专题21 全等三角中重要模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

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1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，．若的角平分线交CD于E，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③若，则；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ．
【答案】①③④
【详解】， 、分别是、的平分线，
，，
，如图，延长交延长线于，
，，平分，，
在与△FBE中，，，
，，在与中，，，
，，故①正确，，，即点为的中点，∵为不一定相等，∴为不一定相等，故②错误，
若，则是斜边上的中线，则，故③正确，
，∴的取值范围为，故④正确．
综上所述，正确的有①③④．故答案为：①③④．
2．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转180°得到），把、，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断．中线的取值范围是_________；

（2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1），（2）见解析，（3），证明见解析
【详解】解：（1）∵为中线，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，即，解得：．故答案为：．
（2）延长到点F使，再连接，∵是边上的中点，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴为的垂直平分线，∴，
∵，∴．

（3），证明如下：延长到点G使，再连接，
∵，，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，，∴，∴，即，
在和中，，∴，∴，
∵，∴．
3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围．
【问题解决】经过组内合作交流．小明给出了如下思路：延长到点，使，连接，经过推理可知…
（1）请根据小明提供的思路写出详细的过程并求出的取值范围．
【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”．
【尝试应用】（2）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：．
【拓展提升】（3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为__________．
【答案】（1）（2）见解析（3）12
【详解】解：（1）延长到点E，使，连接，

∵是的中线，∴，又，∴，∴，
在中，，，，∴，
∵，∴；故答案为：；
（2）延长至点，使，连接，
同法可得：，∴，，∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）延长至点，使，连接，
同法可得：，∴，，
∵，平分，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴的面积为：；故答案为：．
4．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，，是的角平分线，于点E．
(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是边上一个动点（不与点D重合），以为一边，在的下方作，交射线于点G，请画出完整图形，探究与数量之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：在中，，，，，
平分，，，
又，，，又，是等边三角形；
（2）解：，理由如下：如图，延长至H，使得，连接，
由（1）得，，
，，，
又，是等边三角形，，，
，，，，
，，即，
在和中，，，，
，．
5.（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题．
如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：．
讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接CF，先证明，再证明，即有，即．
解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明
，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接CF．
∵平分，∴，
在和中，∴（）∴，．
（1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧．
拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：．（4）如图④，在中，，延长的边到点，AD平分交延长线于点，若，，则 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）
【详解】（1）补充证明如下：∵，∴，
又∵∴，∴
∵点是边的中点，∴，又∵∴，
在中，∴∴，
又，∴，即；
（2）∵，∴，∵为的角平分线，∴
∴，故答案为：．
（3）证明：如图所示，在上截取，

∵，∴，∵是的角平分线，∴，
在中，∴，∴，，
∵，∴，又∵∴
∵是的角平分线，∴，在中，
∴∴∴；
（4）解：如图所示，在上截取，∵AD平分∴，
在中，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴∴，
∴，∴故答案为：．
6．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，．求证：．①如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段．②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答．
如图4，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，求证：．
【类比分析】（3）如图5，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，求的面积．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】（1）①选择小明同学的解题思路，
证明：如图1，过作，交的延长线于，
，，是等腰直角三角形，，
，，，，，
又，，，，，，
，，；

②选择小涛同学的解题思路，证明：如图2，在上截取，连接，
，，为等腰直角三角形，，，
，，又，，，
又，，又，， ，
，，；
（2）证明：如图3，过作于，则，
，，，又，，，
，，，，
，，，又，，
又，，，，
，；

（3）如下图，过作于，则，，，，
又，，，
又，，，，
，，， 又，，，
又，，，，，
，，，．
7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．(1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，则与的数量关系是__________．如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过A作于D，过B作于，，，则的长___________；
(2)【变式运用】如图3，在中，，，．求．
(3)【拓展迁移】如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积．
【答案】(1)；(2)2(3)9，或
【详解】（1）解：，理由如下，∵，，∴，
∵，∴ ，，∴，
在与中，∵，∴，∴；
∵，，∴，∵，
∴ ，，∴，
在与中，∵，∴，∴，，
∵，，∴；
（2）解：∵，，∴，，，∴，在与中，∵，
∴，∴，∵，∴，
（3）解：当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F，

