高考数学第二轮复习专题练习专题5.6 导数在研究函数中的应用（重难点题型检测）（教师版）

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1．（3分）（2023·全国·高三专题练习）函数fx=x-3ex，则fx的单调增区间是（ ）
A．-∞,2B．2,+∞C．-∞,3D．3,+∞
【解题思路】求出给定函数的导数，解导数大于0的不等式作答.
【解答过程】函数fx的定义域为R，求导得：f'x=x-2ex，由f'x>0，解得x>2，
所以fx的单调增区间是2,+∞.
故选：B.
2．（3分）（2022·山东高三阶段练习）已知f(x)=x2-2x+1x，则f(x)在12,3上的最大值为（ ）
A．12B．43C．-1D．0
【解题思路】对fx求导得f'x=1-x-2，令其为0，得到其单调性，最后得到最大值.
【解答过程】f(x)=x2-2x+1x=x+1x-2，且x∈12,3，
f'x=1-x-2，令f'x=0，x=1（负舍），
∵x∈12,1，f'x0可得f'x=1x+2ax-2=2ax2-2x+1x，
令g(x)=2ax2-2x+1，则g(0)=1 ，
当a=0时，g(x)=-2x+1=0,x=12，当00，
此时要使函数fx=lnx+ax2-2x在0,1上存在极大值点，需满足g(1)x在0,1上恒成立，即a>xex恒成立，
令g(x)=xex，则g'(x)=1-xex>0，即g(x)在0,1上递增，
故a≥g(1)=1e，
故a的取值范围为1e,+∞.
故选：D.
8．（3分）（2022·全国·高二课时练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元销售额y（单位：万元）与莲藕种植量x（单位：万千克）满足y=-16x3+ax2+x（a为常数），若种植3万千克，销售利润是232万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．6万千克B．8万千克C．7万千克D．9万千克
【解题思路】由已知求参数a，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.
【解答过程】设当莲藕种植量为x万千克时，销售利润为g(x)万元，则g(x)=-16x3+ax2+x-2-x=-16x3+ax2-2（00，当x∈(8,10)时，g'(x)0；当x∈-43,1时，f'x1时，g't>0恒成立，∴gt在1,+∞上单调递增；
∵t=ex在0,+∞上单调递增，
∴根据复合函数单调性可知：gex在0,+∞上为增函数，A正确；
对于B，当x>1时，lnx2>ln1=0，又a为正实数，∴ax>a>0，
∵f'x=ex-1，∴当x>0时，f'x>0恒成立，∴fx在0,+∞上单调递增，
则由fax≥flnx2得：ax≥lnx2，即a≥2lnxx，
令hx=2lnxxx>1，则h'x=21-lnxx2，
∴当x∈1,e时，h'x>0；当x∈e,+∞时，h'x0恒成立，故hx=2lnx+x在(0,+∞)单调递增，
得到2lnx+x=t∈R，
故2a=tet有两个不同的根，
令gt=tet，则g't=1-tet，t∈R，
当t>1时，g't0，
所以f(x)在R上单调递增，
f(m⋅4x+1)+f(m-2x)≥5等价于f(m⋅4x+1)+f(m-2x)≥f(m-2x)+f(2x-m)，
即f(m⋅4x+1)≥f(2x-m)恒成立，
所以m⋅4x+1≥2x-m，即m≥2x-14x+1(x>0)恒成立，
令2x-1=t (t>0)，可得m≥t(t+1)2+1=tt2+2t+2，
而tt2+2t+2=1t+2t+2≤122+2=2-12，当且仅当t=2时取等号，
所以m≥2-12，即实数m的最小值为2-12.
故答案为：2-12.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·山东·高二阶段练习）已知函数fx=xlnx-12mx2-xm∈R．
(1)若m=0，求函数fx的单调区间；
(2)若函数fx在0,+∞上是减函数，求实数m的取值范围．
【解题思路】(1)先对函数f(x)求导，利用导数判断函数的单调区间；
(2)已知函数fx在0,+∞上是减函数，可知知f'x≤0恒成立，利用参数分离法,求lnxx的最大值即可求解.
【解答过程】（1）当m=0时，fx=xlnx-x,x∈(0,+∞)，
f'x=lnx,∴f'(x)=0,x=1.
f'x0⇒x∈0,e，φ'xe知，
函数φx在0,e上递增，在e,+∞上递减，
∴φxmax=φe=1e，∴m≥1e．
18．（6分）（2022·上海市高二期末）求函数f(x)=13x3-x+2．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)求f(x)在区间[-2,2]上的最值．
【解题思路】（1）求导，计算导数大于0的解为原函数的单调递增区间，导数小于0为单调递减区间，递增递减的转折点为极大值点，递减递增的转折点为极小值点；（2）由第一小问的单调性，写出[-2,2]上的极值点和端点函数值，比较其大小可得最值.
【解答过程】（1）f(x)=13x3-x+2,∴ f'(x)=x2-1，
令f'(x)>0，得x1；令f'(x)0)，
则F'(x)=2x2+1x-3(x>0)，
令F'(x)=0，得x=1或x=-23（舍去）
当x∈(0,1)时，F'(x)>0，则F(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时，F'(x)0，求证：2lnx1+3lnx2>8ln2-5
【解题思路】（1）由题知u'(x)=1x-a，进而分a≤0和a>0两种情况讨论求解即可；
（2）由题知lnx1=ax1-1lnx2=ax2-1，a=lnx1-lnx2x1-x2，进而将问题转化为证2x1x2+3⋅lnx1x2x1x2-1>8ln2，再令x1x2=t，则t∈0,12，进而证明(2t+3)lntt-1>8ln2，再构造函数g(t)=(2t+3)lntt-1，t∈0,12，求解最小值即可证明.
【解答过程】（1）解：由已知u'(x)=1x-a，
当a≤0时，u'(x)≥0在(0,+∞)恒成立，u(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，由u'(x)=1x-a=0得x=1a，
若08ln2-5，
只需证明a2x1+3x2-5>8ln2-5，即证a2x1+3x2>8ln2，
只需证2x1+3x2lnx1-lnx2x1-x2>8ln2，即证2x1x2+3⋅lnx1x2x1x2-1>8ln2，
令x1x2=t，而x22-x1>0，则t∈0,12，只需证明(2t+3)lntt-1>8ln2，
令函数g(t)=(2t+3)lntt-1，t∈0,12，求导得：g'(t)=-5lnt+2t-3t+1(t-1)2
令函数h(t)=-5lnt+2t-3t+1，t∈0,12，
求导得h'(t)=2t2-5t+3t2=(t-1)(2t-3)t2>0，
则函数h(t)在0,12上单调递增，于是有h(t)0，
若x0，
若x0，eax>1，所以f'x0，所以b⩾-xlnx对x∈1,+∞时恒成立，
令Gx=-xlnx(x>1)
G'x=1-lnx(lnx)2，令G'x>0，则1