（人教A版）高二数学下学期期中复习考点题型讲练 专题02排列与组合（2份，原卷版+解析版）

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倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.排列
知识点2.组合
拓展1.有限制条件的排列问题
拓展2.有限制条件的组合问题
拓展3.排列与组合的综合问题
突破1.分组与分配问题
突破2.排列组合中的新概念创新题型
【方法二】 实例探索法
题型1.排列数公式的应用
题型2.排列的概念与简单的排列问题
题型3.特殊元素与特殊位置问题
题型4“相邻”与“不相邻”问题
题型5.“定序”问题
题型6.组合概念的理解与简单组合问题
题型7.与组合数有关的计算
题型8.“含”与“不含”问题
题型9.相同元素分组分配问题
题型10.排列组合的综合应用
【方法三】差异对比法
易错点1.不能正确理解题意致误
易错点2.忽视排列数公式的隐含条件致误
【方法四】 成果评定法
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.排列
一、 排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
二、 排列相同的条件
两个排列相同的充要条件：
(1)两个排列的元素完全相同．
(2)元素的排列顺序也相同．
三、 排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
思考 排列与排列数相同吗？
答案 排列数是元素排列的个数，两者显然不同．
二、 排列数公式及全排列
1．排列数公式的两种形式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！).
2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为Aeq \\al(n,n)＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
例 1．（2023上·高二课时练习）从1、2、3、4、5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？
【答案】
【分析】根据坐标由横坐标和纵坐标组成，直接利用排列数即可求解.
【详解】因为坐标由横坐标和纵坐标组成，且有一定的顺序，
所以由排列数的定义可得满足条件的坐标有：个，
故一共可以组成个不同的点.
知识点2.组合
一、 组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
二、 排列与组合的关系
三、 组合数公式
规定：Ceq \\al(0,n)＝1.
知识点二 组合数的性质
性质1：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
性质2：Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
例 2．（2023上·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：
(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；
(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；
(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；
(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．
【答案】(1)组合问题
(2)排列问题
(3)组合问题
(4)排列问题
【分析】利用排列组合的定义判断即可.
【详解】（1）从10名学生中任选5名去参观一个展览会，选出的学生不用排序，
所以这是组合问题.
（2）从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，
由于坐标有横纵坐标之分，所以选出的2个不同的数需要排序，
故这是排列问题.
（3）从红袋和黄袋中各任取一张卡片，求这两张卡片上的数相加所得的和，
因为加法满足交换律，故选出的卡片不用排序，
所以这是组合问题.
（4）因为四本不同的书送给四个人，要求每人一本，
所以这四本书需要排序，故这是排列问题.
例3．（2023·全国·高二随堂练习）（1）平面内有两组平行线，一组有条，另一组有条，不同组的平行线都相交，这些平行线一共构成了多少个平行四边形？（）
（2）空间中有三组平行平面，第一组有个，第二组有个，第三组有个，不同组的平面都互相垂直．这些平行平面一共构成了多少个长方体？（）
【答案】（1）；（2）
【分析】根据组合数的计算以及平行四边形、长方体的知识求得正确答案.
【详解】（1）平面内有两组平行线，一组有条，另一组有条，不同组的平行线都相交，
则一共构成个平行四边形.
（2）空间中有三组平行平面，第一组有个，第二组有个，第三组有个，
不同组的平面都互相垂直．
这些平行平面一共构成个长方体.
拓展1.有限制条件的排列问题
1．（2023上·陕西汉中·高二西乡县第一中学校考阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)576
(2)144
(3)960
【分析】（1）由捆绑法即可得到结果；
（2）由插空法即可得到结果；
（3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）先将3名男生排好，共有种排法，
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法；
（3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，
共有种排法，
由分步计数原理，共有种排法.
拓展2.有限制条件的组合问题
2．（2023上·高二课时练习）某小组共有10名学生，其中女生3名．现任选2名代表，则至少有1名女生当选的选法有多少种？
【答案】24
【分析】先计算全部的选法，排除其中“没有女生，即全部为男生”的选法，即可得到本题答案.
