高考数学第二轮复习专题练习专题8.5 列联表与独立性检验（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题8.5 列联表与独立性检验（重难点题型精讲）（教师版），共20页。试卷主要包含了分类变量，2×2列联表，等高堆积条形图，独立性检验等内容，欢迎下载使用。

1．分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为
分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2．2×2列联表
假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{,}和{,}，其2×2列联表为
2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
3．等高堆积条形图
常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响.
(1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，
观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就判定两个分类
变量之间有关系.
(2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道
两个分类变量有关系的概率大小.
4．独立性检验
(1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示.
则.
(2)利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简
称独立性检验.
(3)独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
【题型1 列联表的应用】
【方法点拨】
利用列联表直接计算和，如果两者相差很大，就判断两个分类变量之间有关系的可能性较大.
【例1】（2023·全国·高二专题练习）假设有两个分类变量x与y的2×2列联表如下表：
对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．a=5，b=4，c=3，d=2B．a=5，b=3，c=4，d=2
C．a=2，b=3，c=4，d=5D．a=2，b=3，c=5，d=4
【解题思路】计算每个选项中的ad-bc，比较大小后可得出结论.
【解答过程】对于两个分类变量x与y而言，ad-bc的值越大，说明x与y有关系的可能性最大，
对于A选项，ad-bc=5×2-4×3=2，
对于B选项，ad-bc=5×2-3×4=2，
对于C选项，ad-bc=2×5-3×4=2，
对于D选项，ad-bc=2×4-3×5=7，
显然D中ad-bc最大，
故选：D.
【变式1-1】（2022春·福建厦门·高二阶段练习）在一次独立性检验中，得出列联表如图：且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是（ ）
A．200B．720C．100D．180
【解题思路】把列联表中所给的数据代入求观测值的公式，建立不等式，代入验证可知a的可能值.
【解答过程】解：因为两个分类变量A和B没有任何关系，
所以K2=(1180+a)(200a-800⋅180)2380⋅(800+a)⋅1000⋅(180+a)3.841
故有95%的把握认为患者性别与痊愈快慢有关.
【变式3-1】（2023春·河南安阳·高三阶段练习）2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（以下简称“双减”），各省、市精心组织实施，强化目标管理，治理校外培训行为.为了调查人们对“双减”的满意程度，抽取了男、女各25人对“双减”的满意度进行调查，统计数据如表所示.
(1)根据上表，如果随机抽查1人，那么抽到此人对“双减”满意的概率是多少？抽到此人对“双减”非常满意且是女性的概率是多少？
(2)能否有99.9%的把握认为性别和满意度有关？
附：K2=n(ad-bc)2(a+d)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
【解题思路】（1）根据古典概型的概率公式即可求得答案；
（2）计算K2的值，与临界值表进行比较，可得结论.
【解答过程】（1）随机抽查1人，抽到满意的概率是18+650=1225；
抽到非常满意且是女性的概率是1950；
（2）根据2×2列联表，可得K2=50×(18×19-6×7)224×26×25×25=15013≈11.538>10.828，
∴有99.9%的把握认为性别和满意度有关.
【变式3-2】（2023·内蒙古·模拟预测）国际足联世界杯（FIFA Wrld Cup），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.2022年卡塔尔世界杯共有32支球队参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：
(1)求a的值，并完成上述列联表；
(2)若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.
参考公式：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
【解题思路】（1）根据球迷总人数可构造方程求得a的值，进而补全列联表；
（2）由列联表数据可计算得到K2≈4.040>3.841，对比临界值表可得结论.
【解答过程】（1）由题意得：a+20+a+20+a+40+a=200+200，解得：a=80；
补全列联表如下：
（2）由（1）得：K2=400100×80-100×1202200×200×220×180=40099≈4.040>3.841，
∴有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.
【变式3-3】（2023春·湖南·高三阶段练习）人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由nval AⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的25．
(1)根据以上数据完成如下2×2列联表：
(2)依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因．
参考公式：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
【解题思路】（1）根据题设中的数据即可求解；
（2）代入卡方公式求出值与表对比即可求解.
【解答过程】（1）完成2×2列联表如下：
（2）设H0为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关，
由题意，χ2=60×24×12-18×6242×18×30×30≈2.857