专题05 费马点最值模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（北师大版）

这是一份专题05 费马点最值模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（北师大版），文件包含专题05费马点最值模型旋转原卷版docx、专题05费马点最值模型旋转解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（2023.江苏中考一模）（1）【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝ 度．
（2）【解决问题】①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝ ．
（3）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
【答案】（1）65；（2）①；②2；（3）PA+PB+PC的最小值为．
【分析】（1）【操作发现】：如图1中，根据旋转的性质可得AD＝AB，由等边对等角和三角形内角和定理可求出答案；（2）【解决问题】①如图2中，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，只要证明∠PP′C＝90°，利用勾股定理即可解决问题；②如图3中，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′，根据旋转的性质可以得到∠P′CP＝∠ACB＝90°，进而得到等腰直角三角形，求出PP'即可得出答案；（3）【拓展应用】如图4中，将△APB绕BC顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE．得出∠CBE＝135°，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，求出CF和EF的长，可求出CE长，则答案可求出．
【详解】（1）【操作发现】解：如图1中，

∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，∴AD＝AB，∠DAB＝50°，
∴＝65°，故答案为：65．
（2）【解决问题】①解：如图2中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，
∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，
∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝××2＝．
②如图3，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′，
图4
∵CP′＝CP，∠P′CP＝∠ACB＝90°，∴△P′CP为等腰直角三角形，∴∠CP'P＝45°，
∵∠BPC＝135°＝∠AP'C，∴∠AP′P＝90°，∵PA＝3，PB＝1，∴AP′＝1，
∴PP′＝＝＝2，∴PC＝＝＝2．故答案为：2．
（3）【拓展应用】解：如图4中，将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE．
∵将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，
∴∠ABP＝∠EBD，AB＝EB＝4，∠PBD＝60°，△BPD为等边三角形，AP=DE
∴∠ABP+∠PBC＝∠EBD+∠PBC，PB=PD
∴∠EBD+∠PBC＝∠ABC＝75°，根据两点之间线段最短可得PA+PB+PC=DE＋PD＋PC≤CE，即PA+PB+PC的最小值为CE的长∴∠CBE＝135°，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，
∴∠EBF＝45°，∴，
在Rt△CFE中，∵∠CFE＝90°，BC＝3，EF＝2，
∴＝即PA+PB+PC的最小值为．
【点睛】此题考查的是旋转的性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质和勾股定理，掌握作辅助线的方法、旋转的性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
例2．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．(2)(3)
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，
（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴为等边三角形；∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，∴，，
又∵，∴，
∴，∴；
∵，∴，，∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，

∵，∴，
又∵∴，
由旋转性质可知：，∴，∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，

过点作，垂足为，∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴
的最小值为
总的铺设成本（元）故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
例3．（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；
【答案】（1）两点之间，线段最短；AE；（2）2；
【分析】（1）连接AE，由两点之间线段最短即可求解；（2）在Rt△ABC中先求出AC，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等，根据勾股定理即可求解；
【详解】（1）连接AE，如图，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值为线段AE的长
故答案为：两点之间线段最短；AE；

（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2
∴BC=2AB=4由勾股定理可得AC=
如图2，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，可得△CPD为等边三角形，∠BCE=60°
∴PD=PC 由旋转可得DE=PB，CE=BC=4 ∴PA+PB+PC=PA+DE+PD
由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90° ∴在Rt△ACE中，AE=
即PA+PB+PC的最小值为2；
【点睛】此题主要考查四边形综合的最短距离，解题的关键是熟知旋转的性质、圆周角定理及两点之间的距离特点．
例4．（2023下·四川成都·八年级统考期中）如图，在中，，，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】在BC上取一点，使，连接B′N．首先证明，将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点T作交的延长线于H．要使的值最小，需点、N、G、T四点共线．连接，则其就是所求最小值，求出B′T可得结论．
【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点T作交的延长线于H．
∵，，∴四边形是平行四边形，∴．
由旋转的性质可知，和都是等边三角形，
∴，．∴．
要使的值最小，需点、N、G、T四点共线．连接，则其就是所求最小值．
∵中，，．∴，．
由旋转的性质可知：，，∴，
在中，，，
∵．∴，
∴．∴的最小值是．故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转变换，30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
例5．（2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．