【详解】根据题意，从10名学生中选2名代表，有种选法，
其中没有女生，即全部为男生的选法，有种，
则至少有一名女生的选法有种.
拓展3.排列与组合的综合问题
3．（2023下·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考阶段练习）将4个编号为的小球放入4个编号为的盒子中.
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
【答案】(1)256（种）
(2)24（种）
(3)12（种）
【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可；
（2）根据排列的定义求解即可；
（3）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解.
【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.
（2）这是全排列问题，共有（种）放法.
（3）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，
故共有（种）放法.
（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，
第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，
由分步计数原理得，共有（种）放法.
突破1.分组与分配问题
1．（2023上·全国·高三专题练习）将10个小球分别装入3个不同的盒子中且每个盒子非空（即每个盒子至少装1个小球）．问：有多少种不同的装法？
【答案】36
【分析】利用隔板法进行求解.
【详解】将10个小球排成一排，在两两之间的9个间隙中任取两个划上竖线，
这样就将10个小球分成了3组，如图所示．
将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数就等于题中所求的装法数，
共有种装法．
2．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？
(4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】(1)种
(2)种
(3)种
(4)种
(5)种
【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（3）按捆绑法排列即可；
（4）按插空法排列即可；
（5）按部分均匀的排列方法求解即可.
【详解】（1）先排甲有种，其余有种，
共有种排法.
（2）先排甲、乙，再排其余人，
共有种排法.
（3）把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，共种.
（4）先排名男生有种方法，
再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，
故共有种排法.
（5）人共有种排法，
其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法．
突破2.排列组合中的新概念创新题型
3．（2023上·北京·高三北京市第三十五中学校考期中）在数字的任意一个排列：中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为．如时，在排列：3，2，4，1中，逆序对有，，，，则．
(1)设排列：，写出两组具体的排列，分别满足：①，②；
(2)对于数字1，2，…，n的一切排列，求所有的算术平均值；
(3)如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，：，求证：为奇数．
【答案】(1)①C：4，2，3，1 ②C：2，4，3，1；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义列举出符合题意的排列即可；
（2）考察排列D：与排列，因为数对与中必有一个为逆序对（其中），而排列中数对共有个，即可得到，从而得解；
（3）讨论当，即相邻时，当，即不相邻时，由新定义，运用调整法，可得为奇数．
【详解】（1）①，则逆序对有，，，，，则；
②，则逆序对有，，，，则；
（2）考察排列D：与排列，
因为数对与中必有一个为逆序对（其中），
且排列中数对共有个，
所以．
所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为．
而对于数字1，2，…，n的任意一个排列：，都可以构造排列，
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为．
所以所有的算术平均值为．
（3）证明：①当，即相邻时，
不妨设，则排列为，
此时排列与排列：相比，仅多了一个逆序对，
所以，
所以为奇数．
②当，即不相邻时，
假设之间有个数字，记排列：，
先将向右移动一个位置，得到排列，
由①，知与的奇偶性不同，
再将向右移动一个位置，得到排列，
由①，知与的奇偶性不同，
以此类推，共向右移动次，得到排列，
再将向左移动一个位置，得到排列，，
以此类推，共向左移动次，得到排列，，
即为排列，
由①可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，
而排列经过次的前后两数交换位置，可以得到排列，
所以排列与排列的逆序数的奇偶性不同，
所以为奇数．
综上，得为奇数．
【点睛】关键点睛：对于新定义问题，解答的关键是理解定义，再利用相应的数学知识进行分析.
【方法二】实例探索法
题型1.排列数公式的应用
1．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用排列数公式，化简列出不等式求解即得.
（2）利用组合数公式，化简列出方程求解即得
【详解】（1）由，得，，
于是，整理得，解得，
所以.
（2）原方程变形为，即，显然，
因此，
化简整理，得，而，解得，
所以.
题型2.排列的概念与简单的排列问题
2．多选题（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】ABD
【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断.
【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确；
对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确；
对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确；
对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确.
故选：ABD
题型3.特殊元素与特殊位置问题
3．（2023上·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？
（3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？
（4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
【答案】（1）；（2）；（3）576；（4）.
