江西省上饶市余干县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

这是一份江西省上饶市余干县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求得集合，由，可得，求解即可.
【详解】由，得，解得，所以，
，
由，所以，解得，所以实数的取值范围为.
故选：D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据虚数单位的运算性质化简分母，再对进行化简，最后根据共轭复数的定义求出.
【详解】，其共轭复数.
故选：A.
3. “”是“椭圆的焦点在轴上”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质可求解焦点在轴时，即可根据必要充分条件的定义求解.
【详解】椭圆的焦点在轴上,则，解得，
故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件，
故选：B
4. 某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的分位数是26，则它们的平均数为（ ）
A. 25B. 23C. 21D. 19
【答案】A
【解析】
【分析】先根据百分位数的概念确定的值，再根据等差数列的性质求其平均数.
【详解】因为数列为公差为1的等差数列，且，
所以该组数据的分位数为，由.
根据等差数列的性质，它们的平均数为.
故选：A
5. 在平行四边形中，，，，，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值.
【详解】如图：
以为基底，则，，.
且，，
所以.
故选：D
6. 将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用排列组合，先求出将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中的放法数，再求出4个凹槽与其放入小球编号互不相同的放法数，再利用对立事件的概率公式，即可求出结果.
【详解】将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，共有种放法，
4个凹槽与其放入小球编号互不相同的有种放法，
所以至少有1个凹槽与其放入小球编号相同的概率是.
故选：C.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据内切圆的性质与双曲线的定义，列式化简求解可得，进而求得离心率.
【详解】
设分别切内切圆于，则由双曲线的定义可得，即，
根据内切圆的性质可得，
故，两式相加化简可得，即，故.
故双曲线的离心率为.
故选：C
8. 利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（ ）
A. 有且只有一个极大值点B. 在上单调递增
C. 存在实数，使得D. 有最小值，最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可.
【详解】由，则，
令，则，令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
由函数与复合而成，而在上单调递增；
故在上单调递减，在上单调递增；
所以在处取极小值，且无极大值，
又，故不存在实数，使得.
故ABC错误，D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：应用对数恒等式转化为复合函数是解题关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数，使圆关于直线对称
B. 直线过定点
C. 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点
D. 当时，直线被圆所截弦长为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线是否过圆心判断A的真假；把点代入方程判断B的真假；根据B的结论可判断C的真假；利用几何法求弦长可判断D的真假.
【详解】对A：因为圆的圆心为，因为，所以不存在，使得直线经过圆心，即不存在实数，使圆关于直线对称.故A错误；
对B：因为恒成立，所以直线过定点，故B正确；
对C：因为，所以点在圆：内部，又直线过定点，所以直线与圆必有两个不同的公共点，故C正确；
对D：当时，直线：即.
圆心到直线的距离为：，所以弦长为：，故D正确.
故选：BCD
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在上单调递减
B. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5
C. 若函数的最小正周期为，则
D. 当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据辅助角公式化简fx=2csωx+π4ω>0，即可根据余弦函数的单调性判断A，根据平移的性质，可得求出即可判断B，根据周期公式即可求判断C，由题可求得方程的根计算可判断D.
【详解】由fx=csωx−sinωxω>0可得fx=2csωx+π4ω>0，
对于A，当时，，当时，，
故在上单调递减，A正确；
对于B，将函数的图象向左平移得fx+π4=2csωx+ωπ4+π4ω>0，
则，可得，
解得，故的最小值为5，B正确；
对于C，的最小正周期为，故，解得，故C错误；
对于D，当时，，由可得，
故，
则 ，故，因此，故D错误.
故选：AB
11. 在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，的最小值为
D. 当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】
【分析】当时，点的轨迹为线段，证明平面即可判断选项A正确；
当时，点的轨迹为线段，由平面，得出三棱锥的体积为定值，所以选项B正确；
当时，点的轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，由余弦定理可得选项C错误；
当，时，点为的中点，由，可得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以选项D正确.
【详解】对于A，如图所示，当时，点的轨迹为线段，连接、，可得，，
所以平面，所以，同理可证得，所以平面，所以，所以选项A正确；
对于B，如图所示，取、的中点、，当时，
点轨迹为线段，，，
因为平面，所以到平面的距离，
所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确；
对于C，如图所示，当时，点的轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，
可知，
由余弦定理可得，
所以选项C错误；

对于D，如图所示，当，时，点为的中点，，，
所以，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹长度为，
所以选项D正确
故选：ABD.
【点睛】本题考查空间几何体的线面关系、体积、轨迹等知识，考查空间想象能力与运算求解能力，考查直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若展开式中的常数项为，则实数______.
【答案】1
【解析】
【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程即可求解.
【详解】由二项式展开式的通项为，
令，可得，
代入通项公式可得，解得.
