专题19 平行线的拐点模型专项训练-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

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A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知，，∴，
∴故选：C
2．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，直线，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过点A作的平行线，过点B作的平行线，如图所示．
∵， ∴，
∵， ∴， ∴，
∴， ∴． 故选：C．
3．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，，点在和之间，，是上的动点，连接，当的长度最短时，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：当时，即，的长度最短，
如图，作，，
，，，
，故选：A．
4．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，直线，点E、F分别在AB、CD上，点M为两平行线内部一点．(1)如图1，探究、、的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若和的角平分线交于点N，且，直接利用（1）中的结论，求的度数；(3)如图3，点G为直线CD上一点，连接并延长交直线于点Q，在线段上取一点P，连接，使，在射线取一点H，连接，使，设，求的度数（用含的代数式表示）．

【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1），理由如下：如图，过点作，

，，，，，
，；
（2）由（1）中的结论可得：，，
，，
，分别平分和，，，
，
，
即；
（3）设，，则，，设交于，如图：
，，，，，
，，，．
5．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）已知直线，点E在直线AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接，． (1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，F为直线AB，CD之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系；(3)当点E，F，G在直线AB，CD之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________．
【答案】(1)，理由见详解(2)(3)
【详解】（1）解： ．
理由：∵，，∴，∴，．
∵，∴．
（2）解：由（1）得，同理可得．
∵，，∴，．
∵，，∴，，
∴，
则．
（3）解：．如图，过点E，F，G分别作AB的平行线，，，
则，∴，，，．
∵，，，
∴，
∴，即。
6．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，已知，平分，，，有下列结论：①；②；③；④，结论正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【详解】解：如下图，延长至，∵平分，∴，
∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，故结论①正确；
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故结论②正确；
∵，，∴，∴，
∵，∴，故结论③不正确；
∵，，∴，
又∵，∴，故结论④正确．
综上所述，结论正确的有①②④．故选：B．
7．（2024·辽宁·模拟预测）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由题意，得，，
∴，
∵，∴，∴，
．故选：D．
8．（23-24七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（ ）．

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，
则故选D
9．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，
(1)①如图1，点O在一条格线上，当时， °；
②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
(2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
【答案】(1)①40；②，证明见解析；(2)或．
【详解】（1）解：①如图1：标出和，由格线平行，利用平行的性质可得：
∵∴∴故答案为：；

②，证明如下：证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和
由格线平行可得 ∵∴．
（2）解：设与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为，
当射线在的内部，如图：在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和 由格线平行可得，
∵∴即， ∴ 即
当射线在的外部，如图：∵∴
由（1）中②知，∴
综上所述：或．
10．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，点在上，点在上，点在直线之间， 分别连接．
(1)如图1， 求的度数；(2)如图2， 若的角平分线与的角平分线交于点， 求的度数；(3)如图3， 延长至点， 点为内一点， 连接交于点， 求的度数．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：过点作，如图所示：∴，

∵，∴，，
，
，，；
（2）解：∵，∴，
∵平分平分，，，
过点作，如图所示：，
∵，，；
（3）解：过点作交于点，如图所示：
，，设，则，
∵，，
，，，
，，，
，，，，．
11．（2024·陕西渭南·七年级统考期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：作，如图2，∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴；故选：D．

12．（2024·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，，的直角顶点C在直线b上，若，，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过点作，，，在中，，
，，，，，故选C．
13．（2024·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）如图，已知，的顶点、分别落在直线、上，交于点，平分，如果，，求的度数．

解：因为（三角形的三个内角和等于），
又因为，（__________），所以__________．
因为平分（已知），所以__________（角平分线的意义）．
因为（已知），所以__________（两直线平行，同位角相等）．
所以（等量代换）．所以．
因为__________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又因为（已知），所以__________．
【答案】见解析
【详解】解：因为（三角形的三个内角和等于），
又因为，（已知），所以．
因为平分（已知），所以（角平分线的意义）．
因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）．
所以（等量代换）．所以．
因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又因为（已知），所以．
14．（2024·湖南常德·七年级期末）已知直线，点P为直线，所确定的平面内的一点．
问题提出：（1）如图1，，，求的度数；
问题迁移：（2）如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
问题应用：（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数，不用写出计算过程．