【分析】（1）利用捆绑法即可求得两个女生相邻的排法种数；
（2）利用隔板法即可求得名额的分法种数；
（3）利用插空法即可求得不同的排法种数；
（4）按外科女医生来或不来分类讨论，再依据分步计数原理即可求得所有不同的派法种数.
【详解】（1）两个女生相邻捆绑处理，有种；
（2）将8个体育生名额排成一列，在形成的中间7个空隙中插入4块隔板，
所以不同的放法种数为；
（3）第1步，先排4个朗诵节目共种；
第2步，排说唱节目，不相邻则用插空法，且保证不放到开头，
从剩下4个空中选3个插空共有种，所以一共有=576种排法；
（4）先分类：
①若外科女医生必选，则一组内科4男选1，外科4男选1；
另一组内科3女中选1女，外科3男选2，共有种；
②若外科女医生不选，则一组内科3女选1，外科4男选2；
另一组内科2女选1，外科2男选2 ，共有种；
由于分赴甲乙两地，所以共有种．
题型4“相邻”与“不相邻”问题
4．（2023上·江西·高二校联考阶段练习）用数字、、、、、组成没有重复数字的六位数．
(1)偶数不能相邻，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
(2)若数字和之间恰有一个奇数，没有偶数，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将三个奇数进行排序，然后从三个奇数形成的个空位中选出个空位插入三个偶数，利用插空法可求得结果；
（2）在数字和之间恰有一个奇数，然后将这个整体与其余三个数字进行排列，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】（1）解：若六位数中，偶数不能相邻，则先将三个奇数进行排序，
然后从三个奇数形成的个空位中选出个空位插入三个偶数，
所以，不同的六位数个数为.
（2）解：在数字和之间恰有一个奇数，有种，
将这个整体与其余三个数字进行排列，满足条件的六位数的个数为.
题型5.“定序”问题
5．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.
（i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
（ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
（2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）
（3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）
【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60
【分析】（1）（i）利用隔板法求解即可；
（ii）把，视为一人，再把人按和分组，再分配即可；
（2）把4名干部按和分成两组，再分配到两个街道列式计算作答；
（3）根据给定条件，利用倍缩法列式计算作答.
【详解】（1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，
插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种；
（ii）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，
分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法，
再分配给三个场馆，有种方法，
第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法，
再分配给三个场馆，有种方法，
所以不同的安排方法有种方法；
（2）把4名干部按分成两组，有种分组方法，
按分成两组，有种分组方法，
所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）；
（3）依题意，6串香蕉任意收取有种方法，
其中中间一列按从下往上有1种，占，
最右一列按从下往上只有1种，占，
所以不同取法数是（种）.
题型6.组合概念的理解与简单组合问题
6．多选题（2024上·山西·高三期末）某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（ ）
A．共有90种安排方法
B．甲连续两天值班的安排方法有30种
C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种
D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种
【答案】ABD
【分析】利用排列组合相关知识逐项分析即可.
【详解】对于A，首先任选2天安排甲值班，共种方法，再从剩下的4天中选2天安排乙值班，
共种方法，最后安排丙，种方法，共计种方法，故A正确；
对于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5种方法，
再从剩余4天中选2天安排乙，剩下两天安排丙，此步骤共种，共计种方法，故B正确；
对于C，首先确定甲在乙之前还是之后，有2种方法，再讨论丙值的两天班是否连续，
若连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择一个，
安排“丙丙”即可，此时有种方法，
若不连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择两个，各安排一个“丙”即可，
此时有种；综上，符合题意的方法数为种，故C错误；
对于D，只需将“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共种方法，故D正确.
故选：ABD.
题型7.与组合数有关的计算
7．单选题（2024上·辽宁·高二校联考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先通过组合公式变形得，然后利用倒序相加求和即可.
【详解】由题可知通项公式，
所以，
同时，
上述两式相加得
，
所以，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对组合公式的灵活应用，以及对倒序相加方法的灵活使用.
题型8.“含”与“不含”问题
8．（2024·全国·高三专题练习）某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?
(3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?
(4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?
