高考数学第二轮复习专题练习专题8.3 一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题8.3 一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲）（教师版），共21页。试卷主要包含了一元线性回归模型，线性经验回归方程与最小二乘法，残差分析，刻画回归效果的方式等内容，欢迎下载使用。

1．一元线性回归模型
把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称
为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.
2．线性经验回归方程与最小二乘法
设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+
(i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.
通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线
y=bx+a的“整体接近程度”.
当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方
程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二
乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.
经验回归直线一定过点(,).
3．残差分析
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减
去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
4．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称
为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.
(2)残差平方和法
残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.
(3)利用刻画拟合效果
=.
越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差.
(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用
相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：
（其中，，，和，，，的均值分别为和）.
①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；
当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.
②当r0，
所以变量x与y正相关，
又变量y与z负相关，
所以x与z负相关，
故选：B.
【变式1-3】（2022春·陕西渭南·高一期末）根据如下样本数据：
得到线性回归方程为y=bx+a，则（ ）
A．a>0,b>0B．a>0,bR12，根据R2的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模型②；
（2）y与t可用线性回归来拟合，有y=dt+c，求出系数d,c，得到回归方程y=100t+2，即可得到成本费y与同批次产品生产数量x的回归方程为y=100x+2，代入x=25，即可求出结果.
【解答过程】（1）应该选择模型②.
由题意可知，R22>R12，则模型②中样本数据的残差平方和i=1nyi-y2比模型①中样本数据的残差平方和小，即模型②拟合效果好.
（2）由已知t=1x，成本费y与t可用线性回归来拟合，有y=dt+c.
由已知可得，d^=i=120(yi-y)(ti-t)i=120(ti-t)2=40.04=100，
所以c=y-dt=10-100×0.08=2，
则y关于t的线性回归方程为y=100t+2.
成本费y与同批次产品生产数量x的回归方程为y=100x+2，
当x=25（吨）时，y=10025+2=6（万元/吨）.
所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.X
3
4
5
6
7
Y
4.0
m-5.4
-0.5
0.5
n-0.6
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
0.5
0.5
0.4
0.1
第x天
1
2
3
4
5
6
7
高度y/cm
1
4
6
9
11
12
13
月份代号x
1
2
3
4
5
6
7
在线外卖规模y（百万元）
11
13
18
★
28
★
35
x
5.5
6.5
7
7.5
8.5
y
9
8
6
4
3
x
4
m
8
10
12
y
1
2
3
5
6
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.6
1
1.4
1.5
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
广告费用x（万元）
3
4
5
6
销售额y（万元）
25
30
40
45
周数（x）
1
2
3
4
5
治愈人数（y）
5
15
35
？
140
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x（千万元）
3
5
6
7
9
利润额y（千万元）
2
3
3
4
5
年份
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码x
1
2
3
4
5
6
手机总体出货量y/万部
5.6
4.9
4.1
3.9
3.2
3.5
销售网点数x（单位：个）
17
19
20
21
23
售卖出的产品件数y（单位：万件）
21
22
25
27
30
月份
1
2
3
4
5
售价x（元/件）
60
56
58
57
54
月销售量y（千件）
5
9
7
10
9
天数x
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
3
6
13
25
45
100
x
y
z
i=16xi-x2
i=16xi-xyi-y
i=16xi-xzi-z
3.50
32
2.85
17.5
307
12.12
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
6
紫皮石斛产量y（吨）
3200
3400
3600
4200
7500
9000
x
y
u
i=16xi-x2
i=16xi-xyi-y
i=16xi-xui-u
3.5
5150
8.46
17.5
20950
3.85
年份代码x
1
2
3
4
5
车载音乐市场规模y
2.8
3.9
7.3
12.0
17.0
v
i=15xivi
e0.524
e0.472
1.94
33.82
1.7
1.6
x
y
t
i=120xi-x2
i=120ti-t2
i=120yi-yxi-x
i=120yi-yti-t
14.5
10
0.08
665
0.04
-450
4