河北省衡水市故城县里老乡中学2024-2025学年七年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省衡水市故城县里老乡中学2024-2025学年七年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了7．2章·， 下列是二元一次方程的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1．本试卷共8页．三个大题，总分120分．考试时间120分钟，
2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚，
3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写．
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义即可判断，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：A、符合二元一次方程的定义，故选项符合题意；
B、含有未知数的项的次数是，不符合二元一次方程的定义，故选项不符合题意；
C、只含有一个未知数，不符合二元一次方程的定义，故选项不符合题意；
D、不整式方程，不符合二元一次方程定义，故选项不符合题意；
故选：A．
2. 借助如图量角器上的读数，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角的运算及对顶角相等的性质，正确识图，准确计算是解决本题的关键．
根据读数求出的对顶角的度数即可求解．
【详解】解：由图可知，两个角的度数分别是，，
，
故答案为：C．
3. 关于x，y的方程中“”处的系数印刷不清楚，已知是这个方程的一组解，则“”处的数是（ ）
A. B. 1C. 2D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解的定义，把方程的解代入方程，求解即可，掌握二元一次方程的解是解题的关键．
【详解】解：设“”为，
∵是方程的解，
∴把代入方程，得：
，
解得：，
故选：B．
4. 如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，，，，点A到直线的距离是（ ）
A. 线段的长度B. 线段的长度
C. 线段的长度D. 线段的长度
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查点到直线的距离，解答的关键是明确点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离可得结论．
【详解】解：∵，
∴点A到直线的距离是线段的长度．
故选：A．
5. 用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（ ）
A. 由①，得B. 由②，得
C. 由①，得D. 由②，得
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质．根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可．
【详解】解：A、由①，得，故选项A变形正确，不符合题意；
B、由②得，故选项B变形错误，符合题意；
C、由①，得，故选项C变形正确，不符合题意；
D、由②，得，故选项D变形正确，不符合题意；
故选：B．
6. 下列语句是命题的是（ ）
A. 画出两条相等的线段B. 所有的同位角都相等吗？
C. 延长线段到C，使得D. 对顶角相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题的定义，理解并掌握命题的定义是解题的关键．
根据命题的定义“判断一件事情的句子”判定即可求解．
【详解】解：A、画出两条相等的线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
B、所有的同位角都相等吗？是疑问句，不是命题，不符合题意；
C、延长线段到C，使得，没有作出判断，不是命题，不符合题意；
D、对顶角相等，作出真假判断，是命题，符合题意；
故选：D ．
7. 如图，直线a、b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ）
A. 与互补B. 与是对顶角
C. 与是同位角D. 与是内错角
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了邻补角，对顶角，同位角、内错角、同旁内角，根据定义求解是解题关键．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．同位角的概念：两条直线，被第三条直线所截（或说，相交），在截线的同旁，被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角．根据邻补角的定义，可判断A，根据对顶角的定义，可判断B，根据同位角的定义，可判断C，根据内错角的定义，可判断D
【详解】解：A、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，故A正确；
B、与的两边互为反向延长线，故B正确；
C、与的位置相同，故C正确；
D、与是同旁内角．故D错误；
故选：D．
8. 已知m，n是方程组的解，则代数式的值是（ ）
A. 14B. 17C. 12D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求代数式的值；原方程组可化为，两方程相加即可求得的值，再整体代入即可求解．
【详解】解：原方程组可化为，
两式相加得：，
∴，
∴；
故选：B．
9. 如图，l是一条水平线，有一条细线，其中一端系着小球，另一端固定在A点，小球由点B出发向点C摆动，B，C的位置均不高出直线l，在小球从左向右摆动的过程中，系小球的线在水平线l下方部分的线段长度（ ）
A. 逐渐变短B. 逐渐变长C. 先变短，后变长D. 先变长，后变短
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段的和差，垂线段最短，根据线段的和差和垂线段最短即可判断，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解： 如图，，
由图可知，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，小球到点A的距离不变，小球由点B到点D 的摆动过程中，点A到直线的距离越来越小，所以系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越大；小球从D到C从左向右摆动，在这一变化过程中，小球到点A的距离不变，小球由点D到点C的摆动过程中，点A到直线的距离越来越大，所以系小球的线在水平线下方部分的线段长度越来越小；
综上所述，小球从B到C从左向右摆动，在这一变化过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是先变长，后变短，
故选：D．
10. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法错误的是（ ）
A. 设井深为尺，所列方程为
B. 设绳长为x尺，井深为y尺，所列方程组为
C. 绳子的长是32尺
D. 井深8尺
