人教版概率课时训练

这是一份人教版概率课时训练，共18页。试卷主要包含了下列命题正确的是，C错；，，游戏规则如下表所示等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022秋·上海浦东新·高二期末）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．
其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】
由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.
【解答过程】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；
对于②：任取x∉A，则x∈B是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，
任取x∉B，则x∉A是必然事件，故④正确；
所以①③④正确，正确的命题有3个．
故选：C．
2．（5分）（2022·全国·高一专题练习）下列命题正确的是
A．用事件A发生的频率fnA估计概率PA，重复试验次数n越大，估计的就越精确.
B．若事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B相互独立.
C．事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小.
D．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大.
【解题思路】根据概率的定义，事件的独立性概念判断各选项．
【解答过程】在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率.当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近. n越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说n越大，估计的精度越精确，A错；
事件A与事件B相互独立，即A是否发生与B是否发生无关，∴事件A是否发生与事件B是否发生也无关，它们相互独立，B正确；
抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件A，出现的点为不小于2记为事件B，则事件A与事件B同时发生是指点数为2，3，4，5，概率为46=23，而事件A与B中恰有一个发生是指点为1或6，概率为26=13932，
由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D错误，C正确，
故选∶C．
8．（5分）（2022春·河北邢台·高一阶段练习）小赵同学准备了四个游戏，四个游戏中的不透明的盒子中均装有3个白球和2个红球（小球除颜色外都相同），游戏规则如下表所示：
若你和小赵同学玩这四个游戏中的一个，你想获胜，则应该选（ ）
A．游戏1B．游戏2C．游戏3D．游戏4
【解题思路】分别求出游戏1、游戏2、游戏3、游戏4试验的样本空间，设事件A=“取到白球”， 事件B=“取到的两个球同色”， 事件C=“取到的两个球同色” ，事件D=“取到的两个球同色”，求出事件A、B、C、D包含的样本个数，由古典概型的概率公式代入即可得出答案.
【解答过程】设3个白球分别为a，b，c，2个红球分别为1，2.
游戏1：这个试验的样本空间可记为Ω=a,b,c,1,2，共包含5个样本点.设事件A=“取到白球”，则A=a,b,c，包含3个样本点，所以PA=35.
游戏2：这个试验的样本空间可记为Ω=a,b,a,c,a,1,a,2,b,c,b,1,b,2,c,1,c,2,1,2，共包含10个样本点.设事件B=“取到的两个球同色”，则B=a,b,a,c,b,c,1,2，包含4个样本点.所以PB=25.
游戏3：这个试验的样本空间可记为
Ω=a,b,a,c,a,1,a,2,b,a,b,c,b,1,b,2,c,a,c,b,
c,1,c,2,1,a,1,b,1,c,1,2,2,a,2,b,2,c,2,1，
共包含20个样本点.设事件C=“取到的两个球同色”，则C=a,b,b,a,a,c,c,a,b,c,c,b,1,2,2,1，包含8个样本点，所以PC=25.
游戏4：这个试验的样本空间可记为
Ω=a,a,a,b,a,c,a,1,a,2,b,a,b,b,b,c,b,1,b,2,c,a,c,b,c,c,
c,1,c,2,1,a,1,b,1,c,1,1,1,2,2,a,2,b,2,c,2,1,2,2，
共包含25个样本点.设事件D=“取到的两个球同色”，则
D=a,a,a,b,a,c,b,c,b,b,b,a,c,c,
c,a,c,b,1,1,1,2,2,1,2,2，
包含13个样本点，所以PD=1325.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春·黑龙江哈尔滨·高一阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件
B．若A，B为两个事件，则PA+B=PA+PB
C．若事件A，B，C两两互斥，则PA+PB+PC=1
D．若事件A，B满足PA+PB=1，则A与B相互对立
【解题思路】A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. PA+B=PA+PB-P(A∩B),所以该选项错误；
C. 举反例说明PA+PB+PC=1不一定成立，所以该选项错误；
D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.