问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有．
故．因此，当共线时，有最小值是．
学以致用：(1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________．(2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值．
【答案】(1)5(2)
【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．（2）将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
【详解】（1）解：如图3中，将绕点逆时针旋转得到，∴，，

∴是等边三角形，，在中，，
，，的最小值为5．故答案为5．
（2）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，∴，，
∴是等腰直角三角形，∴，作交的延长线于．
在中，，，，
在中，，
，的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置．
例 6．（2023·陕西·二模）已知，如图在中，，，，在内部有一点D，连接DA、DB、DC．则的最小值是__________．
【答案】．
【分析】把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，可求DD′= ，在Rt△CEB′中，可求CE，AE= ，BE= ，当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短，可求AB′=BD++AD=．
【详解】解：把△CDB顺时针旋转90°到△CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，
则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，∴DD′=CD÷cs45°=，
∵，，∴，
在Rt△CEB′中，∴CE=B′C·cs60°=5，∴AE=AC+CE=6+，
∴BE= B′C·sin60°=5，当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短，
∴AB′最短=，
AB′=B′D′+D′D+AD=BD++AD=．故答案为：．
【点睛】本题考查三角形旋转变换，特殊角锐角三角函数，勾股定理，四点共线时最短，掌握三角形旋转变换，特殊角锐角三角函数，勾股定理，四点共线时最短，准确作图是解题关键．
课后专项训练
1．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，已知，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质知是等边三角形，则最小值为的长，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：连接，过点作，交的延长线于，
∵将绕着点逆时针方向旋转得到，
∴，∴是等边三角形，∴，
∴当点共线时，最小，最小值为的长，
∵，∴，
∴，∴，，∴，
在Rt△BFH中，由勾股定理得，，
∴AE+PB+PC的最小值为，故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，将AE+PB+PC最小值转化为BF的长是解题的关键，
2．（2023·成都实外九年级阶段练习）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．
【答案】
【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可．
【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等边三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴，
∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；
∵，∠CAD=，∴∠EAD=，
∴，∴，
∴，∴，
∴的值最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上．
3．（2023·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．
【答案】
【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论．
【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，

∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等边三角形，∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，
∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．
4．（2019·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________

【答案】
【分析】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，易知△MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.
【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，∴OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4，∴AQ＝AM＝MQ•cs45°=4，
∴NQ＝，故答案为.
【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.
5．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝_____．
【答案】
【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题.
【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAP=∠CAP，
∵PA=PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC=PB，
∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，∴△GAP是等边三角形，
∴PA=PG，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM=2，
∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，
作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-，
∴BC=．故答案为．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题
6．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．

【答案】
【分析】在上取一点，使得，连接，如图所示，首先证明，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，证明，求出可得结论．
【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：

，，四边形是平行四边形，，，
将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示：
，，是等边三角形，，，
，，，，
，，，
，，，，，，
，，
，的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
7．（2023·山东·九年级专题练习）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
【答案】 5
【分析】①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可
②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可
【详解】①如图,过作，垂足为,
过分别作, 则, P为的费马点

5
②如图：.
将绕点逆时针旋转60
由旋转可得：
是等边三角形， P为的费马点
即四点共线时候，=
故答案为：①5，②
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转也可，但必须绕顶点旋转．
8．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．
【详解】以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示，
则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等边三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cs∠BAC=2×cs30°=，
∴CB′=，故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
9．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
【答案】5
【分析】①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可
②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可
【详解】①如图,过作，垂足为,
过分别作, 则, P为的费马点

5
②如图：.

