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    2024-2025学年天津市河西区新华中学高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)

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    2024-2025学年天津市河西区新华中学高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)

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    这是一份2024-2025学年天津市河西区新华中学高二(上)第一次月考数学试卷(含答案),共7页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.直线l的方向向量为(1,−1),则该直线的倾斜角为( )
    A. π4B. π3C. 3π4D. 2π3
    2.已知a=(1,2,−y),b=(x,1,2),且(a+2b)//(2a−b),则( )
    A. x=13,y=1B. x=12,y=−4C. x=2,y=−14D. x=1,y=−1
    3.已知空间向量a=(2,−1,2),b=(1,−2,1),则向量a在向量b上的投影向量是( )
    A. (43,−23,43)B. (2,−1,2)C. (23,−43,23)D. (1,−2,1)
    4.若直线y=x+2k+1与直线y=−12x+2的交点在第一象限,则实数k的取值范围是( )
    A. (−52,12)B. (−25,12)C. [−52,−12]D. [−52,12]
    5.设a∈R,则“直线ax+y−1=0与直线x+ay+1=0平行”是“a=1”的( )
    A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
    6.已知点A(2,2),B(−1,3),若直线kx−y−1=0与线段AB有交点,则实数k的取值范围是( )
    A. (−∞,−4]∪[32,+∞) B. [−4,32] C. (−∞,−4]∪[32,+∞) D. (−4,32)
    7.如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,BC1与B1C相交于点O,∠A1AB=∠A1AC=60°,∠BAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,则线段AO的长度为( )
    A. 292 B. 29
    C. 232 D. 23
    8.在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,1),B(0,1,0),C(1,2,3),则点C到直线AB的距离为( )
    A. 32B. 3C. 2D. 2 2
    9.如图,在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1=λAB,点E,F,G分别是BC,CD,CC1的中点,点M是线段A1D上的动点,则下列说法错误的是( )
    A. 当λ>1时,存在M,使得CM⊥平面EFG
    B. 存在M,使得AM//平面EFG
    C. 存在M,使得平面MBC1//平面EFG
    D. 存在λ,使得平面MB1C⊥平面EFG
    二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。
    10.已知两条平行直线l1:x−2y+1=0,l2:mx−y+n=0间的距离为 5,则|2m−2n|= ______.
    11.已知PA=(2,1,−3),PB=(−1,2,3),PC=(7,6,λ),若P,A,B,C四点共面,则λ= .
    12.直线(2t−3)x+2y+t=0不经过第二象限,则t的取值范围是______.
    13.向量a=(1,2,3),b=(−2,−4,−6),|c|= 14,若(a+b)⋅c=−7,则a与c的夹角为______.
    14.在四棱锥P−ABCD中,设向量AB=(4,−2,3),AD=(−4,1,0),AP=(−6,2,−8),则顶点P到底面ABCD的距离为______
    15.已知直线l1:(a−4)x−3y+1=0和l2:3x−(b+1)y+5=0垂直且a>0,b>0,则2a+12b的最小值为______.
    三、解答题:本题共3小题,共40分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    16.(本小题12分)
    如图.在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是矩形.AB长为2.AD长为1,侧棱PA的长为 2,且PA与AB,AD的夹角都等于45°,M是PC的中点,设AB=a,AD=b,AP=c.

