2025高考数学一轮复习-8.2-一元线性回归模型及其应用【课件】
展开称 为Y关于x的一元线性回归模型.其中Y称为_______或 ,x称为 或 , 称为截距参数, 称为斜率参数;e是 与 之间的随机误差,如果e= ,那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述.
知识点一 一元线性回归模型
思考1 经验回归方程一定过成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的某一点吗?答案 不一定.思考2 点( )在经验回归直线上吗?答案 在.
知识点三 残差与残差分析
1.残差对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为 ,通过经验回归方程得到的 称为 , 减去 称为残差.2.残差分析 是随机误差的估计结果,通过对 的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.
知识点四 对模型刻画数据效果的分析
1.残差图法在残差图中,如果残差比较均匀地集中在以 ,则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系.2.残差平方和法残差平方和 越小,模型的拟合效果越好.
横轴为对称轴的水平带状
思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗?答案 不一定,他只是真实值的一个预测估计值.
1.求经验回归方程前可以不进行相关性检验.( )2.在残差图中,纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号.( )3.利用经验回归方程求出的值是准确值.( )4.残差平方和越小,线性回归模型的拟合效果越好.( )5.R2越小,线性回归模型的拟合效果越好.( )
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
例1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程 ;
(3)试根据求出的经验回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力.
即预测记忆力为9的同学的判断力为4.
跟踪训练1 随着我国经济的发展,居民储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
(2)用所求经验回归方程预测该地区2021年(t=7)的人民币储蓄存款.
所以预测该地区2021年的人民币储蓄存款为12千亿元.
例2 已知某种商品的价格x(单位:元)与需求量y(单位:件)之间的关系有如下一组数据:
求y关于x的经验回归方程,并借助残差平方和和R2说明回归模型拟合效果的好坏.
所以回归模型的拟合效果很好.
跟踪训练2 为研究重量x(单位:克)对弹簧长度y(单位:厘米)的影响,对不同重量的6个物体进行测量,数据如下表所示:
(1)作出散点图并求经验回归方程;
解 由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大,需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误,如果有,则需要纠正数据,重新建立回归模型;由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中,说明选用的线性回归模型的精度较高,由以上分析可知,弹簧长度与重量成线性关系.
例3 下表为收集到的一组数据:
(1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系;
解 作出散点图如图,从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系,根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数型曲线y=c1 的周围,其中c1,c2为待定的参数.
(2)建立x与y的关系,预报回归模型并计算残差;
解 对两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则有变换后的样本点应分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周围,这样就可以利用经验回归模型来建立y与x之间的非线性经验回归方程了,数据可以转化为
(3)利用所得模型,预测x=40时y的值.
跟踪训练3 为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y,收集数据如下:
求y关于x的非线性经验回归方程.
解 作出散点图如图(1)所示.
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y=cebx的周围,则ln y=bx+ln c.令z=ln y,a=ln c,则z=bx+a.
相应的散点图如图(2)所示.
从图(2)可以看出,变换后的样本点分布在一条直线附近,因此可以用经验回归方程来拟合.
1.(多选)以下四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是
解析 AC中的点分布在一条直线附近,适合线性回归模型.
2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时,分别选择了4种不同模型,计算可得它们的决定系数R2分别如下表:哪位同学建立的回归模型拟合效果最好A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析 决定系数R2越大,表示回归模型的拟合效果越好.
3.已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的经验回归方程为y=0.577x-0.448,如果某人36岁,那么这个人的脂肪含量A.一定是20.3%B.在20.3%附近的可能性比较大C.无任何参考数据D.以上解释都无道理
解析 将x=36代入经验回归方程得y=0.577×36-0.448≈20.3,故这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大,故选B.
1.如果两个变量之间的线性相关程度很高,则其R2的值应接近于A.0.5 B.2 C.0 D.1
解析 R2越接近于1,相关程度越高,故选D.
2.对变量x,y进行回归分析时,依据得到的4个不同的回归模型画出残差图,则下列模型拟合精度最高的是
解析 用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适,带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高.
3.工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的经验回归方程为 =50+80x,下列判断正确的是A.劳动生产率为1 000元时,工人工资为130元B.劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高80元C.劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高130元D.当月工资为250元时,劳动生产率为2 000元
解析 因为经验回归方程的斜率为80,所以x每增加1,y平均增加80,即劳动生产率提高1 000元时,工人工资平均提高80元.
4.两个变量的散点图如图,可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是A.y=a·xb B.y=a+bln xC.y=a·ebx D.y=a·
解析 由散点图可知,此曲线类似对数函数型曲线,因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合.
解析 经验回归方程是一个模拟函数,它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律,所以有些散点不一定在经验回归直线上.
7.若经验回归直线方程中的回归系数 =0,则样本相关系数r=____.
8.某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温,其数据如表: (1)表中数据m=____;
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃,据此估计,该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为____件.
故三月中旬的销售量约为14件.
9.已知变量x,y有如下对应数据: (1)作出散点图;
(2)用最小二乘法求关于x,y的经验回归方程.
(2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关;②当使用年限为8年时,试估计支出的维修费是多少?
解 由(1)知,当x=8时, =1.2×8+0.2=9.8,即使用年限为8年时,支出的维修费约是9.8万元.
12.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.据某机构预测,n(n≥10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系,且经验回归方程为 =0.4x+1.2,若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元,则该城市职工的月恩格尔系数约为A.60% B.64% C.58% D.55%
13.(多选)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的经验回归方程为 =0.85x-85.71,则下列结论中正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.经验回归方程过样本点的中心( )C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可判定其体重必为58.79 kg
解析 A,B,C均正确,是经验回归方程的性质,D项是错误的,经验回归方程只能预测学生的体重,应为大约58.79 kg.
14.某数学老师身高176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm,182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____ cm.
解析 因为儿子的身高与父亲的身高有关,所以设儿子的身高为Y(单位:cm),父亲身高为X(单位:cm),根据数据列表:
于是儿子身高与父亲身高的关系式为Y=X+3,当X=182时,Y=185.故预测该老师的孙子的身高为185 cm.
若x=5,则预测y的值可能为A.e5 B. C.e7 D.
列出x,z的取值对应的表格如下:
16.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
解 设工厂获得的利润为L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1 000=-20(x-8.25)2+361.25.故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.
2025高考数学一轮复习-8.2.1-一元线性回归模型【课件】: 这是一份2025高考数学一轮复习-8.2.1-一元线性回归模型【课件】,共15页。
新高考数学一轮复习课件 第9章 §9.3 一元线性回归模型及其应用(含详解): 这是一份新高考数学一轮复习课件 第9章 §9.3 一元线性回归模型及其应用(含详解),共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识,有关系,正相关,负相关,一条直线,样本相关系数,一元线性回归模型,预测值,探究核心题型,如图所示等内容,欢迎下载使用。
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