将绕点逆时针旋转60 由旋转可得：
是等边三角形，
P为的费马点,即四点共线时候，
=故答案为：①5，②
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转也可，但必须绕顶点旋转．
10．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ．
【答案】
【分析】将绕点旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，进而得到为等边三角形，得到，进而得到，当四点共线时，的值最小，为的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，
则：，
∴为等边三角形，∴，∴，
当四点共线时，的值最小，为的长，
∵，∴，过点作轴，则：，∴，
∴，即点在轴上；过点作轴于点，
∵，∴，，∴，
∴，即：的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形变换，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．解题的关键是将图形进行旋转，根据两点之间线段最短，确定最小值．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题．
11．（2023上·广东珠海·八年级校考期中）综合与实践：
【问题情境】学完等边三角形后，老师在课堂上提出了一个问题并证明了：如图1，等边与等边共一个顶点时，无论怎么摆放可通过恒有．于是提出了如下问题．

【问题证明】（1）如图2，M是等腰内一点，N是等边内一点，且满足．求证：是等边三角形．
【迁移应用】（2）在（1）的基础上，知点M是等腰内一点，当点M到三角形3个顶点的距离之和，即最小时，我们把M点称为等腰的“紫荆点”．若M是等腰的紫荆点，求．
完成以下推导过程：（①填理由；②填线段；③与④填关系式）
解：如图3，令，分别是等腰，等边内一点，且满足∴
∵是等边三角形 ∴，
由 ① 可知：∴的最小值的最小值= ②
∴如图4，当D、N、M、C在一条直线上时．M是等腰的紫荆点
∴ ③ ； ④ ∴

【拓展提升】（3）甲同学发现等腰“紫荆点”的作法：如图5，已知，在AB的左侧作等边．连接，与的角平分线交于点M，点M就是“紫荆点”，甲同学发现是否正确？请说明理由．
【答案】（1）见详解（2）①两点之间，线段最短，②③④（3）正确，理由见详解
【分析】（1）因为，所以，，因为是等边三角形，则，故，即可证明是等边三角形；（2）依题意，由的最小值的最小值，知道①填写的内容是两点之间，线段最短，即②填写的是；根据，又因为以及邻补角性质，故，因为三角形外角性质，知，结合推导前后内容，即可作答；（3）连接，在上取点N，使，根据是等腰的角平分线，得，结合，所以，证明，得，，证明是等边三角形，，，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，∴，，
∵是等边三角形，则，∴
∵，∴是等边三角形；
（2）解：如图3，令，分别是等腰，等边内一点，且满足∴
∵是等边三角形∴，
由两点之间，线段最短可知：∴的最小值的最小值
∴如图4，当D、N、M、C在一条直线上时．M是等腰的紫荆点
∴；
∴

（3）正确，证明如下：如图：连接，在上取点N，使，连接，
∵是等腰三角形∴∵是等腰的角平分线，∴
∵，∴∴，
∵是等边三角形，是等腰三角形∴∴
∵∴∴，，
∴，∴是等边三角形，
则，即，
结合“紫荆点”的定义，则甲同学发现是正确的．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、以及等腰三角形的性质和等边三角形的性质与判定，综合性较强，熟练掌握作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
12．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程：
①当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，

∵绕点C顺时针旋转得到∴，
∴为_________三角形，∴
∵∴∴
由几何公理：_____________可得：
∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．
②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略．
(2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；
(3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．

【答案】(1)①等边，两点之间选的最短，120；②见解析(2)7(3)
【分析】（1）①根据题目所给的推理步骤即可解答；②当时，根据大边对大角得出，进而求出顶点A到另两个顶点距离和最小，即可求证；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， 求出，则，根据勾股定理可得：，最后根据勾股定理得出即可求解；（3）根据题意可得：总的铺设成本为万元，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求出，则当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，用和（2）同样的方法求解即可．
【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，

∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，，∴为等边三角形，∴，
∵，∴，∴，
由几何公理：两点之间选的最短，可得：
∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．