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）如图1所示，过点P作，∴，

∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴∴；
（2）结论：；理由如下：如图2，过点P作，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴；
（3）∵，，∴，
∵，∴，设，
∴，∴，
∵平分，∴，∴．
15．（2023上·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，，，，求的度数．

【答案】
【详解】∵，∴，
∵，，∴，∴．
16．（2024上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图直线，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，∵，，∴，

∵，∴，故选：C．
17．（2024下·山东济南·七年级统考期末）在同一平面内，两条直线有平行和相交两种位置关系．

(1)如图所示，，点为直线下方的一点，连接、，线段与直线相交于点，试探究、、之间的数量关系．
小明的解答过程如下
解：，理由如下：
（已知） （ ）
又 （ ）即 ；
在中，（ ）
即 （等量代换）
(2)如图所示，，当点移动到、之间时，中结论是否仍成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并证明．
针对这个问题，小明、小亮、小颖三位同学各自提出了自己的解题思路：
小明：可以连接，利用平行线的性质和三角形内角和和定理解决问题；
小亮：可以延长，交于点 ，同样利用平行线的性质和三角形内角和定理也可解决问题；
小颖：我过点做了一条与平行的直线，也能做出来．
请从上述三种思路中选择一种，完成解答．
(3)如图所示，与相交干点，点为内部一点，连接、，请直接写出、、与间的数量关系．
【答案】(1)两直线平行，内错角相等；等量代换；；三角形的内角和为
(2)（）中结论是不成立，，证明见解析(3)
【详解】（1），理由如下：（已知），（两直线平行，内错角相等），
又，（等量代换），即．
在中，（三角形内角和定理），
即．（等量代换）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换，，三角形内角和定理；
（2）（）中结论是不成立，，证明如下：
选择小明的思路，连接，如图，

，，即，
，；
选择小亮的思路，延长，交于点，如图，
，，，；
选择小颖的思路，过点作，如图，
则，，，
，；
（3），理由如下：延长交于点，如图，

，，．
18．（2024下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知．

(1)如图1，求证：；(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．①如图2，若，且，求的度数；②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ．
【答案】(1)见解析(2)①；②或
【详解】（1）解：如图，过E作，∴，

又∵，∴，∴，
即；
（2）①如图，过F作，交于H点，过点作，则，，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∵，∴，
∵，即，∴，
∵，∴，
∴，即，∴；
②如图，过点F作，则，作，
设，则，∵，∴，
∵∴，，
∵，∴
∴，即
∴，，当K在上，，
同推出的道理可证：
∴，
∵平分，∴，即，∴；
当K在延长线上时，同推出的道理可证：

∴∵∴，
∵平分，∴，即，∴；
综上所述，或．故答案是：或．
19．（2024·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，作，则，

，，，，
，故选D．
20．（2024下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：延长交于F，如图所示：∵，，∴，

∵，∴，∴，故选：C．
21．（2024下·河南郑州·七年级统考期中）如图，如果，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：过点作，，，，，
得，，即．故选：D．
22．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．

【答案】
【详解】解：过点C作，如图：则，∴，，

∵，∴，∴，∴．
23．（2024下·江西抚州·七年级统考期末）【探究感知】如图1，，，，求的度数；请将下面解答过程中的依据填写在括号内：
解：作，（ ① ），
，，
，，
（ ② ），
（ ③ ），
，，．
【类比应用】如图2，，，，则的度数是______；
【拓展延伸】如图3，，，，与的平分线相交于点F，求的度数．

【答案】【探究感知】①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；【类比应用】；【拓展延伸】．
【详解】探究感知解：作，（两直线平行，内错角相等），
，，
，，（平行于同一条直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，，，
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；
类比应用，解：如图，过点C作直线，，，，
，，，，，，
，，故答案为：；

拓展延伸解：如图，过点F作，
，，平分，平分，
，，，，
，，，，．
24．（2023下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践
【课题学习】平行线的“等角转化”功能．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数．
【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．

【答案】（1），；（2）；（3）．
【详解】（1）解：过点A作，∴，，
又∵，∴；故答案为：，；
（2）解：过点E作，如图，∵，∴，∴，，

∴∴；
（3）过E点作，如图，
∵，∴，∵平分，平分，
∴，，设，，
∵，，∴，，
∵，∴，∵，
∴，，
∵．
如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．

解：过点A作，∴______，，
又∵．∴______．