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
根据一元一次方程的计算方法得到，判定A选项；根据二元一次方程组的计算得到，判定B选项，由此得到井深8尺，绳子的长尺，由此即可求解．
【详解】解：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，
A、设井深为尺，根据绳子长度不变列式，
∴，故原选项正确，符合题意；
B、设绳长为x尺，井深为y尺，
∴，故原选项正确，不符合题意；
根据A、B选项可得，，即井深8尺，
∴绳子的长尺，
∴C选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意；
故选：C ．
11. 如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）°
A. 60B. 70C. 80D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】先根据邻补角的定义求出，再根据折叠的性质即可求解；本题主要考查了邻补角的性质，折叠的性质．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
12. 题目：“已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值．”
如下有嘉嘉和淇淇两种解题思路和部分步骤：
嘉嘉：将方程组中的①式和②式相加并整理，可得到，再求k的值；
淇淇：解方程组得，将结果代入，再求k的值．
下列判断正确的是（ ）
A. 只有嘉嘉的解题思路正确B. 只有淇淇的解题思路正确
C. 嘉嘉和祺淇的解题思路都正确D. 嘉嘉和淇淇的解题思路都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，按照已知条件中嘉嘉和淇淇的方法，解方程组，求出，然后进行判断即可，解题的关键是熟练掌握已知条件中方法的解题思路．
【详解】解：嘉嘉的解法：
， ，
得：，
∴，
∵关于的方程组的解满足，
，
解得： ，
∴嘉嘉的解题思路正确；
淇淇的解法：
∵关于的方程组 的解满足，
的解满足，
得：，
得：，
把代入得：，
把，代入
得：，
∴淇淇的解题思路也正确，
∴嘉嘉和淇淇的解题思路与求解都正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分．把答案写在题中横线上）
13. 将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式____________________．
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可求解．
【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
14. 已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解．
【详解】解：，
将代入方②得：，
解得：，即，
将代入①得：，
解得：，
∴被和遮盖的两个数分别为，．
∴被“”和“”遮盖的两个数的和为
故答案为：．
15. 如图，直线相交于点，已知，平分．现将射线绕点逆时针旋转角得到，当时，的度数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，旋转的性质，几何角度的计算，理解角平分线的定义，旋转的性质，正确理解角度的关系是关键．
根据对顶角相等，角平分线的定义得到，根据旋转的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：，
∵平分，
∴，
∵将射线绕点逆时针旋转角得到，当时，
∴，
∴，
故答案为： ．
16. 如图，用块形状和大小均相同的小长方形拼成一个宽是的大长方形，则每个小长方形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列出二元一次方程组求解是关键．
设每个小长方形的长为，宽为，由此列方程组得到长和宽，由面积的公式计算即可．
【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为，
∴，
解得，，
∴每个小长方形的面积是，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或放算步球）
17. 黑板上写有3个命题：
①若，则；
②若是有理数，则；
③若与都是锐角，则这两个角的和是钝角．
（1）上述命题是真命题的是______（填序号），该命题的条件是______，结论是______；
（2）对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例．
【答案】（1）①，，
（2）②当时，，
③当，时，与都是锐角，
【解析】
【分析】本题主要考查了命题的判定，掌握相关知识的运算，命题真假的判定是关键．
（1）根据平方，绝对值的性质，锐角、钝角的数量关系判定即可；
（2）根据命题的特点分别举出反例即可．
【小问1详解】
解：若，则，是真命题，命题的条件是：，结论是：；
若是有理数，则不一定成立，是假命题；
若与都是锐角，则这两个角的和不一定是钝角，是假命题；
故答案为：①，，；
【小问2详解】
解：反例：
②当时，，；
③当，时，与都是锐角，．
18. 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解法是解题的关键．
（1）用代入消元法求解即可；
（2）用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：，
由②得③．
将③代入①：，
解得：．
把代入②得，
解得：．
则方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
由得，
解得：．
将代入②得，
解得：．
则方程组的解为．
19. 解方程组：甲、乙同学的部分解题过程如下：
甲：将②①．得．
乙：由②得，把①代入③．
（1）老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_______（填“甲”或“乙”）．请将这个方法改正并解出该方程组的解；
（2）请你参照甲、乙解题范例，再写出一种解题思路，并完成解答．
【答案】（1）甲，解题过程见详解
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键．
（1）根据甲二元一次方程组的方法验证甲、乙同学的计算方法即可求解；
（2）运用代入法计算即可求解．
【小问1详解】
解：②①得，，
∴出错的是甲同学，
正确解题过程：②①得，，
解得，，
把代入①得，，
整理得，，
解得，，
∴原方程组的解为，
故答案为：甲；
【小问2详解】
解：，
由①得，③，
把③代入②得，，
整理得，，
解得，，
把代入③得，，
∴原方程组的解为．
20. 某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45．
（1）试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数；
（2）若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组．
【答案】（1）原来的两位数为；
