
∵
∴
∵，
∴，
∴是直角三角形，故选项C不符合题意；
∵，，
∴，
∴一定不是直角三角形，故选项D符合题意．
故选：D．
7. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意，
故选:D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答的关键．
8. 小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（ ）
A. 2.2米B. 2.4米C. 2.6米D. 2.8米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理，作于，由题意可得：，，，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
由题意可得：，，，
，
，
，
，
适合小华的绳长为2.6米，
故选：C．
9. 如图，在中，D是边的中点，平分，于点E，连接．若，．则的长度是（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．延长，交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果．
【详解】解：延长，交于点F，
∵平分，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
又∵D是中点，
∴，
∴是的中位线，
∴．
∴；
故选：C．
10. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值．
【详解】解：连接，，如图，
在中，，
在中，
根据折叠的性质可知，，
，
四边形是边长为9的正方形，
，，，
，
解得．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 二次根式中字母的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可知即可．
【详解】解：∵要使二次根式有意义，
则
∴，
故答案为:．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 如图，中，，，，在同侧分别以，为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理，阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差是解题的关键；由勾股定理得，根据等于以为直径的半圆面积和加上直角三角形的面积再减去以为直径的半圆面积，即可求得结果．
【详解】解：由勾股定理得：；
即
以为直径的半圆面积以为直径的半圆面积以为直径的半圆面积
；
故答案为：24．
13. 当时，化简代数式_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及绝对值的化简，整式的混合运算，根据，可得出，，然后化简二次根式以及绝对值即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：2．
14. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长．
【详解】解：在中，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：5．
15. 如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高的端点A到达，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ____．
【答案】
【解析】
【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵圆柱底面圆的周长为，高为5，
∴将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，
如图，则：，
∴；
即：蚂蚁爬行的最短距离为13．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．解题的关键是将几何体展开，利用勾股定理进行求解．
16. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以BA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ长度的最小值为___．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC＝45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO＝AC＝×2＝1，
∴OP′＝AO＝，
∴PQ的最小值＝2OP′＝，
故答案为：．
【点睛】：本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．
三、计算题：本大题共4小题，共20分．
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简二次根式，再进行二次根式的加减运算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式乘除法运算法则计算即可；
（3）先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再进行加减运算即可；
（4）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
【小问3详解】
解：原式
【小问4详解】
解：原式
四、解答题：
18. 已知，，求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式展开，将x、y的值代入计算即可求出值；
（2）利用完全平方公式变形，将与的值代入计算即可求出值．
【小问1详解】
∵，，
∴
【小问2详解】
∵，，
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．
19. 如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知米， 米，米，米，，小区美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？

【答案】铺满这块空地共需花费元
【解析】
【分析】连接，在中利用勾股定理计算出长，再利用勾股定理逆定理证明，再利用可得草坪面积，然后再计算花费即可．
【详解】连接，

在中，米， 米，，
∴，
∵，
∴，
∴，
该区域面积（平方米），
铺满这块空地共需花费元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB∥OC，A（0，3），B（a，b），C（c，0），且a，c满足．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点Q从点O同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当点Q到达点C时，点P随之停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）B，C两点的坐标为：B ，C ；
（2）当t为何值时，四边形PQCB平行四边形？
（3）D为线段AB的中点，求当t为何值时，△ADQ是等腰三角形？
【答案】（1），；（2）当t=4时，四边形PQCB是平行四边形；（3）当t为，或，或2，或时，△ADQ是等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标特点和二次根式的性质得出a，b，c的值进而得出答案；
（2）由题意得：，，根据平行四边形的判定可得再解方程即可；
（3）分别以AD为腰或AD为底边时情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
详解】解：（1）∵．
∴ ，
解得a=10，
∴c=14，
∵AB∥OC，A（0，3），
∴b=3，
即B（10，3），C（14，0）；
故答案为：（10，3），（14，0）
（2）设运动时间为t（秒），由题意可知：
，
又∵AB∥OC
∴当BP=CQ时，四边形PQCB是平行四边形
此时
解之得
∴当t=4时，四边形PQCB是平行四边形
（3）∵D为线段AB的中点
∴AD=5
分两种情况：①若AD为腰时，如图1：当DA=DQ=5时，△ADQ是等腰三角形
过点D作DE⊥OC
由题意可知D（5,3）
在Rt△DQE中，
∴OQ=5-4=1，即2t=1
∴
如图3：当AQ=AD=5时，△ADQ是等腰三角形
在Rt△AOQ中，OQ=4，即2t=4
∴
如图4：当DA=DQ时，△ADQ是等腰三角形
过点D作DE⊥OC
在Rt△DQE中，
∴OQ=5+4=9，即2t=9
∴
②若AD为底边，如图2：当QA=QD时，△ADQ是等腰三角形
过点Q作QE⊥AB，
∵AB∥OC，∠AOC=90°，QE⊥AB
∴∠∠AOC=∠OQE=∠QEA=90°
∴四边形OQEA是矩形
∴OQ=AE=
即，
∴
综上：当t为或2或或时，△ADQ是等腰三角形
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，关键是注意分类讨论，不要漏解．