【解答过程】解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. 若A，B为两个事件，则PA+B=PA+PB-P(A∩B),所以该选项错误；
C. 若事件A，B，C两两互斥，则PA+PB+PC=1不一定成立，如：掷骰子一次，记A=向上的点数为1，B=向上的点数为2，C=向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则PA+PB+PC=16+16+16=12.所以该选项错误；
D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是12，掷一枚硬币，正面向上的概率是12，满足PA+PB=1，但是A与B不对立，所以该选项错误.
故选：BCD.
10．（5分）（2022·高一单元测试）连掷一枚均匀的骰子两次，向上的点数分别为m，n，记t=m+n，则下列说法错误的是（ ）
A．事件“t=12”的概率为121B．事件“t是奇数”与“m=n”互为对立事件
C．事件“t=2”与“t≠3”为互斥事件D．事件“t>8且mn8且mn8且mn8且mna2)=512D．事件a2=1与A=0对立
【解题思路】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.
【解答过程】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为a1a2）：
11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66,
共36种，
若a1+a2=5，此时取1,4或2,3
所以P(a1+a2=5)=436=19，故A错误；
若a1=6，则A=a1a2≥1恒成立，
所以与A=0互斥，故B正确；
P(a1>a2)=5+4+3+2+16×6=512，故C正确；
当a1=3,a2=2时，A=a1a2=1，此时事件a2=1与A=0均为发生，
所以事件a2=1与A=0不对立，故D错误.
故选：BC.
12．（5分）（2023·全国·高三专题练习）4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是12．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）
A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件B．有可能出现恰有三支球队并列第一名
C．恰有两支球队并列第一名的概率为14D．只有一支球队名列第一名的概率为12
【解题思路】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C42=6场比赛，比赛的所有结果共有26=64种；
选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；
选项B，举特例说明即可；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有C42=6种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；
选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.
【解答过程】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有C42=6场比赛，比赛的所有结果共有26=64种；
选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；
选项B，其中a,b,b,c,c,d,d,a,a,c,d,b6场比赛中，依次获胜的可以是a,b,c,a,c,b，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；
选项C，在a,b,b,c,c,d,d,a,a,c,d,b6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有C42=6种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为6×464=38，错误；
选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有23=8种，故只有一支球队名列第一名的概率为864×4=12，正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·全国·高一专题练习）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 12 ．
【解题思路】根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解.
【解答过程】解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.
它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，
因此所求的概率为1020=0.5.
故答案为：12.
14．（5分）（2022春·黑龙江哈尔滨·高一期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8=3+5，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 35 （用分数表示）．
【解题思路】先把不超过11的素数列举出来，再利用列举法与古典概型的概率求法求解即可.
【解答过程】因为不超过11的素数有2,3,5,7,11五个数，
从中选取两个不同的数的基本事件有2,3,2,5,2,7,2,11,3,5,3,7,3,11,5,7,5,11,7,11共10件；
其中和为偶数的基本事件有3,5,3,7,3,11,5,7,5,11,7,11共6件；
所以和为偶数的概率为610=35.
故答案为：35.
15．（5分）（2022秋·上海徐汇·高二期末）甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 512 .
【解题思路】两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.
【解答过程】解：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得
PA1=2×34×14=38,PA2=342=916，
PB1=2×23×13=49,PB2=232=49，
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,
所以PA=PA1B2+PA2B1 =PA1PB2+PA2PB1 =38×49+916×49=512，
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512.
故答案为：512.
16．（5分）（2022·高一课时练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A=“取出的两球同色”，B=“取出的2球中至少有一个黄球”，C=“取出的2球至少有一个白球”，D=“取出的两球不同色”，E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 ①④ .
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件：④PC∪E=1；⑤PB=PC.