【答案】(1)561
(2)5984
(3)2555
(4)6090
【分析】（1）根据组合数的应用从余下的34种商品中，选取2种即可由组合数得答案；
（2）根据组合数的应用从余下的34种商品中，选取3种即可由组合数得答案；
（3）由题意得选取2件假货有种，选取3件假货有种，根据加法计数原理得结论；
（4）用间接法求解选取3件的总数有，去掉选出的均为假货的情况，即可得结论.
【详解】（1）从余下的34种商品中，选取2种有（种），
某一种假货必须在内的不同取法有561种．
（2）从34种可选商品中，选取3种，有（种）．
某一种假货不能在内的不同取法有5984种．
（3）选取2件假货有种，选取3件假货有种，共有选取方式（种）．
至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．
（4）选取3件的总数有，因此共有选取方式
（种）．
至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．
题型9.相同元素分组分配问题
9．（2023·四川内江·统考一模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8种B．14种C．20种D．16种
【答案】B
【分析】分甲、乙都不在天和核心舱和甲、乙恰好有一人在天和核心舱两种情况求解可得.
【详解】第一类，甲、乙都不在天和核心舱共有种；
第二类，甲、乙恰好有一人在天和核心舱，先排天和核心舱有种，
然后排问天实验舱与梦天实验舱有种，
所以，甲、乙恰好有一人在天和核心舱共有种.
综上，甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验共有种.
故选：B
题型10.排列组合的综合应用
10．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．
(1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；
(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
【答案】(1)25
(2)72
【分析】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；
（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性．
【详解】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为，
②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为，
所以共有选法种数为20+5=25；
（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：，
第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：，
第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ，
所以共有不同的分配方案数为：．
【方法三】差异对比法
易错点1.不能正确理解题意致误
1．（2024上·上海·高二校考期末）某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分．
(1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数；
(2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案.
（2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】（1）学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种.
（2）学生乙最终获得分，有两种情况：
①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种.
②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种.
所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种.
易错点2.忽视排列数公式的隐含条件致误
2．（2021上·高二课时练习）（多选题）当，且时，不可能取到（ ）
A．60B．240C．2 020D．2 040
【答案】BCD
【分析】由题意可知，当时，可判断A选项；由，可判断B选项；由，，可判断C和D选项.
【详解】当时，，故A选项可取到；由于，，即，所以不可能取到240，故B选项取不到；
由于，，即，，所以不可能取到2 020，
同时也不可能取到2 040，故C和D选项都取不到，
故选：BCD.
【方法五】 成果评定法_
一、单选题
1．（2023下·山东青岛·高二校考阶段练习）将参加数学竞赛的20个名额分给9所学校，每所学校至少1个名额，则名额分配种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将问题等价于将排成一行的20个相同元素分成9份的方法数，利用隔板法进行求解即可.
【详解】问题等价于将排成一行的20个相同元素分成9份的方法数，
相当于在20个相同元素的19个间隔（除去两端）中插入8块隔板隔成9份，故共有种方法，
所以名额分配方式有种．
故选：D.
2．（2020·全国·模拟预测）某医院派出了6名医生和3名护士共9人前往某地参加救治工作.现将这人分成两组分配到，两所医院，若要求每个医院都至少安排2名医生及1名护士，并且医生甲由于工作原因只能派往医院，则不同的分配方案种数为（ ）
A．30B．60C．90D．150
【答案】D
【分析】由题意，第一步分配医生：将医生甲派往医院，再往医院安排1名医生，则医院4名，再往医院安排2名医生，则医院3名，再往医院安排3名医生，则医院2名，按照分类相加原理可知分配医生有种方法；第二步分配护士有种方法；第三步将护士分配到医院有种方法，按照分步相乘原理即可得解.
【详解】第一步：按题意6名医生有3种分配情况，医院2名，医院4名，医院3名，医院3名，医院4名，医院2名，共有种分配方案；
第二步：按题意将3名护士分成一组1名，一组2名，有种分配方案，
第三步：两组护士分别分配给两个医院有种分配方案
故不同的分配方案种数为，
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查排列组合与分步乘法计数原理，解决排列组合问题的一般过程：
（1）认真审题弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.
