2024-2025学年天津市第二南开学校高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市第二南开学校高一下学期第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简AE+EB−CB等于( )
A. ABB. BAC. 0D. AC
2.已知O为坐标原点，点A(1,0)，B(3,4)，M是线段AB的中点，那么向量OM的坐标是( )
A. 52,32B. (2,2)C. 32,52D. 12,72
3.在▵ABC中，已知角A=π4，B=π3，边AC= 3，则边BC=( )
A. 2B. 3C. 1D. 6
4.如图，已知AP=43AB，用OA,OB表示OP，则OP等于( )
A. 13OA−43OBB. 13OA+43OBC. −13OA+43OBD. −13OA−43OB
5.已知向量a=3,4，b=1,0，c=a−tb，若a⊥c，则t=( )
A. 73B. 253C. 3D. 0
6.在▵ABC中，AB+AC=AB−AC,AB=4,AC=3，则BC在AB方向上的投影向量是( )
A. ABB. ACC. BAD. CA
7.由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是( )
A. a=20，b=11，A=30 ∘，有两解B. c=2，b= 2，B=30 ∘，有两解
C. a=8，b=16，A=30 ∘，有两解D. b=2，c=30，A=45 ∘，无解
8.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB−sinAsinC+csC=0，a=2,c=2 2，则b为( )
A. 2B. 3C. 2D. 2 2
9.在ΔABC中，点P满足BP⇀=3PC⇀，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AM⇀=λAB⇀，AN⇀=μAC⇀λ>0,μ>0，则λ+μ的最小值为
A. 22+1B. 32+1C. 32D. 52
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.已知向量a与b的夹角为60 ∘，且a=3，b=4，则a⋅b的值为 ．
11.已知向量a=m,2且m≠0，b= 3,1，若向量a与向量b的夹角是120 ∘，则m的值是 ；向量a在向量b上的投影向量的坐标是 ．
12.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π3，且▵ABC的面积为2 3，a+c=6，则b= ．
13.在▵ABC中，|AB|=4,|AC|=2,S▵ABC=2 3，则AB⋅AC= ．
14.如图，在▵ABC中，AB=a，AC=b，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，且AE=2EB.若BP=xa+yb，则x+y= ；若AB=3，AC=4，∠BAC=π3，则BP•ED= ．
15.已知在▵ABC中，AB=2，AC=3，且|3λAB+2(1−λ)AC|的最小值为3，则∠BAC= ，若P为AB边上任在一点，则PB⋅PC的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知向量a 和b，则a=2，b=2，⟨a,b⟩=60 ∘ 求：
(1)a⋅b的值；
(2)2a+b的值；
(3)2a+b与b 的夹角θ的余弦值．
17.已知向量a=3,2，b=x,−1．
(1)当a+2b⊥2a−b且x>0时，求a−b；
(2)当c=−8,−1，a与b+c夹角为钝角，求x范围．
18.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=3 2，c= 3，csA= 33．
(1)求sinB的值；
(2)求▵ABC的面积．
19.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2 6,CD= 6,csA= 63,cs∠ADB=13，
(1)求cs∠ABD；
(2)求BC的长．
20.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若m⊥n，其中m= 3a,sinA,n=csB,−b，
(1)求角B的大小；
(2)若a0，故x=6，
此时a=3,2，b=6,−1，故a−b=−3,3，则a−b= 32+32=3 2，
(2)c=−8,−1，b+c=(x−8,−2)，
由a//(b+c)，可得3×(−2)−2×(x−8)=0，解得x=5，
由a⋅(b+c)=3x−8−4