福建省厦门第一中学2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份福建省厦门第一中学2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠9B．x＞9C．x≤9D．x≥9
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB= CDB．AD= BCC．AB=BCD．AC= BD
3．已知在中，，，，则的长为（ ）
A．B．3C．5或D．5
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，点D，E分别是的中点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A．B．0.8C．D．
7．如图，在平行四边形中，，，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
8．如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
9．如图,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6,那么矩形内阴影部分的面积是（ ）
A．B．2C．D．
10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题（本大题共6小题）
11．化简： ， ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝100°，则∠A等于 ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若CD＝5，BC＝8，则△ABC的面积为 ．
14．与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ．
15．如图，和分别是的内、外角平分线，且交于点，若，，则的值是 ．
16．如图，在长方形纸片中，，，点为上一点，将沿翻至，交于点，交于点，且，则的长度是 ．

三、解答题（本大题共9小题）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形
19．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h（约为19.4m/s）．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处（即AC＝40m），过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？
20．如图，矩形中，，．
(1)利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长．
21．观察下列各等式：
①；②；③；……
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)_____；_____；
(2)若满足上述规律的等式为：，试求的值．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边的中点，DF//AE，DF与BC的延长线交于点F，AE，DC的延长线交于点G，连接FG，若AD=3，AG=2，FG=，求直线AG与DF之间的距离．
23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理：
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点,，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（,,在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知中，，，，求的面积．
24．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，E是AB的中点，连接OE，若AC+BD＝2m，OE＝n，求△AOD的周长；（用含m，n的式子表示）
（2）如图2，若∠ABD＝2∠BAC＝45°，若BD＝2，求▱ABCD的面积．
25．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取中点M，连接与关于所在直线对称，连并延长交x轴于P点，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接，请你直接写出线段长度的最大值_________．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：x-9≥0，
解得：x≥9，
故选D．
2．【答案】D
【分析】易得四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定∶对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案．
【详解】解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故选D．
3．【答案】D
【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：
在中，，，，则由勾股定理可得，
故选D．
4．【答案】B
【分析】根据二次根式的乘法、加法运算法则，立方根的定义逐一判断即可．
【详解】解：：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选B．
5．【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理可得，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D，E分别是的中点，
∴，
∴．
故选B．
6．【答案】C
【分析】连接，由勾股定理求出，即可得出的长．
【详解】解：如图，连接，则，
由勾股定理可得，中，，
又，
，
故选C．
7．【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
．
故选A．
8．【答案】B
【分析】根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可．
【详解】解：根据作法得到，
则两组对边分别相等，
那么，四边形为平行四边形，
故选B．
9．【答案】C
【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+，所以矩形的面积是，即可求得矩形内阴影部分的面积．
【详解】解：矩形内阴影部分的面积是
10．【答案】B
【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且，
由题意可知：
，，，
因为，即
，
，
所以，
的值是．
故选B．
11．【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】，
．
12．【答案】130°
【分析】根据平行四边形内角性质求解即可．平行四边形对角相等，邻角互补．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
∵∠B+∠D＝100°，
∴∠B＝∠D＝50°，
