江西省上饶市余干县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题

这是一份江西省上饶市余干县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“椭圆的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的分位数是26，则它们的平均数为（ ）
A．25B．23C．21D．19
5．在平行四边形中，，，，，则（ ）
A．1B．C．2D．3
6．将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
8．利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（ ）
A．有且只有一个极大值点B．在上单调递增
C．存在实数，使得D．有最小值，最小值为
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数，使圆关于直线对称
B．直线过定点
C．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点
D．当时，直线被圆所截弦长为2
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递减
B．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5
C．若函数的最小正周期为，则
D．当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则
11．在棱长为2的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的最小值为
D．当，时，若点为四边形（含边界）内一动点，且，则点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若展开式中的常数项为，则实数 .
13．已知函数，则不等式的解集为 ．
14．已知为数列的前项和，，，则的通项公式为 ；令，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若，边上的高为，求的周长．
16．如图，在正三棱柱中，，是的中点，点分别是，的中点，与平面相交于点．
(1)求的值；
(2)求二面角的正弦值．
17．已知函数．
(1)若曲线在处的切线的斜率为，求的值；
(2)若是的极小值点，求的取值范围．
18．已知点是直线上的动点，为坐标原点，过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过曲线上一点的直线分别交于两点（异于点），设的斜率分别为．
（Ⅰ）若，求证：直线过定点；
（Ⅱ）若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值．
19．2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立．
（Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，得，解得，所以，
，
由，所以，解得，所以实数的取值范围为.
故选：D.
2．【答案】A
【详解】，其共轭复数.
故选：A.
3．【答案】B
【详解】椭圆的焦点在轴上,则，解得，
故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件，
故选：B
4．【答案】A
【详解】因为数列为公差为1的等差数列，且，
所以该组数据的分位数为，由.
根据等差数列的性质，它们的平均数为.
故选：A
5．【答案】D
【详解】如图：
以为基底，则，，.
且，，
所以.
故选：D
6．【答案】C
【详解】将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，共有种放法，
4个凹槽与其放入小球编号互不相同的有种放法，
所以至少有1个凹槽与其放入小球编号相同的概率是.
故选：C.
7．【答案】C
【详解】
设分别切内切圆于，则由双曲线的定义可得，即，
根据内切圆的性质可得，
故，两式相加化简可得，即，故.
故双曲线的离心率为.
故选：C
8．【答案】D
【详解】由，则，
令，则，令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
由函数与复合而成，而在上单调递增；
故在上单调递减，在上单调递增；
所以在处取极小值，且无极大值，
又，故不存在实数，使得.
故ABC错误，D正确.
故选：D.
9．【答案】BCD
【详解】对A：因为圆的圆心为，因为，所以不存在，使得直线经过圆心，即不存在实数，使圆关于直线对称.故A错误；
对B：因为恒成立，所以直线过定点，故B正确；
对C：因为，所以点在圆：内部，又直线过定点，所以直线与圆必有两个不同的公共点，故C正确；
对D：当时，直线：即.
圆心到直线的距离为：，所以弦长为：，故D正确.
故选：BCD
10．【答案】AB
【详解】由可得，
对于A，当时，，当时，，
故在上单调递减，A正确；
对于B，将函数的图象向左平移得，
则，可得，
解得，故的最小值为5，B正确；
对于C，的最小正周期为，故，解得，故C错误；
对于D，当时，，由可得，
故，
则 ，故，因此，故D错误.
故选：AB
11．【答案】ABD
【详解】对于A，如图所示，当时，点的轨迹为线段，连接、，可得，，
所以平面，所以，同理可证得，所以平面，所以，所以选项A正确；
对于B，如图所示，取、的中点、，当时，
点的轨迹为线段，，，
因为平面，所以到平面的距离，
所以三棱锥的体积为定值，所以选项B正确；
对于C，如图所示，当时，点的轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，
可知，
由余弦定理可得，
所以选项C错误；

对于D，如图所示，当，时，点为的中点，，，
所以，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹长度为，
所以选项D正确.
故选：ABD.
12．【答案】1
【详解】由二项式展开式的通项为，
令，可得，
代入通项公式可得，解得.
故答案为：1.
13．【答案】
【详解】,
则，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
即函数在上单调递增，
∴，即，∴，
即.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】由可得，
当时，，
故，
化简可得，（），
故为等差数列，且公差为1，故，
，故，
故，
故为等比数列且公比为，首项为，
故，
故答案为：，
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
所以.
由正弦定理可得：，因为，所以.
所以，又，所以.
（2）因为，边上的高为，
所以.
根据正弦定理：.
由余弦定理：，
所以或（舍去），所以.
所以的周长为：.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）取中点，连接，，因为三棱柱为正三棱柱，所以，，两两垂直.
故可以为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为三棱柱为正三棱柱，且,
所以,，，，，
因为为的中点，所以.
所以，.
设平面的法向量为，
则，
取，
设，，即，
所以，.
因为点在平面内，所以，
所以.
所以.
（2）由（1）得：，所以，又.
设平面的法向量为，
则，取.
设二面角的平面角为，则由图，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知，
根据求导公式，，，
可得，
因为曲线在处的切线的斜率为，
所以，解得；
（2）由（1）可得，令
则，
若是的极小值点，则，
则在左侧附近小于0，在右侧附近大于0，
这意味着在处的导数，
把代入得，解得；
当时，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以恒成立，则在上单调递增，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以是的极小值点；
当时，此时，令，
则，此时，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立，
则在上单调递增，
当时，，单调递减；当时，；
所以是的极小值点；
当时，
令，即，设，
则，整理得，
由一元二次方程求根公式，
因为，所以，，
存在，使得在附近，当在到0之间或0到之间时，，单调递减，
此时在两侧不满足左负右正，则不是的极小值点；
综上的取值范围是.
18．【答案】(1)
(2)（Ⅰ）证明见解析，（Ⅱ）6
【详解】（1）设，则，
根据可得，故，
（2）设直线，
联立与可得，
设,
则，
故，
将代入抛物线方程中可得，
（Ⅰ）若，则，
化简可得，
故，故或，
当时，直线的方程为，故，此时直线经过点，不符合题意，故舍去，
当时，直线的方程为，故，此时直线经过点，故直线过定点；
（Ⅱ）由于的纵坐标均不大于0，则，
由，则,
故，
则，
故，
则，
可得，故，
由（Ⅰ）知，故，
故，故，
故，
点到直线的距离为，
故，
记，
则，
当单调递增，
故当时，此时取最大值为9
故的面积的最大值6
19．【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛，
则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率.
（2）（I）由题意知，，，
则，令，得或1（舍），
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，且极大值为.
（II）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则的可能取值为，
则，
，
，
，
所以，
令，即，整理得，
因为，
易知，所以，即，
又，所以的取值范围为.