高考数学第二轮复习专题练习专题6.3 排列与组合（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题6.3 排列与组合（重难点题型精讲）（教师版），共15页。试卷主要包含了排列，排列数，全排列和阶乘，组合，组合数与组合数公式，组合数的性质等内容，欢迎下载使用。

1．排列
(1)排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列概念的理解
①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.
②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.
③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，
这一点要特别注意.
(3)排列的判断
判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任
取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关
的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有
变化，就与顺序无关，就不是排列问题.
2．排列数
(1)排列数定义
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数，用符号表示.
(2)排列数公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn.
(3)排列数公式的理解
①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元
素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法.
②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数.
3．全排列和阶乘
(1)全排列
特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，
即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1.
(2)阶乘
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!，
规定0!=1.
(3)排列数公式的阶乘表示
==.
4．组合
(1)组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的一个组合.
(2)组合概念的理解
①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，
无序性是组合的特征性质.
②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
(3)排列与组合的联系与区别
联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素.
区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可
以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.
5．组合数与组合数公式
(1)组合数
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数，用符号表示.
(2)组合数公式
①连乘表示：
==.
这里，n,m∈，并且mn.
②阶乘表示：=.
规定：=1.
6．组合数的性质
(1)性质1：=
这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，
剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的.
利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.
(2)性质2：=+
这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法.
由分类加法计数原理可得：=+.
在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.
【题型1 有关排列数的计算与证明】
【方法点拨】
解有关排列数的方程或不等式的步骤：
转化：将有关排列数的方程或不等式转化为普通方程或不等式；
求解：求转化后的普通方程或不等式解或解集；
检验：代入原方程或原不等式中检验，尤其注意条件n,m∈，并且mn对未知数取值的限制.
【例1】（2022春·重庆永川·高二阶段练习）计算：
(1)A63；
(2)解方程5A4x=6A5x-1．
【解题思路】（1）根据排列数公式计算求解；
（2）由排列数公式化简，解方程即可得解.
【解答过程】(1)
A63=6!6-3!=6×5×4=120；
(2)
∵5A4x=6A5x-1，∴5⋅4!(4-x)!=6⋅5!5-(x-1)!，
化简得x2-11x+24=0，且x≤4，
解得x=8（舍去）或x=3，
所以方程的解为x|x=3．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）（1）解不等式：3Ax+22+12Ax2≤11Ax+12；
（2）解方程：A2x+14=140Ax3．
【解题思路】（1）利用排列数公式后解不等式，求出x的范围，再由x∈N*可求出x的值，
（2）利用排列数公式化简计算即可
【解答过程】（1）由题意得3x+2x+1+12xx-1≤11x+1x，化简得2x2-7x+3≤0，
即2x-1x-3≤0，所以12≤x≤3．
因为x≥2，且x∈N*，所以不等式的解集为2,3．
（2）易知2x+1≥4x≥3x∈N*所以x≥3，x∈N*，
由A2x+14=140Ax3，得2x+1⋅2x⋅2x-1⋅2x-2=140xx-1x-2，
化简得4x2-35x+69⋅x-1=0，
解得x1=3，x2=234（舍去），x3=1（舍去）．
所以原方程的解为x=3．
【变式1-2】（2022·高二课时练习）解下列方程：
(1)A2x+14=140Ax3；
(2)3A8x=4A9x-1.
【解题思路】（1）（2）根据排列数公式化简解方程即可．
【解答过程】(1)
由排列数公式，原方程可化为(2x+1)×2x×(2x-1)×(2x-2)=140x(x-1)(x-2)，化简得4x2-35x+69x-1x=0，解得x=3或x=234或x=1或x=0.
因为x满足2x+1≥4,2x+1∈N*,x≥3,x∈N*,
所以x的取值范围为xx≥3,x∈N*.所以原方程的解为x=3．
(2)
由3A8x=4A9x-1，得3×8!8-x!=4×9!10-x!，所以3×8!8-x!=4×9×8!10-x9-x8-x!.
化简得x2-19x+78=0，解得x1=6，x2=13．
因为05Cn6，
即不等式7nn-1n-2n-34×3×2×1>5nn-1n-2n-3n-4n-56×5×4×3×2×1，
解得-2