②当时，∵，∴，
∴，∴顶点A到另两个顶点距离和最小，
∵，∴，
∴当点P和点A重合时，取最小值，即此时的A点为该三角形的“费马点”．
（2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，

由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
延长，过点作延长线的垂线，垂足为D，
∵绕点C顺时针旋转得到，∴，，
∵，∴，∵，∴，
∴，则
根据勾股定理可得：，∴；
（3）解：根据题意可得：总的铺设成本为万元，
将绕点C顺时针旋转得到，连接，
∴，，∴，则，
当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，
∵，∴，∴，
根据勾股定理可得：，∴，
根据勾股定理可得：，
即最小值为，∴总铺设成本最少为万元．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
13．（2020·重庆中考真题）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；（2）连接AF，由（1）得，，，推出，然后根据现有条件说明
在中，，点A，D，C，E四点共圆，F为圆心，则，在中，推出，即可得出答案；
（3）在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，证明点P位于线段CE上，同理得到点P位于线段BF上，证明∠BPC=120°，进而得到，设PD为，得出，，得出，解出a，根据即可得出答案．
【详解】解：（1）证明如下：∵，∴，∵，，
∴在和中，∴，
∴，∴，
在中，F为DE中点（同时），，
∴，即为等腰直角三角形，∴，
∵，∴；
（2）连接AF，由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F为DE中点，∴，
在四边形ADCE中，有，，∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，∴F为圆心，则，
在中，∵，∴F为CG中点，即，
∴，即；
（3）如图1，在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP，∴AP+BP+CP=DE+DP+CP，
∴当的值取得最小值时，点P位于线段CE上；

如图2，将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP，
∴AP+BP+CP=GF+GP+BP，∴当的值取得最小值时，点P位于线段BF上；
综上所述：如图3，以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点，∴△AEC≌△ABF，∴∠AEC=∠ABF，∴∠EPB=EAB=60°，∴∠BPC=120°，

如图4，同理可得，，∴，设PD为，∴，
又，∴， 又∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键．
14．（2023·福建三明·八年级期中）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”．
(1)【拓展应用】如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到．①若，则点与点之间的距离是___；②当，，时，求的大小；(2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值．
【答案】(1)①3；②150°；(2)
【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出的值；②先证△ABP≌，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小；（2）将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，先求出，然后证明为等边三角形，当B、P、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可．
（1）①如图，将绕A逆时针旋转60°，则，，
∴为等边三角形，；
②∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，
又∵是等边三角形，∴∠PAC+=60°，∴∠BAP=，
在△ABP与中，，∴△ABP≌（SAS），
∴∴，，
，又∵旋转，∴；
（2）如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，
则，在中，，
，，
又∵，
，，
过作⊥BC交BC的延长线于点D，则，，
（30°所对的直角边等于斜边的一半），，
，为等边三角形，
当B、P、、四点共线时，和最小，
在中，，
，∴的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形解决问题．
15．（2023·江苏·苏州八年级期中）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．
(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)．
【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；
（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；
（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．
(1)解：连结PP′，∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案为150°；

(2)证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，
∵，∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上∴过的费马点．
(3)解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；

(4)解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．
【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．
16．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值．

方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)．
问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，．由，，可知为正三角形，有．
故．因此，当共线时，有最小值是．
学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________．

(2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值．
【答案】（1）5；（2）；
【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．（2）将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
【详解】解：（1）如图3中，将绕点逆时针旋转得到，
∴≌，∠CAE=PAF=60°，∴AE=AC=3，AF=AP，∴是等边三角形，

∵∠BAC=30°，∴，
在中，，
，，
的最小值为5．故答案为5．
（2）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，∴AF=AP，∠FAP=90°，
∴是等腰直角三角形，∴FP=，∵∠BAC=45°，∴，，
作交的延长线于．在中，，，
，在中，
，，的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时的位置的确定以及解直角三角形，解本题的关键是确定取最小值时的位置．