专题07 平行线的拐点模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版2024）

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1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A．B．30°C．D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∴．故选：D．
2．（23-24七年级下·北京·期末）如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ．
【答案】/68度
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，∴，∵，∴，即，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，故答案为：．
3．（23-24七年级下·北京·期中）如图，，，则与满足 ．
【答案】
【详解】过C作，
∵，∴，∴，，
∵，∴，∴，故答案为：．
3．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，，，，，，则、、的关系为 ．
【答案】
【详解】解：延长交于，延长交于．
直角中，；中，，
因为，所以，于是，
故．故答案为：
4．（23-24七年级下·北京房山·期末）下面是解答一道几何题时添加辅助线的方法，请完成证明．
已知：如图，．求证：．
证明：如图，过点作直线．

【答案】见解析．
【详解】证明：
．
5．（23-24七年级下·北京东城·期末）如图，已知．

(1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明）
【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3)
【详解】（1），
证明：，，，，
；
（2），证明：，，
，，，
，；
（3）如图1，；
如图2，；
如图3，；
如图4，；
四个角，，，之间的数量关系有4种，故答案为：4．

6．（23-24七年级下·北京·期末）已知直线，点，分别为，上的点，为平面内一点，，平分交于点．
(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，直接写出与的数量关系．
【答案】(1)(2)或．
【详解】（1）∵，∴
∵平分交于点∴
∴ 如图所示，过点C作

∵∴∴
∵∴∴
∵∴；
（2）如图所示，过点C作 ∵，设∴
∵平分交于点∴
∴
∵∴∴
∵∴∴
∵∴∴；
如图所示，过点C作，∵，设∴
∵平分交于点∴
∵∴∴
∵∴∴
∵∴∴
综上所述，与的数量关系为或．
7．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，，点、分别在直线AB、CD上，点在直线AB、CD之间，α。(1)若α，求的值；(2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含α的代数式表示）；(3)如图3，EG在内，，在内，．直线交、EG分别于点、，若α，，则的值是______．

【答案】(1)；(2)；(3)4．
【详解】（1）解：过点作，

∵，∴，∴，，
∴，即，
∵，∴；
（2）解：过点作，过点作，延长交AB于点，
∵平分，平分，∴设，，
∵，，∴，，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，，，
∴
，故的值为；
（3）解：如图，设直线与EG交于点，与AB交于点，

∵，∴，∵，
∴，∵，
∴，即，
∵，在内，．
∴，
，
∵，∴同（）得，
∴，∴，
即−，∴，解得．故答案为：．
8．（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图1，点E在上，点F在上，点M在直线之间，且，

(1)求证：；(2)如图2所示，点M、N在之间，且位于的异侧，连，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
(3)如图3，连接，；，且平分．若，与的三等分线交于N，则__________（用含的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析(3)或
【详解】（1）如图1，过点作，

∵，∴．∵，，
∴．∴．∴．
（2），理由如下：如图2，过点作，过点作，
∵，，，∴．
∴，，．
∴，．
∴．∵，∴．
∴．∴．
（3）或；分两种情况：
①当时，如图3-1，过点作，过点作，
∵平分，，∴，．
∵，，， ∴．∴，．
∵，∴．∴，
∵，，， ∴．∴，．
∴．
②当时，如图3-2，过点作，过点作，
同理可得：，．
∴．
9．（23-24七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（ ）．

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则故选D
10．（23-24七年级下·北京顺义·期末）如图，，若，，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点作，则，
，，，
．故选：B．

11．（23-24七年级下·北京石景山·期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．

【答案】
【详解】解：过点C作，如图，∴，

∵，∴，
∵，∴，∵于点B，∴，
∴，∴．故答案为：
12．（23-24七年级下·北京石景山·期末）已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F．
(1)如图，，过O点作射线，与互余．求证：；
(2)若，，请用含，的式子表示．
【答案】(1)证明见解析(2)或
【详解】（1）解：∵，∴，
∵与互余，∴，∴，∴，∵，∴；
（2）解：当如图1，过O作，则，

∴，，∴，
∵，∴，又，
∴，∴；
如图2，过O作，则，∴，，
∴，∴，
∵，∴，又，
∴，∴，
综上，或．
13．（23-24七年级下·北京通州·期末）如图1，，，，求度数．
小明的解题思路是：如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；

完成下列任务：(1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程；
(2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上）
【答案】(1)(2)当点P在区域①内时，；当点P在区域②内时，；当点P在区域③内时，；当点P在区域④内时，；当点P在区域⑤内时，；与点P在区域④内同理可得
【详解】（1）解：过点作（如图，则，
∵，，∴，又
，
（2）解：当点P在区域①内时，，

