高考数学第二轮复习专题练习专题8.5 列联表与独立性检验（重难点题型精讲）（学生版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题8.5 列联表与独立性检验（重难点题型精讲）（学生版），共14页。试卷主要包含了分类变量，2×2列联表，等高堆积条形图，独立性检验等内容，欢迎下载使用。

1．分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为
分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2．2×2列联表
假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{,}和{,}，其2×2列联表为
2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
3．等高堆积条形图
常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响.
(1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，
观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类
变量之间有关系.
(2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道
两个分类变量有关系的概率大小.
4．独立性检验
(1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示.
则.
(2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简
称独立性检验.
(3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
【题型1 列联表的应用】
【方法点拨】
利用列联表直接计算和，如果两者相差很大，就判断两个分类变量之间有关系的可能性较大.
【例1】（2023·全国·高二专题练习）假设有两个分类变量x与y的2×2列联表如下表：
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．a=5，b=4，c=3，d=2B．a=5，b=3，c=4，d=2
C．a=2，b=3，c=4，d=5D．a=2，b=3，c=5，d=4
【变式1-1】（2022春·福建厦门·高二阶段练习）在一次独立性检验中，得出列联表如图：且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是（ ）
A．200B．720C．100D．180
单元测试）假设两个分类变量X和Y，他们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}，其样本频数列联表如下：
对于以下数据，对同一样本说明X与Y有关的可能性最大的一组是（ ）
A．a=10，b=5，c=8，d=6B．a=9，b=5，c=7，d=8
C．a=12，b=6，c=9，d=5D．a=12，b=8，c=6，d=7
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表如下：
注：K2的观测值k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=n(aa+c-bb+d)(aa+b-cc+d).对于同一样本，以下数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是（ ）
A．a=45,c=15B．a=40,c=20C．a=35,c=25D．a=30,c=30
【题型2 等高堆积条形图的应用】
【方法点拨】
可以从等高堆积条形图中直观判断列联表数据的频率特征，这种直观判断的不足之处在于不能直接给出推
断“两个分类变量有关系”犯错误的概率.
【例2】（2022春·吉林·高二阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（ ）
A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关
B．是否倾向选择生育二胎与性别有关
C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
【变式2-1】（2022春·全国·高二期末）观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量χ2的观测值最小的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2023·高二课时练习）为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
【题型3 独立性检验的应用】
【方法点拨】
可以利用独立性检验来推断两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体做法：
(1)根据实际问题需要的可信程度(或容许犯错误概率的上界)确定临界值；
(2)利用公式，由观测数据计算得到的值；
(3)对照临界值表，即可得出结论.
【例3】（2023·江西上饶·统考一模）新型冠状病毒感染，主要是由新型冠状病毒引起的，典型症状包括干咳、发热、四肢无力等，部分人群会伴有流鼻涕、拉肚子等症状.病人痊愈的时间个体差异也是比较大的，新型冠状病毒一般2－6周左右能恢复.某兴趣小组为进一步了解新型冠状病毒恢复所需时间，随机抽取了200名已痊愈的新型冠状病毒患者（其中有男性100名，女性100名）进行调查，得到数据如下表所示：
若新型冠状病毒患者在3周内（含3周）痊愈，则称患者“痊愈快”，否则称患者“痊愈慢”.
(1)分别估计男、女新型冠状病毒患者“痊愈快”的概率？
(2)完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为患者性别与痊愈快慢有关？
附：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d.
【变式3-1】（2023春·河南安阳·高三阶段练习）2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（以下简称“双减”），各省、市精心组织实施，强化目标管理，治理校外培训行为.为了调查人们对“双减”的满意程度，抽取了男、女各25人对“双减”的满意度进行调查，统计数据如表所示.
(1)根据上表，如果随机抽查1人，那么抽到此人对“双减”满意的概率是多少？抽到此人对“双减”非常满意且是女性的概率是多少？
(2)能否有99.9%的把握认为性别和满意度有关？
附：K2=n(ad-bc)2(a+d)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
【变式3-2】（2023·内蒙古·模拟预测）国际足联世界杯（FIFA Wrld Cup），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.2022年卡塔尔世界杯共有32支球队参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：
(1)求a的值，并完成上述列联表；
(2)若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.
参考公式：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
【变式3-3】（2023春·湖南·高三阶段练习）人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由nval AⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的25．
(1)根据以上数据完成如下2×2列联表：
(2)依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因．
参考公式：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
【题型4 独立性检验与统计知识的综合应用】
【方法点拨】
独立性检验与统计知识结合在一起考查是一个很好的结合点，解题的关键是正确从图表中得到相关数据.
【例4】（2023·全国·模拟预测）某省级综合医院共有1000名医护员工参加防疫知识和技能竞赛，其中男性450人，为了解该医院医护员工在防疫知识和技能竞赛中的情况，现按性别采用分层抽样的方法从中抽取100名医护员工的成绩（单位：分）作为样本进行统计，成绩均分布在400~700分之间，根据统计结果绘制的医护员工成绩的频率分布直方图如图所示，将成绩不低于600分的医护员工称为优秀防疫员工
(1)求a的值，并估计该医院医护员工成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若样本中优秀防疫员工有女性10人，完成下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为该医院医护员工的性别与是否为优秀防疫员工有关联？
(3)采用分层抽样的方法从样本中成绩在450,500，600,700的医护员工中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名医护员工中优秀防疫员工的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
附：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
【变式4-1】（2023·高二单元测试）相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图．
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有56是“年轻人”．
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下方2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？
附：
K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d
(2)将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【变式4-2】（2023春·河南安阳·高三阶段练习）某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略，统计了过去100天该产品的日销售收入（单位：万元）并分成六组制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值并估计过去100天该产品的日销售收入的平均值x；（同一区间数据以中点值作代表）
(2)该超市过去100天中有30天将该商品降价销售，在该商品降价的30天中有18天该产品的日销售收入不低于0.6万元，判断能否有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关.
附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
【变式4-3】（2023秋·浙江嘉兴·高三期末）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲､乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工的成绩进行统计后，得到了如图所示的成绩频率分布直方图.
(1)估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；
(2)若将频率视为概率，以样本估计总体.从甲车间职工中，采用有放回的随机抽样方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的结果相互独立，记被抽取的3人次中成绩合格的人数为X.求随机变量X的分布列；
(3)若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为60%，请根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与其所在车间有关?
2×2列联表
附参考公式：①χ2=n(ad-bc)2a+cb+da+bc+d，其中n=a+b+c+d.
②独立性检验临界值表
y1
y2
x1
a
b
x2
c
d
A
A
合计
B
200
800
1000
B
180
a
180+a
合计
380
800+a
1180+a
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
痊愈周数
性别
1周
2周
3周
4周
5周
6周
大于6周
男性
4
50
24
12
6
2
2
女性
2
40
22
16
10
6
4
痊愈快慢
性别
痊愈快
痊愈慢
总计
男性
女性
总计
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意
非常满意
合计
男性
18
7
25
女性
6
19
25
合计
24
26
50
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
少于32场比赛
不少于32场比赛
总计
男球迷
a+20
a+20
女球迷
a+40
a
总计
PK2≥k0
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
年龄
理解情况
总计
会取代
不会取代
30岁以下
12
30岁及以上
总计
42
60
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀防疫员工
非优秀防疫员工
合计
男
女
合计
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
健身爱好者
合计
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
PK2≥k0
0.050
0.025
0.010
k0
3.841
5.024
6.635
甲车间
乙车间
合计
合格人数
不合格人数
合计
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828