江西省上饶市余干县2025年高考数学一模试卷（含解析）

这是一份江西省上饶市余干县2025年高考数学一模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|x2−6x−7a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,14]B. (−∞,14)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2]
2.已知z=3+i1+i2+i7，则z−=( )
A. −1−3iB. −1+3iC. 1−3iD. 1+3i
3.“m>1”是“椭圆C：x2m+y22−m=1的焦点在x轴上”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.某统计数据共有13个样本xi(i=1,2,3,…,13)，它们依次成公差d=1的等差数列，若这组数据的60%分位数是26，则它们的平均数为( )
A. 25B. 23C. 21D. 19
5.在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠A=60°，DM=3MC，则AM⋅BM=( )
A. 1B. 32C. 2D. 3
6.将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是( )
A. 14B. 724C. 58D. 1724
7.已知双曲线C：x2a2−y24=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上运动(不与顶点重合)，设PF1与双曲线的左支交于点Q，△PQF2的内切圆与QF2相切于点M.若|QM|=2，则双曲线C的离心率为( )
A. 3B. 2C. 5D. 6
8.利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数f(x)=xx，x∈(0,+∞)，下列说法正确的是( )
A. f(x)有且只有一个极大值点
B. f(x)在(0,1e)上单调递增
C. 存在实数a∈(0,+∞)，使得f(a)=1e
D. f(x)有最小值，最小值为1e1e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：ax+(a+1)y+2=0，圆O：x2+y2=9，则下列说法正确的是( )
A. 存在实数a，使圆O关于直线l对称
B. 直线l过定点(2,−2)
C. 对任意实数a，直线l与圆O有两个不同的公共点
D. 当a=−12时，直线l被圆O所截弦长为2
10.已知函数f(x)=csωx−sinωx(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 当ω=3时，f(x)在[0,π4]上单调递减
B. 若函数f(x)的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)= 2sinωx的图象，则ω的最小值为5
C. 若函数|f(x)|的最小正周期为π4，则ω=8
D. 当ω=2时，若关于x的方程f(x)=1的两个不相等实根为x1，x2，则|x1−x2|min=π2
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足DP=λDD1+μDA，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是( )
A. 当λ=μ时，BP⊥AC1
B. 当μ=12时，三棱锥C1−PB1C的体积为定值
C. 当λ+μ=1时，PC+PB的最小值为 12+2 6
D. 当λ=12，μ=0时，若点M为四边形A1B1C1D1(含边界)内一动点，且MP=2，则点M的轨迹长度为 32π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若(2x−ax)6展开式中的常数项为−160，则实数a= ______．
13.已知函数f(x)=e2x−1−e1−2x+sin(π2x−π4)+1，则不等式f(x2+2x−3)+f(2−x)≤2的解集为______．
14.已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=2，Snn=an+1−n2，则{an}的通项公式为______；令bn=21−an，则b1b2−b2b3+…+(−1)n+1bnbn+1= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2[bcs2(π12−A2)−asinB2csB2]．
(1)求A；
(2)若b=3，BC边上的高为3 217，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=8，N是AA1的中点，点P，Q分别是B1C1，B1N的中点，AB与平面CPQ相交于点M．
(1)求AMMB的值；
(2)求二面角B1−CM−P的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex+e−x2−a(1+x22)(a∈R)．
(1)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为e2，求a的值；
(2)若x=0是f(x)的极小值点，求a的取值范围．
18.(本小题15分)
已知点A是直线x=−4上的动点，O为坐标原点，过点A作y轴的垂线l，过点O作直线OA的垂线交直线l于点B，记点B的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)过曲线C上一点P(t,2)的直线l1，l2分别交C于M，N两点(异于点P)，设l1，l2的斜率分别为k1，k2．
(Ⅰ)若k1k2=−43，求证：直线MN过定点；
(Ⅱ)若k1+k2=0，且M，N的纵坐标均不大于0，求△PMN的面积的最大值．
19.(本小题17分)