3．（2021下·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）有4本不同的书A､B､C､D，要分给三个同学，每个同学至少分一本，书A､B不能分给同一人，则这样的分法共有（ ）
A．18种B．24种C．30种D．36种
【答案】C
【分析】先把4本书分成3组，再分给3个同学，最后去掉A､B分给同一人的分法即可得解.
【详解】把4本不同的书分成3组，其中一组两本，另两组各一本，有种分法，再把3组书分给三个同学，有种给法，不同分法数共有，
书A､B分给同一人的分法数有，
所以符合要求的不同分法数共有种.
故选：C
4．五名同学站成一排，若甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（ ）
A．36种B．60种C．72种D．108种
【答案】A
【分析】应用间接法，用甲与乙相邻的情况数减去其中甲丙相邻的情况数即可.
【详解】甲与乙相邻（不考虑丙的位置）减去甲乙相邻且甲丙相邻的情况：种.
故选：A
5．若，则的值为（ ）
A．1或2B．3或4C．1或3D．2或4
【答案】D
【分析】根据组合数的性质计算可得.
【详解】解：由，所以或，解得或；
故选：D．
6．（2023下·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期中）现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有（ ）
A．8种B．10种C．12种D．14种
【答案】C
【分析】先分类，再分步，利用两个计数原理计数可得结果.
【详解】若核酸检验组分配人，扫码组分配人，先分配甲、乙，有种，再从剩下的人选一人分到核酸检验组，有种，其余人分到扫码组，因此共有种；
若核酸检验组分配人，扫码组分配人，同理可得共有种，
所以甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有种.
故选：C
7．（2023下·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生，则不同的安排方式共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】A
【分析】要求每个班级至少有一名新生，所以先从人的个数分三组，则有两类情况，求出所有的组数，再对三组进行排序即可.
【详解】解：把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生，
从人的个数有组分法，即，，和，，两种分法.
若分成人，人，人，则共有分组方法，
若分成人，人，人，则共有分组方法，
将分好的三组安排到三个班级中共有种排法，
所以所有的安排方法共有种安排方法.
故选：.
8．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有种不同的方案，其中的值为（ ）
A．543B．425C．393D．275
【答案】C
【分析】根据题意，5名同学中每人有3种报名方法，由分步乘法计数原理计算可得答案，第二种先分组再排列，即可得解．
【详解】5名同学报名参加跳绳、接力、投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步乘法计数原理，种，
当每项比赛至少要安排一人时，先分组有+种，再排列有种，所以种，所以．
故选：C．
二、多选题
9．（2023下·高二课时练习）某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是（ ）
A．高二六班一定参加的选法有种
B．高一年级恰有2个班级的选法有种
C．高一年级最多有2个班级的选法为种
D．高一年级最多有2个班级的选法为种
【答案】BCD
【分析】对于AB根据组合知识即可验证，对于CD先用组合知识求出从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，再根据分类加法原则得出从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，两者相等得出，再得出高一年级最多有2个班级的选法即可验证.
【详解】对于A：高二六班一定参加的选法有种，故A错误；
对于B：高一年级恰有2个班级的选法有种，故B正确；
对于C与D：从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，
其中若高一年级0个，高二年级5个，有种，
其中若高一年级1个，高二年级4个，有种，
其中若高一年级2个，高二年级3个，有种，
其中若高一年级3个，高二年级2个，有种，
其中若高一年级4个，高二年级1个，有种，
其中若高一年级5个，高二年级0个，有种，
则，
则，
而高一年级最多有2个班级的选法为种，故C与 D都正确；
故选：BCD.
10．（2022·高二单元测试）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，则选法种数为35
B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30
C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为20
【答案】ACD
【分析】A选项，直接利用组合知识进行求解；
B选项，分物理和化学选一门和物理、化学都选，两种情况下利用组合知识求出选法，求和即可；
C选项，先求出物理和历史同时选的选法，从而求出物理和历史不能同时选的选法；
D选项，只选物理，不选化学，只选化学，不选物理，物理、化学都选，三种情况下的选法求和即可.