过点P作∴∵∴
∴∴；
当点P在区域②内时，，过点P作∴
∵∴∴∴；
当点P在区域③内时，，与点P在区域①内同理可得；
当点P在区域④内时，，过点P作∴
∵∴∴∴；

当点P在区域⑤内时，，过点P作∴
∵∴∴
∴；
当点P在区域⑥内时，，与点P在区域④内同理可得．
14．（2024下·江苏泰州·七年级统考期末）“抖空竹”是我国独有的一项民族传统健身项目，历史悠久，源远流长，在我国有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则 度．

【答案】85
【详解】解：如图，延长，交于点F，

∵，，∴．
∵，∴．故答案为：85．
15．（2024上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，且，则 ．

【答案】12
【详解】解：如图，延长交于点，令与相交于点，，，
平分，平分，，，，
是的外角，是的外角，，，
，，
，，，故答案为：12

16．（2024·广东东莞·七年级校考期中）（1）如图①，，，，求的度数．（2）如图②，，，，求的度数；
（3）如图③，在的条件下，的平分线和的平分线交于点，求的度数．

【答案】（1）90°；（2）70°；（3）35°
【详解】解；（1）如图，过点作，

两直线平行，内错角相等，已知，
平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补．
已知，，
，即；
（2）如图，过点作，
两直线平行，内错角相等，
(已知)，平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
；
（3）如图，过点作，是的平分线，是的平分线，
，，
两直线平行，内错角相等
已知，平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
．
17．（2024·山东临沂·七年级统考期末）在综合与实践课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含的直角三角尺（，）．

(1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：，，
又，，，
又，，；
（2）解：，理由：，，
即，
又，．
18．（2024·广东东莞·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，直线和直线，分别交于点，，直线上有一动点．

(1)如图1，点在，之间运动时，，，之间有什么关系，并说明理由；
(2)若点在，两点外侧运动时，如图2和图3（点与，不重合），试直接写出，，之间有什么关系，不必写理由．
【答案】(1)；(2)或；
【详解】（1）解：． 理由如下：作，如图1，

∵， ∴， ∴，，
∴， 即；
（2）如图，作，∵， ∴， ∴，，
即，，
在图2中，， 即；
在图3中，， 即，
综上所述，或.
19．（2024上·北京西城·八年级校考开学考试）如图，，，，则 ．

【答案】/22.5度
【分析】由平行线的性质推出，由外角的性质和，即可可解．
【详解】解：∵，，∴，
∵，，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
20．（2023下·北京朝阳·七年级校考期末）如图，已知，，求的度数．

【答案】
【详解】解：，，
，，的度数为．
21．（2024下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图：

∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故选：C．
22．（2023下·北京海淀·七年级校考期末）如图，已知 ，猜想图①，图②，图③中，，， 之间有何数量关系?请用等式表示出它们的关系，并选择其中的两个等式说明理由．

【答案】① ，详见解析；② ，详见解析；③，详见解析
【详解】① ， 理由：如图 ，过点 作 ，

∵ ，∴ ，∴ ，，
∴ ，即 ；
② ，理由：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ；
③ ，理由：如图 ，延长 交 于点 ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ．
23．（2024·四川广元·三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【答案】D
【详解】解：过点C作，∴，
∵∴；
∵，∴；
由题意，∴，∴．故选：D
24．（2023下·广东梅州·七年级统考期末）某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为 °．

【答案】100
【详解】解：如图所示，

为了保持水管与方向一致，则，由题可得，，
∵，∴，∴，
∴，
又∵，∴，故答案为：100．
25．（2024下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，延长交于点，

，，
，，故选：．
26．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．

【答案】
【详解】解：过点C作，如图：

则，∴，，
∵，∴，
∴，∴．
27．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内：
解：作，（ ① ），
，，
，，
（ ② ），
（ ③ ），
，，．
【类比应用】如图2，，，，则的度数是______；
【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．

【答案】【探究感知】①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；【类比应用】；【拓展延伸】．
【详解】探究感知解：作，（两直线平行，内错角相等），
，，
，，（平行于同一条直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，，，
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；
类比应用，解：如图，过点C作直线，，，，
，，，，，，
，，故答案为：；

拓展延伸解：如图，过点F作，
，，平分，平分，
，，，，
，，，，．

28．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践
【课题学习】：平行线的“等角转化”功能．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数．
【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．

【答案】（1），；（2）；（3）．
【详解】（1）解：过点A作，∴，，
又∵，∴；故答案为：，；
（2）解：过点E作，如图，∵，∴，∴，，

∴∴；
（3）过E点作，如图，
∵，∴，∵平分，平分，
∴，，设，，
∵，，∴，，
∵，∴，∵，
∴，，
∵．如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．

解：过点A作，
∴______，，
又∵．
∴______．