福建省莆田市城厢区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份福建省莆田市城厢区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，的半径为6，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于两点，则弦的长为（ ）
A. 3B. C. D. 6
5. 某品牌新能源汽车2022年的销售量为28万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2024年的销售量比2022年增加了36.6万辆．如果设从2022年到2024年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 该函数图象在一、三象限
B 当时，随增大而减小
C. 若在该函数图象上，则
D. 若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有
7. 如图，在一张纸片中，，，，是它内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）

A. 19B. 17C. 22D. 20
8. 如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连接对角线，线段分别与和相交于点，．下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
9. 图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ）

A. B. C. D.
10. 二次函数的图象过，两点，其中，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 若时，则
B. 若时，则
C. 若时，则
D. 若时，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 点关于原点对称的点的坐标是________．
12. 体育课篮球项目中，“投篮命中率”是一项重要的考核指标．如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为_____．
13. 如图，A是反比例函数上任意一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA，若△OAB的面积为4，则k是的值为______．
14. 若一个二次函数的对称轴为直线，则该二次函数的解析式可以是_____（写出一个符合题意的解析式）．
15. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如右图所示），根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为_____．
16. 如图，在中，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则最大值是_____．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17 解方程：．
18. 如图，AE平分，DAE上一点，．
（1）求证：；
（2）若D为AE中点，，求CD的长．
19. 团体操是集体表演的体操项目，它和音乐、舞蹈、美术有密切的联系，打破学科壁垒，加强协同育人，全面提升学生素质．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，若增加的行、列数相同，则增加了多少行?
20. 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知抛物线过点，顶点为．抛物线．
（1）求的值和点的坐标．
（2）求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上．
22. 如图，平面直角坐标系中，，，，．已知线段绕着点顺时针旋转得到线段，其中是点的对应点．
（1）用尺规作图的方法确定旋转中心，并直接写出点的坐标；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若以为圆心的圆与直线相切，求的半径．
23. 某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：闽中革命烈士陵园，闽中游击区革命纪念馆，闽中支队司令部旧址，澳柄宫革命旧址，每名学生只能任意选择一条线路．
（1）晓红选择线路的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求晓红和小明选择同一线路的概率．
24. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为（单位：），如果在离水面竖直距离为（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系式为．
应用思考：现用高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离处开一个小孔．
（1）写出与的关系式；并求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少?
（2）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程达到，求垫高的高度．
25. 如图，在中，于点于点，线段与交于点．的外接圆与的延长线交于点，点是上的点，且满足，连接BH，FH．
（1）求证：；
（2）请判断四边形的形状，并证明结论；
（3）已知的直径长为，当，时，求弦的长度．
城厢区2024-2025学年度上学期期末试卷
九年级数学
（满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180度后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意；
D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、中，未知数的次数是1，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、中，含有分式，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：B．
3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，易证，得到相似比，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴和周长之比为，
故选：D．
4. 如图，的半径为6，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于两点，则弦的长为（ ）
A. 3B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，得到是等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：连接，
，
是等边三角形，
．
故：D．
5. 某品牌新能源汽车2022年的销售量为28万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2024年的销售量比2022年增加了36.6万辆．如果设从2022年到2024年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．设年平均增长率为x，根据2022年的销售量为28万辆，到2024年销量增加了36.6万辆列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得
，
故选：D．
6. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 该函数图象在一、三象限
B. 当时，随增大而减小
C. 若在该函数图象上，则
D. 若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意；
、当时，随增大而增大，故不符合题意;
、若在该函数图象上，则，故符合题意；
、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意；
故选：.
7. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）