∴∠A＝130°
13．【答案】24
【分析】根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，是边上的中线
∴
∴
∴
14．【答案】3
【分析】首先化简二次根式，再根据同类二次根式定义可得2a﹣3＝3，再解即可．
【详解】，
∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴2a﹣3＝3，
解得：a＝3
15．【答案】36
【分析】根据平角的定义结合角平分线的定义，推出，勾股定理得到，根据平行线的性质，结合角平分线的性质，推出，根据线段的和差关系求出的长，即可得出结果．
【详解】解：∵和分别是的内、外角平分线，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
16．【答案】
【分析】先证明，再根据勾股定理设未知数列方程求解．
【详解】解：设，则，
由题意得：，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
即：，
解得：．
17．【答案】(1)
(2)4
【分析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用平方差公式计算，然后合并即可．
【详解】（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
18．【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．
∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
∴CD∥AE CD＝AE，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，
∴AC＝DE．
∴平行四边形ADCE是矩形．
19．【答案】这辆小汽车没有超速
【分析】利用勾股定理先求得小汽车形式的路程BC，再利用路程、速度、时间之间的而关系求得小汽车实际形式的速度，与限速比较即可．
【详解】在Rt△ABC中，AC＝40m，AB＝50m；
据勾股定理可得：BC＝＝＝30（m）
小汽车的速度为v＝＝15（m/s），
∵15m/s＜19.4m/s；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速了
20．【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）利用基本作图，作即可；
（2）先利用矩形的性质得到，，则，然后证明得到，据此即可求解．
【详解】（1）解：如图，
点为所求作的点；
（2）解：由（1）作图知，，
在矩形中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用题中等式的计算规律得出结果，将变形为，再根据等式的计算规律即可解答；
（2）根据等式的计算规律得到，得到，再利用完全平方公式变形即可解答．
【详解】（1）解：根据题意；
；
（2）解：根据等式的计算规律得：，
，
，
，
，
．
22．【答案】直线与之间的距离为
【分析】根据四边形是平行四边形得到，再证明四边形AEFD是平行四边形，接着证明△ECG≌△FCD，可得AE=DF=EG=1，利用勾股定理的逆定理证明∠EGF=90°即可解决问题
【详解】证明: 四边形是平行四边形，
．
（两直线平行，内错角相等），
又是边的中点，
，
，
．
．
,
又
四边形是平行四边形．
．
在中，
又∵
．
（勾股定理的逆定理），
．
又
线段的长是直线与之间的距离．
即直线与之间的距离为；
23．【答案】(1)见解析
(2)0.2千米
(3)84
【分析】（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明；
（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案；
（3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
（2）设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得，
，解得，
即千米，
（千米），
答：新路比原路少0.2千米；
（3）作，垂足为，
设，
，
，，，，
根据勾股定理
在中，，
在中，，
，
即，
解得，
，
．
．
24．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由平行四边形的性质，得到，由三角形的中位线定理，得到，即可求出△AOD的周长；
（2）过点O作OE⊥AB于E，延长EO交CD于点F，作点B关于OE的对称点G，连接OG，由平行四边形的性质、勾股定理先求出EF的长度，然后利用轴对称的性质，求出AB的长度，即可求出面积．
【详解】解：（1）如图，在平行四边行ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC=，OB=OD=，即点O是BD的中点，
∵AC+BD＝2m，
∴，
∵E是AB的中点，OE＝n，
∴，
∴△AOD的周长=；
（2）过点O作OE⊥AB于E，延长EO交CD于点F，作点B关于OE的对称点G，连接OG，如图：
∵BD=2，点O为BD的中点，
∴，
∵∠ABD＝2∠BAC＝45°，∠OEB=90°，
∴△OBE是等腰直角三角形，即OE=BE，∠BAC=22.5°，
设，则由勾股定理，
，
解得：（负值已舍去）；
∴，
由平行四边形的性质，则；
∵点B关于OE的对称点是点G，
∴，，
∴，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠AOG=22.5°，
∴∠BAC=∠AOG，
∴AG=OG=1，
∴，
∴▱ABCD的面积为：；
25．【答案】(1)（10，6）
(2)（5，0）
(3)
【分析】（1）根据等式的性质，二次根式的性质，解一元二次方程，即可求出点A的坐标；
（2）利用对称的性质，等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就可以得出NC和AP垂直，再得出两组对边分别平行证出平行四边形，由平行四边形的性质即可得点P是OB的中点，根据点A的坐标即可得出点B的坐标，即可得；
（3）利用勾股定理和直角三角的性质可求出EQ和BQ的长，再利用三角形三边的关系得出当点P，Q，E三点共线时PE的长度最大，即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
，
即点A的坐标为（10，6）．
（2）解：如图所示，连接NC，
∵△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，
∴，
∴，
∴，
∵M为AC的中点，
∴AM=CM，
∴AM=MN，
∴，
∵，
即，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形MOPA是平行四边形，
∴，
∵点A的坐标为（10，6），
∴点B的坐标为（10，0），
即点P的坐标为：（5，0）．
（3）解：如图所示，连接OD，取OD的中点Q，连接EQ，PQ，
由（2）知，点P的坐标为（5，0），
∵CD=8，OC=6，
∴点D的坐标为（8，6），
∴点Q的坐标为（4，3），
则，
∵，
∴，
∵三角形两边之和大于第三边，
∴，
∴点P，Q，E三点共线时PE=EQ+PQ，
此时，PE的长度最大，
则PE的最大值：．