【详解】对于A，选法种数为，故A正确．
对于B，若物理和化学选一门，其余两门从剩余的五门中选，有种选法；若物理和化学都选，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法．故共有种选法，故B错误．
对于C，物理和历史同时选，有种选法，故不同时选的选法种数为，故C正确．
对于D，只选物理，不选化学，则历史也不选，有种选法；只选化学，不选物理，有种选法；若物理、化学都选，则历史不选，有种选法．故共有种选法，故D正确．
故选：ACD．
11．（2023下·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据组合数的性质可判断A；利用排列数公式计算可判断B，D；用特值法可判断C.
【详解】根据组合数的性质可知，故A正确；
∵，故B正确；
当时，，此时，故C错误；
∵，
∴，故D正确.
故选：ABD.
12．（2023下·重庆渝北·高二重庆市渝北中学校校考阶段练习）某中学共有三栋女生宿舍楼，分别为1号楼、2号楼、3号楼，学校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教师去这三栋宿舍楼协助宿管阿姨值守，每栋宿舍楼至少安排一名教师，每名教师只能去其中一栋楼，则下列说法正确的是（ ）．
A．共有300种不同的安排方法
B．若其中1号楼需要有两名教师去，则共有60种不同的安排方法
C．若甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，则共有114种不同的安排方法
D．若学校新购入25个相同型号的灭火器，准备全部分配给这三栋女生宿舍楼作为应急使用，每栋宿舍楼至少6个，则共有15种不同的分配方法
【答案】BC
【分析】利用分类加法计数原理结合排列组合问题求出不同安排方法数判断A；求出1号楼去2人的安排方法数判断B；利用排除法求出甲乙去同一栋楼的安排方法数判断C；利用隔板法求出不同分配方法数判断D作答.
【详解】对于A，5名教师按去到三栋楼有种方法；按去到三栋楼有种方法，
因此不同的安排方法种数是，A错误；
对于B，取2名教师去1号楼，不同的安排方法种数是，B正确；
对于C，甲乙两名教师去同一栋楼，另3名教师去另两栋楼有种，另3名教师去三栋楼有种，
则不同的安排方法种数是，由选项A知，共有种不同安排方法，
所以甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，安排方法种数是，C正确；
对于D，每栋楼先放5个灭火器，再将余下10个灭火器排成一排，在9个间隙中插入2块板子，有种，D错误.
故选：BC
三、填空题
13．（2022上·贵州毕节·高三校联考阶段练习）由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有 种.
【答案】480
【分析】由排列组合采用插空法，再利用分步乘法计数原理即可得结果
【详解】先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有种，
4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有种，
由分步乘法计数原理得种，即不同的站法有480种，
故答案为：480
14．（2023上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）某高校开设了乒乓球，羽毛球，篮球，小提琴，书法五门选修课程可供学习，要求每位同学每学年至多选2门，该校学生小明想用前3学年将五门选修课程选完，则小明的不同选修方式有 种.（用数字作答）
【答案】90
【分析】根据给定条件，将五门选修课按分成3组，再分配到3学年作答.
【详解】由题意，前三年修完5门选修课程，每学年至多选2门，则小明同学每年所修课程数为1，2，2，
先将5门学科按1，2，2分成三组，有种方法，再分到这三个学年，有种不同方法，
由分步乘法计数原理得，不同选修方式共有种.
故答案为：90
15．已知，则 .
【答案】
【分析】根据排列数公式可得出关于的等式，分析可知且，即可解得的值.
【详解】因为，则且，则，即，解得.
故答案为：.
16．（2023下·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）有6个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余5个匣子，那么钥匙的放法有 种．
【答案】120
【分析】根据题意，每个盒子都不能存放打开本身的钥匙，结合环状排列，计算可得答案．
【详解】根据题意，假设6个盒子为，，，，，，
要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余5个匣子，即在砸开的匣子中必放有另一个匣子的钥匙，依次类推，打开所有的盒子，
则原问题相当于由，，，，，形成一个环状排列，
反过来，对由于，，，，，排成的每一种环状排列，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放钥匙的方法，
先让6个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙，这就得到种相继打开各个匣子的放钥匙的方法．
所以，可使所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与，，，，，的环状排列数相等，
由于个元素的环状排列数为种，则钥匙的放法有种．
故答案为：120．
四、解答题
17．（2023下·北京东城·高二统考期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单.