    (1)试用a,b,c表示向量BM;
    (2)求直线BM与DB夹角的余弦值.
    17.(本小题13分)
    △ABC中A(3,−1),AB边上的中线CM所在直线方程为6x+10y−59=0,∠B的平分线方程BT为x−4y+10=0.
    (1)求顶点B的坐标;
    (2)求直线BC的方程.
    18.(本小题15分)
    在四棱锥P−ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,CD=AD=12AB,∠PAD=45°,E是PA的中点,G在线段AB上,且满足CG⊥BD.
    (1)求证:DE//平面PBC;
    (2)求平面PGC与平面BPC夹角的余弦值;
    (3)在线段PA上是否存在点H,使得GH与平面PGC所成角的正弦值是 33,若存在,求出AH的长;若不存在,请说明理由.
    参考答案
    1.C
    2.B
    3.D
    4.A
    5.B
    6.A
    7.A
    8.B
    9.A
    10.5
    11.−9
    12.[0,32]
    13.π3
    14.2
    15.32
    16.解:在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是矩形.AB长为2.AD长为1,侧棱PA的长为 2,且PA与AB,AD的夹角都等于45°,
    设AB=a,AD=b,AP=c.
    (1)因为M是PC的中点,所以BM=12(BC+BP)=12(AD+AP−AB)=−12a+12b+12c.
    (2)根据题意可知|b|=1,|c|= 2,|a|=2,
    ∵a⋅b=|a||b|cs90°=0,b⋅c=|b||c|cs45°=1,
    |a|=2a⋅c=|a||c|cs45°=2,
    |BM|2=14(−a+b+c)2=14[a2+b2+c2+2(−a⋅b−a⋅c+b⋅c)]=14[4+1+2+2(0−2+1)]=54,
    则|BM|= 52,
    DB=AB−AD=a−b,
    BM⋅DB=(−12a+12b+12c)(a−b)=12(−a2+2a⋅b−b2+a⋅c−b⋅c)=−2,
    |DB|2=(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=5,|DB|= 5,
    cs〈BM,DB〉=BM⋅DB|BM||DB|=−2 52× 5=−45,
    所以直线BM与DB夹角的余弦值为45.
    17.解:(1)设B(x0,y0),则AB的中点M(x0+32,y0−12)在直线CM上.
    ∴6×x0+32+10×y0−12−59=0,
    ∴3x0+5y0+4−59=0,
    即3x0+5y0−55=0,①
    又点B在直线BT上,则x0−4y0+10=0,②
    由①②可得x0=10,y0=5,即B点的坐标为(10,5).(5分)
    (2)设点A(3,−1)关于直线BT的对称点D的坐标为(a,b),
    则点D在直线BC上.
    由题知b+1a−3×14=−1a+32−4×b−12+10=0,
    得a=1b=7,∴D(1,7).(7分)
    kBC=kBD=7−51−10=−29,(8分)
    ∴直线BC的方程为y−5=−29(x−10),即2x+9y−65=0.(10分)
    18.证明:(1)由题意,设DA=1,因为PD⊥平面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别是x,y,z轴建立空间直角坐标系D−xyz,如图所示,

    则CD=AD=12AB=1,而∠PAD=45°,易知∠PDA=90°,于是PD=DA=1,
    又E是PA的中点,故D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E(12,0,12),
    所以BC=(−1,−1,0),CP=(0,−1,1),
    设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则m⋅BC=0m⋅CP=0,即−x−y=0−y+z=0,
    令y=1,则x=−1,z=1,∴m=(−1,1,1),
    又DE=(12,0,12),∴m⋅DE=−1×12+0+1×12=0,∴m⊥DE,DE不在平面PBC内,
    ∴DE/​/平面PBC.
    解:(2)设点G坐标为(1,t,0),则CG=(1,t−1,0),DB=(1,2,0),
    由CG⊥BD得CG⋅DB=1+2(t−1)=0⇒t=12,∴G(1,12,0),
    设平面GPC的法向量为n=(a,b,c),CG=(1,−12,0),
    由n⋅CP=0n⋅CG=0得−b+c=0a−12b=0,令a=1,则n=(1,2,2),
    则cs〈m,n〉=m⋅n|m|×|n|=33 3= 33,
    由图可知,平面GPC与平面PBC夹角的余弦值为 33.
    (3)AP=(−1,0,1),设AH=λAP=(−λ,0,λ),λ∈[0,1],GA=(0,−12,0),
    ∴GH=GA+AH=(−λ,−12,λ),∴cs=GH⋅n|GH||n|=2λ−23 (8λ2+1),
    ∵GH与平面PGC所成角的正弦值为 33,∴|2λ−23 8λ2+1|= 33,
    整理得:20λ2+8λ−1=0,解得:λ=110,λ=−12(舍),
    ∴存在满足条件的点H,AH=(−110,0,110),且AH= 210.

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