专题09 六类几何最值模型专项训练-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

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1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，，点E是线段BC上的动点，点F在线段上方，，且，连接FA，FD，则的最小值为 ．
2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，则的最小值为 ．
3．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形边长为8，点在对角线上运动，为上一点，，则长的最小值为 ．

4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为8的菱形中，，为上方一点，且，则周长的最小值为 ．
5．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，且a，b满足，点C是线段上一个动点，以原点O为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求证：；(3)求的最小值．
6．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ．
7．（2024·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
8．（2024·陕西·三模）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为______．
9．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ．
10．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．
11．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）边长为4的等边的顶点O与坐标原点重合，顶点A在x轴正半轴上，顶点B在第一象限内，点C是y轴正半轴上一动点，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交y轴于点E．

(1)如图1，当A，B，C三点共线时，______度；(2)如图2，当A，B，C三点不共线时，求的度数；(3)在问题（2）的条件下，取点，求的最小值．
12．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则当取得最小值时，下列结论正确的是（ ）

A．直线 B．直线平分 C．直线与直线重合 D．直线与直线重合
13．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景:如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”．
（2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值；
（3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值．
14．（2024·重庆·一模）在中，，于点D．

(1)如图1，过点B作，分别交于H，于M，求证：；
(2)如图2，过点D作交于点F，点G为左侧一点，，，连接，，，之间存在的数量关系；
(3)如图3，，，点P为内部一点的最小值．
15．（2024上·陕西西安·九年级统考期中）（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值．
（2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．

16．（23-24八年级下·陕西西安·期末）问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值．

方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)．
问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，．由，，可知为正三角形，有．
故．因此，当共线时，有最小值是．
学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________．

(2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值．(3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值．
17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D是边的中点，若点P是边上一点，则的最小值为 ．
18．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．
②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．
③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
19．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
20．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ．
21．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在矩形中，，点E，G分别在边上，且，点F在边上，连接，若，则的最小值为 .

22．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，于点D，点E、F分别是线段上的动点，且，则的最小值为 ．

23．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点在轴上，动点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．动点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，则的最小值是 ．
24．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是 ．

25．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ．

26．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ．
27．（2024·江苏·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点G处，折痕分别与边，交于点E，F．当点G的位置变化时，长的最大值是 _________________．

28．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，中，，，．点是边上的动点，过点作边，的垂线，垂足分别为，．连接，则的最小值为 ．