∵，，，∴，，由（1）得，，
∴，∴；
当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F，
∵，，，∴，，
由（1）得，，∴，∴，
当作斜边时，作三角形高，过D作，过A作，
∵，，，∴，，
由（1）得，，∴，，∵，， ，
∴，，∴，，∴
∴，，∴，
综上所述：的面积是9，或．
8．（23-24八年级上·广东惠州·期末）（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________；
（2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：；
（3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？
【答案】（1）0.8；（2）见解析；（3）18
【详解】解：（1），，．
，．
在和中，，
，；故答案为：0.8；
（2）证明：，，
，在和中，
，，．
（3）的面积为27，，的面积是：，由（2）中可知，
与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是18，
故答案为：18．
9．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为_____________．
（2）探究问题：①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：如图4，直线经过Rt的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果）
【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
【详解】解：（1）∵，，∴，故答案为：；
（2）①，理由如下：直线，直线，，
，，，，
在和中，，，，，
，故答案为：；
②成立．证明如下：如图2，
，，，
在和中，，，，，
；
（3）①当在上，在上时，即，，，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
，，；
②当在上，在上时，即，，，
，，；
③当到达，在上时，即，，，
，，．
综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
10．（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，O是内的点，，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接．设为，当为等腰三角形时，为 ．
【答案】或或
【详解】解：，，，，
，，，，，
由旋转得，，，
，，
当△为等腰三角形，且时，则，
，，；
当△为等腰三角形，且时，则，
，；
当△为等腰三角形，且时，则，
，，
综上所述，或或，故答案为：或或．
11．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图①、图②中，点C为线段上一点，与都是等边三角形．(1)求证；(2)如图②，与交于点E，与交于点F，探究的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析(2)是等边三角形，证明见解析
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，∴，
∴，即，∴，∴；
（2）解：是等边三角形，证明如下：∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴是等边三角形．
12．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．①的度数为 ；②线段之间的数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．
【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3）
【详解】（1）①∵和都是等边三角形，
∴
∴，即
在和中∴∴
∵∴
② ∵ ∴ 故答案为：①，②；
（2），理由如下：∵和都是等腰直角三角形，
∴ ∴
∵∴，即
在和中∴∴
∵∴
∵是等腰直角三角形，为中边上的高∴
∵∴
（3）∵是等腰三角形，∴
∴同（1）可得：
∴∴ ∵是等腰三角形，∴
∴
13．（2024九年级下·重庆·专题练习）【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图，在正方形中，点，分别在边，CD上，连接，，，并延长CB到点，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ；
【类比探究】（2）如图，当点在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，在上，，若的面积为，，请直接写出的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，∴，
∵，∴，∴，，
∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2），理由如下：如图，在上截取，连接，
∵四边形为正方形，∴，，∴，又∵，∴，
∴，，∵，，∴，
∴，∴，在和中，，
∴，∴，∵，∴；
（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，

∴，，，∵，∴，
∵，∴，∴，
在中，，∴，由旋转得，
∴，∴是直角三角形，∴，
∵，∴，∵，的面积为，
∴．
14．（23-24九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在四边形中，，．
(1)求证：；(2)如图②，当时，若点E，F分别在边上，且．求证：；(3)在（2）的条件下，若，是等腰三角形，直接用含的代数式表示．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)为或或
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，∴．∵，∴，∴；
（2）证明：如图，将围绕点A旋转到的位置，

则，∵，则，∴．
∵．∴，∴；
（3）解：在四边形中，，，则．
由知，．
①当时，则，
则，；
②当时，则，；
③当时，则，则，．
综上，为或或．
15．（23-24七年级下·陕西·期末）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________．
探索延伸：（2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由．
实际应用：（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里
【详解】解：（1）由题意：
∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，，
，故答案为：．
（2）仍然成立．理由：如图1，延长到点G，使，连接．
∵，，∴．
在和中，，∴，
∴，．∵，
∴．
在和中，，∴，∴．
∵，∴．

（3）如图2，连接，延长，相交于点C．
∵，，∴．
∵，，∴符合探索延伸中的条件，
∴结论成立，即（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
16．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分．
(1)如图，若，，则 (2)问题解决：如图，求证：；
(3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【详解】（1）解：若，则，，∴，，
∵平分，∴，故答案为：；
（2）解：如图，过点分别作于，的延长线于点，则，
∵平分，∴∵，∴，
∵，∴，∴，∴；

（3）解：如图，在上取，
∵是等腰三角形，，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，由（）可得，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，即．
17．（23-24八年级·全国·假期作业）如图，画，并画的平分线．

(1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、（如图①），则 ；（填“”“ ”或“”）
(2)把三角尺绕着点P旋转（如图②），两直角边分别与、交于点E、F，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)=(2)，理由见解析
【详解】（1）解：∵平分，，，，故答案为：．
（2），理由如下：过作于，于，如图②所示：

则，，平分，
，，，
，，由（1）得，，
在和中，，，．
18．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：
画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、．
(1)若，（如图①，与相等吗？请说明理由；
(2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由；
(3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析．
【详解】（1）解：平分，，，∴；
（2），理由如下：当时，如图①，

，平分，，
，且，
，，，∴，；
当与不垂直时，如图②，作于点，于点，
，，，，，
，且，，
，，
，∴，，综上所述，．
（3），理由如下：
如图③，在上取一点，使，连接，
平分，，，∴，
，，，
，，且，
，，，．
19．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，于E．
(1)求证：平分；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：如图，作交的延长线于，
∵，∴，∵，，∴，
∵，∴，∴，∴平分；
（2）解：由（1）可得：，在和中，
，∴，∴，∴．
20．（23-24八年级上·安徽·期中）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：在上取，连接，

，，且，，，，
∵，，，， ，．
21．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：是的角平分线，，
，，又，
，，
即，又，，
，即，
，故选：．
22．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）

A．的值不变 B． C．的长不变 D．四边形的面积不变
【答案】C
【详解】解：如图作于E，于F．∵，∴，

∵，∴，∴，
∵平分，于E，于F，∴，
在和中，，∴，∴，
在和中，∴，∴，，
∵，，∴，∴定值，故D正确，
∵，故A正确，
∵M，N的位置变化，∴的长度是变化的，故C错误．
∵，∴，∵与互补，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵平分，∴∴，故B正确，故选：C
23．（2024·山西临汾·八年级统考阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．

分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
(1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程．
(2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：，，，
是的平分线，，
在和中，，，；
（2）证明：如图②，过点作于，于，

是的平分线，，，，
，，，
在和中，，，．