【解题思路】在①中，由对立事件定义得A与D为对立事件；有②中，B与C有可能同时发生；在③中，C与E有可能同时发生；在④中，P(CUE)=P（C）+P（E）-P(CE)=1；在⑤中C≠B，从而P（B）≠P（C）．
【解答过程】∵口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，
事件A= “取出的两球同色”， B= “取出的2球中至少有一个黄球”，
C= “取出的2球至少有一个白球”， D= “取出的两球不同色”， E= “取出的2球中至多有一个白球”，
①，由对立事件定义得A与D为对立事件，故①正确；
②，B与C有可能同时发生，故B与C不是互斥事件，故②错误；
③，C与E有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；
④，P（C）=1-615=35，P（E）=1415，P(CE)=815，
从而P(C∪E)=P（C）+P（E）-P(CE)=1，故④正确；
⑤，C≠B，从而P（B）≠P（C），故⑤错误．
故答案为：①④．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·高一课时练习）同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到的数为x，转盘（2）得到的数为y，结果为x,y．
(1)写出这个试验的样本空间．
(2)求这个试验的基本事件个数．
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个基本事件？“x1”呢？
(4)用集合A表示事件：xy=4；用集合B表示事件：x=y．
【解题思路】（1）根据给定条件按两个转盘中的数字依顺序不重不漏地写各对数即可得试验的样本空间；
（2）利用（1）即可求出样本空间中的基本事件总数；
（3）借助（1）的样本空间即可写出事件“x+y=5”、“ x1”的样本点，从而确定基本事件；
（4）借助（1）的样本空间即可写出事件xy=4”、“ x=y”的样本点得集合A，B．
【解答过程】（1）
解：这个试验的样本空间为：
Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
（2）
解：由（1）可知，这个试验的样本点的总数为16．
（3）
解：“x+y=5”包含的样本点为1,4，2,3，3,2，4,1．
“x1”包含的样本点为1,2，1,3，1,4，2,2，2,3，2,4．
（4）
解：A=1,4,2,2,4,1．B=1,1,2,2,3,3,4,4．
18．（12分）（2022·全国·高二期末）新冠疫情防控期间，为保证抗疫物资的质量，我国加大了质量检测的力度.某市今年新增了两家专门生产测温枪的工厂.质检部门现从这两家工厂各随机抽取了100把测温枪，检测其某项质量指标，得到甲、乙两厂所生产的测温枪的该项质量指标值的频数分布表，如下表所示：
已知每把测温枪的等级与该项质量指标值间的关系如下表所示：
（1）试利用样本估算总体的思想分别估计甲、乙两厂生产出来的一把测温枪为特级测温枪的概率；
（2）若生产一把二级测温枪、一级测温枪、特级测温枪分别可获得纯利润10元、20元、30元，且不考虑其他因素，试从平均数的角度分析哪家工厂生产测温枪的利润更高.
【解题思路】（1）分别计算频率，用频率估计概率；
（2）分别计算甲与乙的平均数，再进行比较.
【解答过程】（1）由表格可得，甲厂生产出来的一把测温枪为特级测温枪的频数为32.
故频率为32100=0.32，
乙厂生产出来的一把测温枪为特级测温枪的频数为30，
故频率为30100=0.3.
由此估计：甲厂生产出来的一把测温枪为特级测温枪的概率为0.32，乙厂生产出来的一把测温枪为特级测温枪的概率为0.30.
（2）甲厂生产一把测温枪的平均利润为y1=1100×8+24×10+36×20+32×30=20（元），
乙厂生产一把测温枪的平均利润为y2=1100×6+26×10+38×20+30×30=19.8（元），
所以y1>y2，
所以甲厂生产的测温枪的利润更高.
19．（12分）（2022·高一课时练习）如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
【解题思路】运用古典概型的概率计算公式，列出表格，得到事件总数和和为6的事件个数，即可得到结果.
【解答过程】列表如下：
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P(和为6)=312=14，所以甲、乙获胜的概率不相等．
所以这样的游戏规则不公平．
如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的.
20．（12分）（2023春·辽宁沈阳·高一开学考试）为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”.为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在50,60，90,100的数据），如下图所示.
(1)求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
(2)试估测本次竞赛学生成绩的平均数、中位数；
(3)在70,80，80,90内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在70,80的概率.
【解题思路】（1）利用50,60的频数8及频率0.16可得出样本容量，进而求出x，y的值；（2）中点值以及占比计算出平均值，面积法得到中位数；（3）使用列举法得出2人成绩都在70,80的概率.
【解答过程】（1）由题意可知，样本容量n=80.016×10=50，y=250×10=0.004，
x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030.
（2）x=55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6；
设中位数为m，则(m-70)×0.04=0.5-0.16-0.3，所以m=71.