A 19B. 17C. 22D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，
∴四边形是正方形，

由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故选：D．
8. 如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连接对角线，线段分别与和相交于点，．下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形的内角和问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识．根据题意可得正五边形的内角和等于180°，从而得到，，从而得到，再由三角形的内角和定理可得，据此分别求解即可判断．
【详解】解：五边形是正五边形，
∴内角和为，
，，
，
，
，，
，
，故A正确，不符合题意；
同理，
，故B正确，不符合题意；
，，
，故D正确，不符合题意；
∵，，
∴，故C错误，符合题意；
故选：C．
9. 图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可．
详解】∵四边形中，，，
∴，
∵车轮直径为24英寸，约，
∴需要的铁皮面积约是，
故选A．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
10. 二次函数的图象过，两点，其中，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 若时，则
B. 若时，则
C. 若时，则
D. 若时，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出对称轴，进而求出抛物线与轴交于点，求出其关于对称轴的对称点为，根据二次函数的增减性，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，抛物线与轴交于点，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，在抛物线上，且，
①当时，则：，
当时，则：，如图：
∴，
∴，
∴，
当时，则：，如图：
∴，
∴，
∴，
②当时，则，
当时，则：，如图：
∴，
∴，
∴，
当时， 则：，如图：
∴，
∴，
∴；
综上，选项A错误，选项B正确；
当时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵可能大于也可能小于，则：或，故选项C错误；
当时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵可能大于也可能小于，则：或，故选项D错误；
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标；根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数得出答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 体育课篮球项目中，“投篮命中率”是一项重要的考核指标．如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率的知识．根据频率估计概率的方法结合图示的数据可得答案．
【详解】解：这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为．
故答案为：．
13. 如图，A是反比例函数上任意一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA，若△OAB的面积为4，则k是的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据反比例系数k的几何意义求得k即可．
【详解】解：设A点坐标为（x，y），
∴ ，
∵图象在第一、三象限，
∴k=8．
故答案为：k=8．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，利用三角形的面积求解是解题的关键．
14. 若一个二次函数的对称轴为直线，则该二次函数的解析式可以是_____（写出一个符合题意的解析式）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的图象的对称轴为直线，写出二次函数的顶点式即可．
【详解】解：由题意，对称轴为直线，
这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
15. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如右图所示），根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是圆锥的侧面积．先利用勾股定理求得母线长，进而根据侧面积公式，即可求解．
【详解】解：图知圆锥的高为，圆锥的底面直径为，即底面半径为，
∴圆锥的母线长为，
∴圆锥模型的侧面积为（），
故答案为：．
16. 如图，在中，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】设与直线切点为，连接，，，则，作，，垂足分别为，，证明，可列比例关系，则，证明，推出，进而可得．
【详解】解：设与直线切点为，连接，，，则，作，，垂足分别为，，如图，
∵，，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查切线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，利用相似三角形的性质列比例式得是解决问题得关键．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法－因式分解法．根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤解答即可．
【详解】解：，
因式分解得，
则或，
解得，．
18. 如图，AE平分，D为AE上一点，．
（1）求证：；
（2）若D为AE中点，，求CD的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）CD的长为2．
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定定理即可证明；
（2）由中点的定义可得，再由（1）中结论相似三角形的性质即可得．
【详解】解：（1）证明∵AE平分，
∴，
在与中，
∵，
，
∴；
（2）∵D为AE中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴CD的长为2．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线和线段中点的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
19. 团体操是集体表演的体操项目，它和音乐、舞蹈、美术有密切的联系，打破学科壁垒，加强协同育人，全面提升学生素质．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，若增加的行、列数相同，则增加了多少行?
【答案】增加了3行．
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设增加了x行，则增加的列数为x，用增加后的总人数−原队伍的总人数列出方程求解即可．
【详解】解：设增加了x行，则增加的列数为x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：增加了3行．
20. 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）且；
（2）不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0．见解析
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系．
（1）由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；
（2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
【小问1详解】
解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且；
【小问2详解】
解：不存在
假设存在，设方程的两根分别为、，则，．
，
．
且，
不符合题意，舍去．
假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
21. 已知抛物线过点，顶点为．抛物线．
（1）求的值和点的坐标．
（2）求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上．
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可得出，从而得出抛物线的解析式，再化为顶点式即可得解；
（2）求出平移后的坐标为，再求出当时，的值，即可得证．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线，
∴；
【小问2详解】
证明：将向左平移个单位长度得到对应点的坐标为，
当时，，
∴在抛物线上．
22. 如图，平面直角坐标系中，，，，．已知线段绕着点顺时针旋转得到线段，其中是点的对应点．
（1）用尺规作图的方法确定旋转中心，并直接写出点的坐标；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若以为圆心的圆与直线相切，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为．
【解析】
【分析】本题考查作图，相似三角形的判定和性质，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）作相对，的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P即为所求；
（2）作于E，证明，利用相似三角形的性质求出即可．
【小问1详解】
解：如图点P即为所求．
；
【小问2详解】
解：作于E，
由（1）得，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵以P为圆心的圆与直线相切，
∴的半径为．
23. 某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：闽中革命烈士陵园，闽中游击区革命纪念馆，闽中支队司令部旧址，澳柄宫革命旧址，每名学生只能任意选择一条线路．
（1）晓红选择线路的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求晓红和小明选择同一线路的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数．
（1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比；
（2）根据列表法即可求得概率．
【小问1详解】
解：依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同．
晓红选择线路A的概率为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：依题意，列表可得
由列表可得，共有16种等可能性结果，其中相同线路的可能结果有4种，
小明和晓红选择同一线路的概率为．
24. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为（单位：），如果在离水面竖直距离为（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系式为．
应用思考：现用高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离处开一个小孔．
（1）写出与的关系式；并求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少?
（2）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程达到，求垫高的高度．
【答案】（1），当时，有最大值为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入即可求解解析式，以及求最值；
（2）设垫高的高度为m，写出此时关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∴，即，
∵，，
∴当时，有最大值为，
即当时，有最大值为；
【小问2详解】
解：设垫高的高度为，
则，
∵
当时，，
∴，
∴垫高．
25. 如图，在中，于点于点，线段与交于点．的外接圆与的延长线交于点，点是上的点，且满足，连接BH，FH．
（1）求证：；
（2）请判断四边形的形状，并证明结论；
（3）已知的直径长为，当，时，求弦的长度．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，理由见解析
（3）的值为．
【解析】
【分析】（1）根据等角的余角相等，求得，即可证明结论成立；
（2）根据同弧所对圆周角相等，可得，推出，结合（1）的结论，可得，推出，由此即可证明四边形是平行四边形；
（3）连接，，过点作于点，并反向延长交于点，过点作于点，运用等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质可得，由题意设，，，运用矩形的判定和性质可得，，，根据圆的基础知识可得，并运用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形，理由如下，
在中，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
解：如图所示，连接，，过点作于点，并反向延长交于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∴是的直径，即，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，且，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴设，
∴，，
在中，，即
∴，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，则，
在中，，，
∴，
在，中，点是的中点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，且，，
∴四边是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵是直径，
∴，
在中，，，
∴，
∴值为．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆的基础知识，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用是解题的关键．
小明\晓红
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B
C
D
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B
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