故答案为：1.
13. 已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】先证明函数的对称中心，即，化简不等式得到，然后由导函数得到函数单调性，然后由单调性得到不等式，就不等式即可.
【详解】,
则，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
即函数在上单调递增，
∴，即，∴，
即.
故答案为：.
14. 已知为数列的前项和，，，则的通项公式为______；令，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据的关系即可求解为等差数列，即可求解空1， 根据等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由可得，
当时，，
故，
化简可得，（），
故为等差数列，且公差为1，故，
，故，
故，
故为等比数列且公比为，首项为，
故，
故答案为：，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角的对边分别为，．
（1）求；
（2）若，边上的高为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合二倍角公式求角.
（2）根据，可求，根据正弦定理可得的数量关系，再结合余弦定理，可求的值，进而可求的周长.
【小问1详解】
由，
所以.
由正弦定理可得：，因为，所以.
所以，又，所以.
【小问2详解】
因为，边上的高为，
所以.
根据正弦定理：.
由余弦定理：，
所以或（舍去），所以.
所以的周长为：.
16. 如图，在正三棱柱中，，是的中点，点分别是，的中点，与平面相交于点．
（1）求的值；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用可确定点的位置，确定的值.
（2）利用空间向量求二面角的余弦，再根据同角三角函数的基本关系求二面角的正弦.
【小问1详解】
取中点，连接，，因为三棱柱为正三棱柱，所以，，两两垂直.
故可以为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为三棱柱为正三棱柱，且,
所以,，，，，
因为为的中点，所以.
所以，.
设平面的法向量为，
则，
取，
设，，即，
所以，.
因为点在平面内，所以，
所以.
所以.
【小问2详解】
由（1）得：，所以，又.
设平面的法向量为，
则，取.
设二面角的平面角为，则由图，
所以.
17. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；
（2）若是的极小值点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先对函数进行求导，根据导数值可求得结果；
（2）求导函数，根据极小值点得到原函数为先增后减，导函数值为零，则导函数再次求导函数大于零，据此可求得取值.
【小问1详解】
已知，
根据求导公式，，，
可得，
因为曲线在处的切线的斜率为，
所以，解得；
【小问2详解】
由（1）可得，令
则，
若是的极小值点，则，
则在左侧附近小于0，在右侧附近大于0，
这意味着在处的导数，
把代入得，解得；
当时，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以恒成立，则在上单调递增，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以是的极小值点；
当时，此时，令，
则，此时，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立，
则在上单调递增，
当时，，单调递减；当时，；
所以是的极小值点；
当时，
令，即，设，
则，整理得，
由一元二次方程求根公式，
因为，所以，，
存在，使得在附近，当在到0之间或0到之间时，，单调递减，
此时在两侧不满足左负右正，则不是的极小值点；
综上的取值范围是.
18. 已知点是直线上的动点，为坐标原点，过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）过曲线上一点的直线分别交于两点（异于点），设的斜率分别为．
（Ⅰ）若，求证：直线过定点；
（Ⅱ）若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）（Ⅰ）证明见解析，（Ⅱ）6
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解，
（2）联立直线与抛物线方程可得韦达定理，进而根据斜率公式，化简即可求解（Ⅰ），根据斜率关系可得，进而根据弦长公式以及点到直线的距离得面积的表达式，即可根据导数，求解函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
设，则，
根据可得，故，
【小问2详解】
设直线，
联立与可得，
设,
则y1+y2=4my1y2=−4nΔ=16m2+16n>0，
故，
将代入抛物线方程中可得，
（Ⅰ）若，则，
化简可得，
故，故或，
当时，直线的方程为，故，此时直线经过点，不符合题意，故舍去，
当时，直线的方程为，故，此时直线经过点，故直线过定点；
（Ⅱ）由于的纵坐标均不大于0，则y1y2=−4n≥0Δ=16m2+16n>0，
由，则,
故，
则，
故，
则，
可得，故，
由（Ⅰ）知，故，
故y1y2=−4n≥0Δ=16+16n>0，故，
故，
点到直线的距离为，
故，
记，
则，
当−10,fn单调递增，
故当时，此时取最大值为9
故的面积的最大值6
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19. 2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
（1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
（2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立．
（Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用条件概率的概率公式计算即可得解；
（2）（I）由，运用导数研究其极大值即可.（II）分析每名进入决赛的大学生获得的奖金的期望，解不等式即可.
【小问1详解】
记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛，
则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率.
【小问2详解】
（I）由题意知，，，
则，令，得或1（舍），
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，且极大值为.
（II）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则的可能取值为，
则，
，
，
，
所以，
令，即，整理得，
因为，
易知，所以，即，
又，所以取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出，，利用导数求极值.