（3）在[70,80)，[80,90)成绩分组的学生分别为20人，5人，
现要按分层抽样抽取5人，则在[70,80)，[80,90)成绩分组中各抽取4人，1人；
记成绩在[70,80)的学生为A，B，C，D，成绩在[80,90)的学生为E.
则从这5人中抽取2人有A,B，A,C，A,D，A,E，B,C，B,D，B,E，C,D，C,E，D,E共10种情况.
2人成绩都在[70,80)的有A,B，A,C，A,D，B,C，B,D，C,D共6种情况.
所以从这5名学生中随机抽取2人，2人成绩都在[70,80)的概率P=35.
21．（12分）（2022秋·福建莆田·高二期中）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.
（Ⅰ）求甲获得冠军的概率；
（Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
【解题思路】（Ⅰ）甲获得冠军，有三种途径，第一种连胜三场，第二种先胜一场，然后输一场胜两场，第三种先输一场，再连赢三场，求三种情况的概率之和即可.
（Ⅱ）如果甲进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇，有三种可能，甲乙、乙丙、乙丁，求三种情况的概率之和即可.
【解答过程】（Ⅰ）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜.
所以甲获得冠军的概率为343+2×343×14=81128.
（Ⅱ）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；
甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜.
所以甲与乙在决赛相遇的概率为34×34×12×12+14×34×34×12=27128.
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：
乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；
乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜.
同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为
14×12×12×34×14+14×12+14×12×12×34×14+14×12=5128.
丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为
27128+5128+5128=37128.
22．（12分）（2022·全国·高三专题练习）设n是给定的正整数（n>2），现有n个外表相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第kk=1,2,3,⋯,n个袋中有k个红球，n-k个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若n=4，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若n=4，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数nn>2，求第三次取出为白球的概率．
【解题思路】（1）n=4时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率．
（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第k个袋子的概率为14，由此能求出第三次取出的是白球的概率．
（3）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第k个袋子的概率为1n，由此能求出第三次取出的是白球的概率．
【解答过程】解：（1）n=4时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
∴第三次取出为白球的概率P=24×13×22+24×23×12+24×23×12=12．
（2）设选出的是第kk=1,2,3,4个袋，连续三次取球的方法数为4×3×2=24，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为4-k3-k2-k，
（白，红，白），取法数为k4-k3-k，
（红，白，白），取法数为k4-k3-k，
（红，红，白），取法数为kk-14-k，
从而第三次取出的是白球的种数为：
4-k3-k2-k+k4-k3-k+kn-k3-k+kk-14-k=3×2n-k，
则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率pk=4-k4，
而选到第k个袋子的概率为14，故所求概率为：
p=k=14pk⋅14=k=14⋅4-k4⋅14=116k=144-k=116i=03i=38．
（3）设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为nn-1n-2，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为n-kn-k-1n-k-2，
（白，红，白），取法数为kn-kn-k-1，
（红，白，白），取法数为kn-kn-k-1，
（红，红，白），取法数为kk-1n-k，
从而第三次取出的是白球的种数为：
n-kn-k-1n-k-2+kn-kn-k-1+kn-kn-k-1+kk-1n-k
=n-1n-2n-k，
则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率pk=n-kn，
而选到第k个袋子的概率为1n，故所求概率为：
p=k=1npk⋅1n=k=1nn-kn⋅1n=1n2k=1nn-k=1n2i=0n-1i=n-12n．游戏1
游戏2
游戏3
游戏4
取球规则
一次性取一个，取一次
一次性取两个，取一次
一次性取一个，不放回地取两次
一次性取一个，有放回地取两次
获胜规则
取到红球→小赵胜
取到白球→小赵败
两个球不同色→小赵胜
两个球同色→小赵败
两个球不同色→小赵胜
两个球同色→小赵败
两个球不同色→小赵胜
两个球同色→小赵败
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
质量指标值
70,80
80,90
90,100
100,110
110,120
甲厂测温枪的频数
8
24
36
24
8
乙厂测温枪的频数
6
26
38
22
8
质量指标值
70,90
90,100
100,120
等级
二级
一级
特级