2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为p(0a2}，
由M⊆N，所以a2≤−1，解得a≤−2，所以实数a的取值范围为(−∞,−2]．
故选：D．
解不等式求得集合M，N，由M⊆N，可得a2≤−1，求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z=3+i1+i2+i7=3+i1−1−i=3+i−i=(3+i)i−i2=−1+3i，
则其共轭复数z−=−1−3i．
故选：A．
先根据虚数单位i的运算性质化简分母，再对z进行化简，最后根据共轭复数的定义求出z−．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>2−m>0，解得10)，
对于A，当ω=3时，f(x)= 2cs(3x+π4)，当x∈[0,π4]时，3x+π4∈[π4,π]⊆[0,π]，
故f(x)在[0,π4]上单调递减，A正确；
对于B，将函数f(x)的图象向左平移π4得f(x+π4)= 2cs(ωx+ωπ4+π4)(ω>0)，可得ωπ4+π4=3π2+2kπ,k∈Z，
解得ω=5+8k，k∈Z，故ω的最小值为5，B正确；
对于C，|f(x)|的最小正周期为12×2πω=π4，解得ω=4，故C错误；
对于D，当ω=2时，f(x)= 2cs(2x+π4)，由 2cs(2x+π4)=1可得cs(2x+π4)= 22，
故2x1+π4=−π4+2k1π,2x2+π4=π4+2k2π，k1，k2∈Z，
则x1=−π4+k1π,x2=k2π，k1，k2∈Z，故|x1−x2|=|π4+kπ|,k∈Z，因此|x1−x2|min=π4，故D错误．
故选：AB．
根据辅助角公式化简f(x)= 2cs(ωx+π4)(ω>0)，即可根据余弦函数的单调性判断A，根据平移的性质，可得ωπ4+π4=3π2+2kπ,k∈Z求出ω即可判断B，根据周期公式即可求判断C，由题可求得方程的根x1=−π4+k1π,x2=k2π,k1,k2∈Z计算可判断D．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，与线性函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，如图所示，当λ=μ时，点P的轨迹为线段DA1，连接AC、BD，
可得AC⊥BD，C1C⊥BD，
所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD，
同理可证得AC1⊥A1B，所以AC1⊥平面A1BD，所以AC1⊥BP，所以选项A正确；
对于B，如图所示，取AD、A1D1的中点E、F，当μ=12时，
点P的轨迹为线段EF，VC1−PB1C=VP−C1B1C=13⋅S△C1B1C⋅ℎ，S△C1B1C=12B1C1⋅CC1=12×2×2=2，
因为EF/​/平面BB1C1C，所以P到平面B1C1C的距离ℎ=D1C1，
所以三棱锥C1−PB1C的体积为定值，所以选项B正确；
对于C，如图所示，当λ+μ=1时，点P的轨迹为线段AD1，将三角形CAD1旋转至平面D1ABC1内，
可知PC+PB≥BC，
又因为AC=2 2，AB=2，∠BAC=150°，
由余弦定理可得：BC= AC2+AB2−2AC⋅ABcs∠BAC= 12+4 6，
所以选项C错误；
对于D，如图所示，当λ=12，μ=0时，点P为DD1的中点，PD1=1，MP=2，
所以D1M= 3，即点M的轨迹为以D1为圆心， 3为半径的14圆，
所以点M的轨迹长度为 32π，
所以选项D正确．
故选：ABD．
当λ=μ时，点P的轨迹为线段DA1，证明AC1⊥平面A1BD即可判断选项A正确；
当μ=12时，点P的轨迹为线段EF，由EF/​/平面BB1C1C，得出三棱锥C1−PB1C的体积为定值，所以选项B正确；
当λ+μ=1时，点P的轨迹为线段AD1，将三角形CAD1旋转至平面D1ABC1内，由余弦定理可得选项C错误；
当λ=12，μ=0时，点P为DD1的中点，由MP=2，可得点M的轨迹为以D1为圆心， 3为半径的14圆，所以选项D正确．
本题考查空间几何体的线面关系、体积、轨迹等知识，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】1
【解析】解：(2x−ax)6展开式中的通项Tr+1=C6r(2x)6−r(−ax)r=C6r26−r(−a)rx6−2r，
令6−2r=0，解得r=3，
(2x−ax)6展开式中的常数项为−160，
则C6323(−a)3=−160，解得a=1．
故答案为：1．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
13.【答案】[−2,1]
【解析】解：根据题意，函数f(x)=e2x−1−e1−2x+sin(π2x−π4)+1，
则f(1−x)=e1−2x−e2x−1−sin(π2x−π4)+1，
则f(x)+f(1−x)=2，变形可得：f(1−x)=2−f(x)，
对于不等式f(x2+2x−3)+f(2−x)≤2，
变形可得：f(x2+2x−3)≤2−f(2−x)=f(x−1)，
函数f(x)=e2x−1−e1−2x+sin(π2x−π4)+1，
其导数f′(x)=2e2x−1+2e1−2x+π2cs(π2x−π4)≥2 2e2x−1+2e1−2x−π2=4−π2>0，
当且仅当x=0时等号成立，故函数f(x)在R上单调递增，
则f(x2+2x−3)≤f(x−1)等价于x2+2x−3≤x−1，即x2+x−2≤0，
解可得：−2≤x≤1，即不等式的解集为[−2,1]．
故答案为：[−2,1]．
先证明函数的对称中心，即f(x)+f(1−x)=2，化简不等式得到f(x2+2x−3)≤f(x−1)，然后由导函数得到函数单调性，然后由单调性得到不等式，就不等式即可．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
14.【答案】an=n+1 110[1−(−14)n]