（2），检验见解析．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设原来的两位数的十位数字为，个位数字为，根据“把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据“十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的二元一次方程组，再代入值，验证即可．
【小问1详解】
解：设原来的两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得：
，
解得：，
，
∴原来的两位数为；
【小问2详解】
解：依题意，得：
，
由（1）知，
∴，
∴是方程组的解，
∴（1）中求得的结果满足所列的方程组．
21. 胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知．
（1）请说明的理由；
（2）写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数．
【答案】（1）见解析 （2）的同位角，内错角，同旁内角
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单．
（1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系；
（2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题．
【小问1详解】
解：∵是直线，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴的同位角，内错角，同旁内角．
22. 已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）当时、求这个方程组的解；
（2）当这个方程组的x，y的值互为相反数时，求a的值；
（3）嘉淇说：“无论a取什么数，的值始终不变．”请判断嘉淇的说法正确吗？说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）正确，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，二次一次方程组的解法，掌握相关知识是解题的关键．
（1）将代入得，求解即可；
（2）解方程组，再根据这个方程组的x，y的值互为相反数，即可求解；
（3）将方程组的解代入中计算即可．
【小问1详解】
解：将代入，得：
，
解得：；
【小问2详解】
解：解方程组，得：
，
∵这个方程组的x，y的值互为相反数，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵方程组的解为，
∴，
∴无论取什么数，的值始终不变．
23. 补充下面命题说理过程，横线上填写结果，括号内填写依据．
已知：如图，直线相交于点，垂足为平分．请说明的理由．
理由：因直线相交于点O（已知），
所以（ ）．
因为平分（ ），
所以（ ），
所以_______（ ），
因为（ ），
所以（ ）．
因为（已知），
所以_______（ ）．
因为（ ），
所以（ ）．
【答案】对顶角相等；已知；角平分线的定义；；等量代换；平角的定义；等量代换；；垂直的定义；两角差的定义；等量代换
【解析】
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角的性质，根据对顶角相等，结合角平分线的定义，角的和差关系，垂直的定义，等量代换，进行作答即可．
【详解】解：理由：因为直线相交于点O（已知），
所以（对顶角相等）．
因为平分（已知），
所以（角平分线的定义），
所以（等量代换），
因为（平角的定义），
所以（等量代换）．
因（已知），
所以（垂直的定义）．
因为（两角差的定义），
所以（等量代换）．
24. 每年的4月23日是世界读书日，某校打算在世界读书日当天举办“阅读分享演讲比赛”，张老师负责这次比赛的奖品采购工作，如下是他整理的采购方案表，请结合相关数据，解决任务（1）~（3）的问题．
【答案】任务（1）1盒水笔元，1包笔记本元
任务（2）可以购买方案有3种，第一种：购买水笔盒，购买笔记本包；
第二种：购买水笔盒，购买笔记本包；
第三种：购买水笔盒，购买笔记本包；
任务（3），
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，掌握二元一次方程组及方程组的解运用是解题的关键．
任务（1）设1盒水笔元，1包笔记本元，由此列二元一次方程组求解即可；
任务（2）设购买水笔盒，购买笔记本包，均为正整数，根据二元一次方程的解的概念，分别代入计算即可求解；
任务（3）根据（2）中的计算，得到水笔的数量，笔记本的数量，则有水笔的数量为：支，笔记本的数量为：本，且，代入计算即可求解．
【详解】解：任务（1）购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元，
∴设1盒水笔元，1包笔记本元，
∴，
解得，，
∴1盒水笔元，1包笔记本元；
任务（2）设购买水笔盒，购买笔记本包，均为正整数，
∴，
整理得，，
∴当时，，，不符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意；
∴可以购买方案有3种，第一种：购买水笔盒，购买笔记本包；
第二种：购买水笔盒，购买笔记本包；
第三种：购买水笔盒，购买笔记本包；
任务（3）已知1盒水笔有12支，1包笔记本有16本，
∴当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本；
当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本；
当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本；
已知计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且；一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1水笔记本，
∴水笔的数量为：支，笔记本的数量为：本，且，
当，时，，不符合题意，舍去；
当，时，，，符合题意；
当，时，，，，不符合题意；
∴，．“阅读分享演讲比赛”奖项设置和奖品采购方案表
奖项设置
设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需确定获奖人数以及奖品购买方案．
成本
已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元；1盒水笔有12支，1包笔记本有16本．
预算
学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
要求
①计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且；
②一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1本笔记本．
问题解决
任务（1）
确定单价
求一盒水笔和一包笔记本各需多少元？
任务（2）
确定购买数量
将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
任务（3）
确定获奖人数
任务（2）购买的奖品刚好全部发完，求出a，b的值．