专题07 平行线的拐点模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

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A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过点P作，如图， ∵∴
∵，∴∴
∴故选：C．
2．（2024·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C．
3．（2024·湖北·模拟预测）“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引人特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点作，
， ，，，
．故选：C．
4．（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图1，．

(1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由.
(2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数．(3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值．
【答案】(1)，理由见解析 (2)
(3)的值随的变化而变化；的度数为不变
【详解】（1）解：，理由：过B作，∴，

∵，
∴，∴，∴；
（2）解：设，∵与的平分线交于点F，
∴，
过点B作，过点F作，∵，∴，

∴，
∴，∵的余角等于的补角，
∴，解得：，∴．
（3）解：由（1）可知，∴，
∵平分，∴，
∵平分，∴，
∵点P是上一点，∴，∴；
∴的值随的变化而变化；的度数为不变．
5．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)提出问题：如图1，若，点P在内部，求证：；
(2)探索发现：将图1中直线绕点B逆时针方向转一定角度得，交直线于点Q（如图2），结合（1）中的结论，直接写出之间的数量关系；
(3)拓展应用：如图3，交于点M，交于点N．已知，结合（2）中的结论计算，＿＿＿．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)．
【详解】（1）证明：过点P作，如图1所示：

∵，∴，∴，
∴，即；
（2）解：，理由如下：如图2所示：
∵，∴，∴，
由（1）的结论得：，∴；
（3）解：如图3所示：由（2）的结论得：，
∵，∴①，∵，∴，
由（2）的结论得：，∴②，
得：．
6．（2024下·湖南永州·七年级统考期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．

【答案】/85度
【详解】解：过点P作，如下图：

则∴，
∴，，∴
7．（2024下·辽宁铁岭·七年级统考期末）如图已知：，，平分，，有下列结论：①；②③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）

【答案】①③④
【详解】解：，，，故①正确；
延长、交于点G，如图所示：

∵，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，即，故②错误；
平分，，，，∴，
∵，∴，故③正确；
∵，∴，∵平分，∴，∴，
∵，∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①③④．故答案为：①③④．
8．（2024上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（ ）

A．55°B．70°C．60°D．35°
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，故选：A．
9．（2024下·河北邯郸·七年级校联考阶段练习）如图，将直线m按箭头所指方向平移至直线n，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：过B作，

由题意可得：,∴，∴，
∴，，
∴．故选：A．
10．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，
(1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °；
②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
(2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
【答案】(1)①40；②，证明见解析；(2)或．
【详解】（1）解：①如图1：标出和，由格线平行，利用平行的性质可得：
∵∴∴故答案为：；

②，证明如下：证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和
由格线平行可得 ∵∴．
（2）解：设与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为，
当射线在的内部，如图：在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和 由格线平行可得，
∵∴即， ∴ 即
当射线在的外部，如图：∵∴
由（1）中②知，∴
综上所述：或．
11．（2024·河南商丘·七年级统考期末）乐乐在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学模型如图所示，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，延长交于F，如图，

∵，，∴，
又∵，∴，故选：A．
12．（2024·四川巴中·七年级统考期末）如图，，将含有的三角板如图放置，顶点D在直线之上，线段，分别与直线交于A，B两点，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：过点作，如图所示：

∵，，∴，∴，
∴，∴，∴．故选：B．
13．（2024·广东广州·七年级校考期中）如图，已知直线，M、N分别是直线上的点．

(1)在图①中，若，则 ．
(2)在图②中，请判断之间的关系，并说明理由．
(3)在图③中，平分，平分，且，求．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)．
【详解】（1）解：过点E作直线．∵，∴，

又∵，∴．∴，
∴，
∵，∴．故答案为：；
（2）解：结论：．
理由：如图中，过点E作直线．∴，
又∵，∴．∴，
∴；
（3）解：∵平分，∴，
∵平分，∴，
设，由（1），得，
由（2），得，
又∵，∴，
∴，即．∴．
14．（2024·湖北孝感·七年级统考期末）在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．

(1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数；
(2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；(3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，，；，；，
【详解】（1）解：，，，
，；
（2）如图，过点作，

，，，，，
平分，平分，，，
，，
；
（3），，，
，，，
，，， ，
，，，
又，是正整数，存在符合要求的正整数和，分别为：
当时，，不符合题意，舍去；当时， ，符合题意；
当时，，不是整数不符合题意，舍去；当时，，符合题意；
当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．
15．（2023下·陕西西安·七年级校考期末）如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（ ）

A．15°B．20°C．30°D．50°
【答案】C
【详解】解：∵，，∴，∴；故选C
16．（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）如图，，若，，则的度数为 ．

【答案】/39度
【详解】解：∵，，∴，
又∵，∴．故答案为：．
17．（2024下·辽宁鞍山·七年级统考阶段练习）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．(1)如图，若，求的度数；(2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；
(3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：如图1，过作，

，∴，∴，，
，∴；
（2）解：如图2，过作，过点P作，设，
，，，，
，，，
平分，平分，，，
，，平分，，
，，，
，，；
（3）解：如图3，过作，过作，设，，
交于，平分，，，
，，，，
，，，
，平分，，，
，，
，，
，，，．
18．（2024下·贵州铜仁·七年级统考阶段练习）阅读下面的材料，并完成后面提出的问题．
(1)已知，如图1，，请你探究一下与、度数之间有何数量关系？并说明理由．
(2)在图1中，当点向左移动到图2所示的位置时，与、的度数之间又有怎样的数量关系呢？请说明理由．(3)在图1中，当点向上移动到图3所示的位置时，请直接写出与、度数之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）解： ，理由：如图1，过点作，
，，
，，，
，；

（2），理由：如图2，过点作，
，，，，，
，；
（3），理由：如图3，过点作，
，，，，
，．
19．（23-24下·广东·七年级校考期末）如图，直线，，则 ．
【答案】/200度
【详解】解：如图：过的顶点A作，，
又∵，，，，故答案为：．
20．（2024下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（ ）

A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线，
D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）
【答案】C
【详解】解：A、如图，∵，∴，
∵∴，∴，故此选项不符合题意；

B、如图，∵，∴，
∵，∴，∴，故此选项不符合题意；
C、如图，由平分，平分，
没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，
∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；

D、如图，延长交于点，
∵，，，∴，
∴，，∵，∴，
∴，故此选项不符合题意．故选：C．
21．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，延长交于点，

，，
，，故选：．
22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．

【答案】
【详解】解：过点C作，如图：则，∴，，

∵，∴，∴，∴．
23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内：
解：作，（ ① ），
，，
，，
（ ② ），
（ ③ ），
，，．
【类比应用】如图2，，，，则的度数是______；
【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．

【答案】【探究感知】①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；【类比应用】；【拓展延伸】．
【详解】探究感知解：作，（两直线平行，内错角相等），
，，
，，（平行于同一条直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，，，
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；
类比应用，解：如图，过点C作直线，，，，
，，，，，，
，，故答案为：；

拓展延伸解：如图，过点F作，
，，平分，平分，
，，，，
，，，，．
24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践
【课题学习】平行线的“等角转化”功能．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数．
【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．

【答案】（1），；（2）；（3）．
【详解】（1）解：过点A作，∴，，
又∵，∴；故答案为：，；
（2）解：过点E作，如图，∵，∴，∴，，

∴∴；
（3）过E点作，如图，
∵，∴，∵平分，平分，
∴，，设，，
∵，，∴，，
∵，∴，∵，
∴，，
∵．
如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．

解：过点A作，∴______，，
又∵．∴______．