(1)一共有多少种不同的出场阵容？
(2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
【答案】(1)60
(2)36
【分析】（1）根据分步计数原理，先安排前两场比赛人员，再安排第三场的比赛人员；
（2）从队员A上场和不上场来分类，分别求解，再利用分类加法原理可得答案.
【详解】（1）出场阵容可以分两步确定：
第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有种；
第2步，从剩下的3名运动员中选出两人参加男双比赛，共有种，
根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为.
（2）队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案：
第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出两人，分别取参加前两场单打比赛，共有种，剩余人员参加双打比赛；
第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成：
第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种；
第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种；
第3步，从剩下的3名队员中，选出两人参加男双比赛，共有种，
根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有种；
根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为.
18．（2021下·广东中山·高二校考阶段练习）（1）求值：；
（2）求值：结果用数字表示
【答案】（1）；（2）560.
【分析】（1）根据排列数的运算公式计算即可得出结果；
（2）根据组合数的运算性质，计算即可得出结果.
【详解】解：（1）
；
（2）
.
19．（2022下·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期中）6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
【答案】(1)144
(2)1560
(3)252
【分析】（1）利用捆绑法和插空法进行排列计算即可得共有144种；
（2）先将6位同学分成4组，再根据题意进行排列计算即可得出结果；
（3）先计算出所有的录用方式，再减去不符合题意的方式即可得出答案.
【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有；
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意减去不满足题意的情况共有种.
20．（2023上·全国·高三专题练习）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？
【答案】211
【分析】分4种情况进行求解，相加得到答案.
【详解】这个问题可分四类加以考虑：
①5个共面点确定1个平面；
②5个共面点中任何2个点和其余7个点中任意一点确定个平面；
③5个共面点中任一点和其余7个点中任意2个点确定个平面；
④7个点中任何3个点确定个平面．
∴总共确定平面的个数为（个）．
21．（2023上·高二课时练习）袋中装有m个红球和n个白球，且.这些红球和白球的大小及质地都相同.从袋中同时任取2个球，若2个球都是红球的取法总数是2个球颜色不同的取法总数的整数倍，求证：m必为奇数.
【答案】证明见解析
【分析】根据组合数概念及公式建立方程化简，即可证明.
【详解】从装有m个红球和n个白球袋中，且，任取2个球都是红球的取法总数为，
任取2个球颜色不同的取法有，由题意，，
所以，即，又且，
所以m必为奇数.得证.
22．（2023上·高二课时练习）在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加；
(6)甲、乙、丙三人至多2人参加．
【答案】(1)792
(2)36
(3)126
(4)378
(5)666
(6)756
【分析】根据题意，结合组合数公式，即可求解.
【详解】（1）有种不同的选法；
（2）甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有种不同的选法；
（3）甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有种不同的选法；
（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有种选法，再从另外的9人中选4人，有种选法．共有种不同的选法；
（5）解法一（直接法）
可分为三类：
第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有种；
第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有种；
第三类：甲、乙、丙中有3人参加，共有种．
共有种不同的选法．
解法二（间接法）
12人中任意选5人，共有种，甲、乙、丙三人都不能参加的有种，
所以，共有种不同的选法．
（6）解法一（直接法）
甲、乙、丙三人至多2人参加，可分为三类：
第一类：甲、乙、丙都不参加，共有种；
第二类：甲、乙、丙中有1人参加，共有种；
第三类：甲、乙、丙中有2人参加，共有种．
共有种不同的选法．
解法二（间接法）
12人中任意选5人，共有种，甲、乙、丙三人全参加的有种，所以，共有种不同的选法．
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数Ceq \\al(m,n)与排列数Aeq \\al(m,n)间存在的关系
Aeq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m,n)Aeq \\al(m,m)
组合数
公式
乘积
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)