河北省沧州市2025届沧衡八县联考高三一模[高考模拟]数学试卷（解析版）

这是一份河北省沧州市2025届沧衡八县联考高三一模[高考模拟]数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以复数z的虚部为.
故选：B.
2. 集合的真子集个数为（ ）
A. 15B. 16C. 31D. 32
【答案】A
【解析】不等式的解为，因为，所以，
所以集合的真子集个数为.
故选：A.
3. 若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（ ）
A. B. 1.5C. 0.5D.
【答案】B
【解析】依题意，，所以，即经验回归方程为，
又当时，，所以样本点的残差为，
故选：B.
4. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ）
A 72B. C. 144D.
【答案】D
【解析】依题意，，，
，由为等比数列，得，
即，解得或，由，得，
则，所以.
故选：D
5. 已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，，又，
所以，整理得，所以，
所以双曲线E的渐近线方程为，即，
故选：C.
6. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为，，
所以，
所以，
故选：A.
7. 在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正四棱台上底面的中心为，下底面的中心为，因为，，所以，.
过作于，易得，
设该正四棱台外接球的球心为O，则O在直线上，，设，则，
设外接球的半径为R，则 ，即，解得，则，所以外接球的表面积为.
故选：B.
8. 已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数，又函数在上单调，所以函数的最小正周期，所以，又，所以，2，3.
若，则，且，又，则无解；
若，则，且，又，则；
若，则，且，又，则无解.
综上，.
所以函数的图像向右平移m个单位长度后对应解析式为，
因为关于轴对称，所以，.所以，，又，所以当时，m取最小值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（ ）
A. 这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成
B. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85
C. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85
D. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间
【答案】AB
【解析】选项A：这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数为，所以A选项正确；
选项B：成绩不超过85的学生人数为，所以B选项正确；
选项C：成绩分布在的人数为30，但不一定成绩的众数为85，所以C选项不正确；
选项D：由于，所以D选项不正确.
故选：AB
10. 在中，若内角A，B，C满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由，
得，不妨令，，，
对于A，由余弦定理得，A正确；
对于B，，，，B错误；
对于C，，，则，
，C正确；
对于D，，，
又，则，由，得，即，
因此，D正确.
故选：ACD
11. 在平面直角坐标系中，若，，则称“”为M，N两点的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点，的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（ ）
A. 的周长为
B. 面积的最大值为
C. 该“曼哈顿椭圆”的面积为
D. 该“曼哈顿椭圆”的周长为
【答案】BCD
【解析】设点P的坐标为，
则P，两点的“曼哈顿距离”，，两点的“曼哈顿距离”，则，
易得“曼哈顿椭圆”关于坐标原点及坐标轴对称，可以先研究第一象限及x轴和y轴非负半轴上点的轨迹，
，作曲线，
根据对称性，可作出如图“曼哈顿椭圆”，则，，，
对于A，B，当点与重合时，的周长为，
此时的面积最大为，故A不正确，B正确；
对于C，梯形的面积为，所以该“曼哈顿椭圆”的面积为，故C正确；
对于D,又，
所以该“曼哈顿椭圆”的周长为，故D正确.
故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则________.
【答案】
【解析】依题意
.
故答案为：.
13. 将分别标有数字1，2，3，4，5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为________.
【答案】3
【解析】若甲摸出的球上面的数字为1或5，则可以推断两人摸出球上面数字的大小，
所以甲摸出的球上面的数字不可能是1或5；
同理，乙摸出的球上面的数字也不可能是1或5；
若乙摸出球上面的数字为2，甲摸出的球上面的数字可能为3或4，此时乙可判断大小；
若乙摸出的球上面的数字为4，甲摸出的球上面的数字可能为2或3，此时乙可判断大小，所以乙摸出的球上面的数字为3.
故答案为：3.
14. 已知函数满足：，，，若，则________.
【答案】2024
【解析】依题意，因为，则，
令，则，因，所以，
又因为，则，即，
令，则，即，
令，则，所以，故得，
又
；
又
，
所以，即.
故答案为：2024.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 若数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，证明：.
解：（1）当时，，，
因为，当时，，
两式作差得：，
即，故，
又因为，所以，且
所以.
（2）由（1）可知，，
故，
，
两式作差得：.
所以，因为，所以.
16. 已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若存在过点的直线与曲线相切，求实数a的取值范围.
解：（1）当时，，，
则，，
令，.则，
所以函数在上单调递增，
又，所以当时，，即，
所以函数在上单调递减；
当时，，即，所以函数在上单调递增，
所以当时，，所以.
（2）设过点的直线与曲线相切于点，
，则，
则切线方程为，又该切线经过点，所以，
即，
整理得，
即，即，
即，显然当时，不合题意；
则，令，，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
所以函数在时取得最大值，
且当时，，当时，，所以，
即，解得或，所以实数的取值范围为.
17. 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表：
（1）请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系；
（2）若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响.
（i）用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望；
（ii）记有n人进入总决赛的概率为，求取最大值时的值.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，推断犯错误概率不大于0.001
（2）（i）；（ii）12
【解析】
【分析】(1)完成列联表，并利用独立性检验的步骤完成计算即可；
(2)（i）由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的数学期望公式进行计算即可；（ii）写出的表达式，列出不等式组进行求解即可.
解：（1）列联表如下：
零假设为：满意程度与性别无关，，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）（i）依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”，
则，，，
所以
，
依题意，，所以；
（ii）依题意，，，
若最大，则，
解得，因为，所以，
所以取最大值时的值为12.
18. 如图，在三棱锥中，，D为上一点，，.

（1）证明：平面平面ABC；
（2）若，，求：
（i）三棱锥的体积；
（ii）平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：在中，，，所以，所以，
又，所以，即，
又因为，，所以平面，
又平面ABC，所以平面平面.
（2）解：（i）因为，所以，则，，
所以在中，，
如图，过点P作于，，
由（1）可知，点P到的距离即为点P到平面的距离，
所以三棱锥的体积.
（ii）如图，连接，则，，
以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，又，，所以，
，，，
设平面PAD的法向量为，
则令，则，，所以，
设平面PBC的法向量为，
则令，则，，所以，
设平面PAD与平面PBC的夹角为，则，
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.
19. 经过圆上一点作C的切线l，l与抛物线也相切，P为上一点.
（1）求r和p的值；
（2）若点，不经过P的直线与交于不同两点A，B（位于x轴两侧），与相交于点D，若直线PA，PB，PD的斜率分别为，，，且为，的等差中项，证明：直线过定点；
（3）若O为坐标原点，F为的焦点，求内切圆面积的最大值.
解：（1）依题意，点在圆上，
则，所以，
又圆心为，设直线l的斜率为k，则，所以，
所以直线l的方程为，即，
又直线l与抛物线也相切，联立，整理得，
则，解得（舍去）或，综上可得，.
（2）由（1）可知，抛物线的方程为，准线方程为，
设直线，，，
联立，即.
又，则，，，
因为为，的等差中项，所以，即，
又，，代入上式可得
①，
联立整理得，
，则
代入①，整理得，
即，即，
即，
因为，，则，所以或，
当，即时，直线，即，过点，不合题意；
当时，直线，过定点，符合题意，
综上，直线过定点.
（3）根据对称性，不妨设在第一象限，则，，，
又，，，
则的面积，
设内切圆的半径为R，
则，
所以，
令，则，
令，
则在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
令，解得，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增.
所以函数在处取得最小值，
所以R的最大值为，所以内切圆面积的最大值为.
成绩
频数
6
12
18
30
24
10