【解析】解：由Snn=an+1−n2，得Sn=nan+(1−n)n2，①
当n≥2时，有Sn−1=(n−1)an−1+(2−n)(n−1)2，②
①−②得：an=nan+(1−n)n2−(n−1)an−1−(2−n)(n−1)2，
即an−an−1=1，(n≥2)，
可得数列{an}是以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴an=a1+(n−1)d=2+(n−1)=n+1；
则bn=21−an=(12)n，故(−1)n+1bnbn+1=(−1)n+1(12)2n+1，
∴(−1)n+1bnbn+1(−1)nbn−1bn=(−1)n+1(12)2n+1(−1)n(12)2n−1=−14，
即数列{(−1)n+1bnbn+1}是首项为(12)3，公比为−14的等比数列，
故b1b2−b2b3+…+(−1)n+1bnbn+1=18[1−(−14)n]1+14=110[1−(−14)n]．
故答案为：an=n+1；110[1−(−14)n]．
根据Sn，an的关系即可求解{an}为等差数列，即可求解{an}的通项公式，再由等比数列的求和公式即可求b1b2−b2b3+…+(−1)n+1bnbn+1．
本题考查数列递推式，考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和，是中档题．
15.【答案】π3；
5+ 7．
【解析】解：(1)由b=2[bcs2(π12−A2)−asinB2csB2]可得b=b[cs(π6−A)+1]−asinB，
所以bcs(π6−A)=asinB．
由正弦定理可得：sinBcs(π6−A)=sinAsinB，因为sinB>0，所以cs(π6−A)=sinA= 32csA+12sinA，
所以sinA= 3csA，
所以tanA= 3，又A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)因为b=3，BC边上的高为3 217，
所以bsinC=3 217，即sinC= 217．
根据正弦定理：asinA=csinC⇒a 32=c 217⇒a= 72c．
由余弦定理：a2=b2+c2−2bccsA=9+c2−3c，
所以74c2=9+c2−3c，
解得c=2，所以a= 7．
所以△ABC的周长为：a+b+c= 7+3+2=5+ 7．
(1)根据正弦定理结合二倍角公式求角A．
(2)根据bsinC=3 217，可求sinC，根据正弦定理asinA=csinC可得a，c的数量关系，再结合余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，可求a，c的值，进而可求△ABC的周长．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式的应用，属于中档题．
16.【答案】14； 15444．
【解析】解：(1)取BC中点O，连接OA，OP，因为三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱，
所以OA，OB，OP两两垂直．
故可以O为原点，建立如图空间直角坐标系．
因为三棱柱ABC−A1B1C1为正三棱柱，且AB=AA1=8，
所以C(−4,0,0)，P(0,8,0)，B1(4,8,0)，N(0,4,4 3)，A(0,0,4 3)，
B(4,0,0)
因为Q为B1N的中点，所以Q(2,6,2 3)．
所以CP=(4,8,0)，CQ=(6,6,2 3)．
设平面CPQ的法向量为n=(x1,y1,z1)，
则CP⊥nCQ⊥n⇒4x1+8y1=06x1+6y1+2 3z1=0，
取n=(2,−1,− 3)，
设M(x0,0,z0)，AM=λAB，
即(x0,0,z0−4 3)=λ(4,0,−4 3)，
所以M(4λ,0,4 3(1−λ))，CM=(4(λ+1),0,4 3(1−λ))．
因为点M在平面CPQ内，所以CM⊥n⇒(4(λ+1),0,4 3(1−λ))⋅(2,−1,− 3)=0，
所以8(λ+1)−12(1−λ)=0⇒λ=15．
所以AMMB=14．
(2)由(1)得：M(45,0,16 35)，所以CM=(245,0,16 35)，
又CB1=(8,8,0)．
设平面B1CM的法向量为m=(x2,y2,z2)，
则m⊥CMm⊥CB1⇒3x2+2 3z2=0x2+y2=0，
取m=(−2,2, 3)．
设二面角B1−CM−P的平面角为θ，
则由图csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=|−4−2−3| 11× 8=9 2244，
所以sinθ= 15444．
(1)建立空间直角坐标系，求平面CPQ的法向量n，利用CM⊥n可确定M点的位置，确定AMMB的值．
(2)利用空间向量求二面角的余弦，再根据同角三角函数的基本关系求二面角的正弦．
本题考查向量法在立体几何中的应用，属于中档题．
17.【答案】−12e；
(−∞,1]．
【解析】解：(1)已知f(x)=ex+e−x2−a(1+x22)(a∈R)，
则f′(x)=ex−e−x2−ax，
∵曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为e2，
∴f′(1)=e−e−12−a=e2，解得a=−12e；
(2)由(1)可得f′(x)=ex−e−x2−ax，令g(x)=f′(x)=ex−e−x2−ax，
则g′(x)=ex+e−x2−a，
若x=0是f(x)的极小值点，则f′(0)=e0−e−02−a×0=0，
则f′(x)在x=0左侧附近小于0，在x=0右侧附近大于0，
这意味着f′(x)在x=0处的导数g′(x)>0，
把x=0代入g′(x)得g′(x)=e0+e−02−a=1−a>0，解得a1时，
令g′(x)=0，即ex+e−x2−a=0，设ex=t(t>0)，
则t+1t2−a=0，整理得t2−2at+1=0，
由一元二次方程求根公式t=2a± 4a2−42=a± a2−1，
∵a>1，∴a+ a2−1>1，00，故−1