天津市新华中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷

这是一份天津市新华中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法的正确的是( )
A. 经过定点的直线都可以用方程表示
B. 经过定点的直线都可以用方程表示
C. 不经过原点的直线都可以用方程表示
D. 经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示
2.以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
3.若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
4.如图，在空间四边形OABC中，点E为BC中点，点F在OA上，且 ，则等于( )
A. B.
C. D.
5.已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
6.直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知是圆内异于圆心的一点，则此直线与该圆( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
8.若直线l经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则直线l的条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.直线l的方程为，当原点O到直线l的距离最大时，的值为( )
A. B. C. 1D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.与圆同圆心且过点的圆的方程是______.
11.若直线与直线平行，则______.
12.已知直线：，：，则与的距离______.
13.已知空间向量，，那么在上的投影向量为______.
14.在棱长为1的正方体中，E为BC中点，则点到直线的距离为______.
15.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点是______.
三、解答题：本题共3小题，共31分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题9分
已知直线m：，n：
若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
17.本小题10分
已知点，圆：
若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值；
求过点M的圆的切线方程.
18.本小题12分
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，，且
求证：平面PDC；
求平面CPB与平面PBQ所成角的大小；
已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，试确定点H的位置.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点的直线不可以用方程表示．
选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点的直线不可以用方程表示．
选项C不正确，当直线和x 轴垂直或者与 y轴垂直时，不经过原点的直线不可以用方程表示．
选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程表示．
故选：
逐一分析研究各个选项，通过举反例等手段，排除不正确的选项，特别注意直线斜率不存在或者截距等于0的情况．
本题考查直线方程的适用范围，特别注意直线斜率不存在或者截距等于0的情况．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理、正交分解及坐标表示，属简单题
结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可
【解析】
解：若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，
对于选项A，因为：，，，
则，
即向量，，共面，
故选项A中的三个向量不能构成空间基底，
对于选项B，C，D中的三个向量均不共面，即能够构成空间的基底，
故选：
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，直线直线过第一、三、四象限，则直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，
则，，
故选：
根据题意，分析可得直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，分析可得答案．
本题考查直线的一般式方程，关键是利用函数所过的象限分析直线的斜率、截距的关系，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量的三角形法则、空间向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用，然后进一步转化即可得出．
【解答】
解：
故选
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得：直线l的斜率，
即直线l的倾斜角为
故选：
由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可．
本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由得：，
故直线和交点B的坐标为，
直线与y轴交点C的坐标为，
直线与x轴交点A的坐标为，
故的面积为：，
的面积：，
故四边形的面积，
故选：
求出直线和交点B的坐标，及直线与y轴交点C和直线与x轴交点A的坐标，分别计算和的面积可得答案．
本题考查的知识点是直线的一般式方程，直线的交点，难度不大，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：圆心到直线的距离，
点M在圆内，且异于圆心，
，
，
故直线与圆相离．
故选
表示出圆心到直线的距离，比较与半径的大小的比较．
本题主要考查了直线与圆的位置关系．主要是看圆心到直线的距离与圆的半径大小关系来判断．
8.【答案】C
【解析】解：设直线l的截距式为，
直线l经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，
，，
解得， 或，
直线l的条数为
故选：
设直线l的截距式为，直线l经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，可得，，解出即可．
本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解；由可得，
令，解得，
故直线l过定点，
当时，原点O到l的距离最大，
因为，
所以直线l的斜率为，即，解得，
故选：
首先求出直线l过定点，然后当时，原点O到l的距离最大，即可求解．
本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：将圆的方程化为标准式可得，
即圆的圆心坐标为，
则所求圆的方程为，
故答案为：
由圆的一般方程及圆的标准方程，结合已知条件求解即可．
本题考查了圆的一般方程及圆的标准方程，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：由直线与直线平行，
则，
解得，
验证：时两条直线重合，舍去，
故答案为：
由直线与直线平行，可得，解得a，并且经过验证即可得出．
本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为：，
则与的距离
故答案为：
根据平行线距离公式直接计算即可．
本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为空间向量，，
所以在上的投影向量为
故答案为：
直接利用在上的投影向量的计算公式求解即可．
本题考查了空间向量的坐标运算，向量投影向量的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：连接，则，
平面，，
，
设到直线的距离为h，则，
即，解得，
即点到直线的距离为
故答案为：
在中，利用面积法计算到直线的距离．
本题考查了点到直线的距离计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：已知点，点，可得中点
则
线段AB的垂直平分线为：，
化为
设点关于直线的对称点为，
则，解得
与点重合的点是
故答案为：
利用线段的垂直平分线的性质可得线段AB的垂直平分线即可得出．
本题考查了线段的垂直平分线的性质，属于基础题．
16.【答案】解：设原点O到直线m的距离为d，则，解得或；
由解得，即m与n的交点为
当直线l过原点时，直线l的方程为；
当直线l不过原点时，设l的方程为，将代入得，
所以直线l的方程为
故满足条件的直线l的方程为或
【解析】根据直线方程的性质即可逐项求解．
本题考查直线方程的性质，属于基础题．
17.【答案】解：根据题意，圆：，圆心为，半径，
若弦AB的长为，则圆心到直线的距离，
又由圆心为，直线，
则有，解得；
根据题意，分2种情况讨论：
当切线斜率不存在时，其方程为，与圆相切，符合条件，
当切线斜率存在时，设其方程为，
圆心到它的距离，解得，切线方程为，
所以过点M的圆的切线方程为或
【解析】由直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离d，结合点到直线的距离公式可得，解可得a的值，即可得答案；
根据题意，分切线的斜率是否存在2种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案．
本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属基础题．
18.【答案】解：证明：四边形ABCD是正方形，
，平面PDC，平面PDC，
平面PDC，
四边形ADPQ是梯形，，平面PDC，平面PDC，
平面PDC，
平面ABQ，平面ABQ，，
平面平面DCP，
平面ABQ，
平面
，即，，又，
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面PBC的法向量，
则，取，得，，得，
设平面PBQ的法向量，
则，取，，，得，
设二面角的大小为，由图形得为钝角，
则，
为钝角，，
二面角的大小为，
平面CPB与平面PBQ所成角的大小为
点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，
设，，则，，，，
，
解得，线段DH的长为，又，
即，
为线段PD的四等分点靠近P点
【解析】先证明平面平面DCP，再根据面面平行的性质可得平面PDC；
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果；
根据异面直线的向量公式可求出结果．
本题主要考查线面平行的证明，二面角的相关计算，点面距离的计算等知识，属于中等题．