福建省莆田市城厢区顶墩实验学校2024—2025学年上学期期中质量检测九年级数学试题（解析版）-A4

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．）
1. 下列四个图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．根据中心对称图形的概念求解即可作答．．
【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．
一元二次方程必须满足以下条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．同时满足以上四个条件的方程就是一元二次方程．据此进行判断即可．
【详解】解：、方程可以转化为，是一元二次方程的一般形式，故本选项正确；
、不是整式方程，故本选项错误；
、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
、中未知项最高次数是3，故本选项错误；
故选：．
3. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠B=60°，则∠C′等于 （ ）
A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°
【答案】D
【解析】
【详解】∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠C′=∠C=180°-40°-60°=80°
故选：D.
4. 已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算出自变量为-2、-1和3的函数值，然后比较函数值的大小．
【详解】解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，
∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
5. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（ ）
A. 4.5B. 8C. 10.5D. 14
【答案】B
【解析】
【详解】∵DE∥BC，
∴．
又∵AE=6，，
∴．
∴EC=8，
故选：B．
6. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法依次判断即可．本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
A.若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故A选项正确，不符合题意；
B. 若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故B选项正确，不符合题意；
C. 若添加，则不能得出，故C选项错误，符合题意；
D. 若添加，则根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” 可得，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴是直线B. 当时，随的增大而减小
C. 最小值是D. 图象与轴没有交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，再逐一判断即可．
【详解】解：对于二次函数，则对称轴是直线，顶点坐标为，
，
开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，最大值为，
∴图象与轴没有交点，
故A，B，C选项错误，D选项正确，
故选：D．
8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：，
故选：A．
9. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】C
【解析】
【分析】分别将两个三角形的三个顶点与B，C，D，三角相连，判断连线是否长度相等，围成角度是否相等，如果都相等则是旋转中心．
【详解】解，连接FC，PC，
由图可知， ，且，
连接EC，RC，
由图可知， ，且，
连接GC，QC，
由图可知， ，且，
故点C为旋转中心，
故选：C．
【点睛】本题考查图形的旋转，能够判断旋转中心是解决本题的关键．
10. 已知点A、B的坐标分别为,若顶点在x轴下方的二次函数的图象与线段恰好只有一个交点，则a的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题是二次函数的图象与性质，用分类讨论和数形结合的数学思想是解答本题的关键．根据题意，当二次函数顶点在x轴下方时，画图象，列出不等式组即可求解．
【详解】解：若当时，且当时，，即，
解得此不等式组无解；
若当时，且当时，，即，
解得：；
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
13. 已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积之比为．
故答案为：．
14. 如图，是一个杠杆，可绕支点自由转动，当处于图中的位置时，点到点的水平距离，点到点的水平距离，若已知杠杆的段长为2.5，则杠杆的段长为___________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，从实际问题中抽离出数学图形是解题的关键．证明，从而得到，代入数值即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，段长为2.5，
∴，
∴．
故答案为：5．
15. 函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是___________．
【答案】
【解析】
【分析】主要考查了二次函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，先确定物线的顶点坐标为，再把点平移所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：函数的顶点坐标为，向右平移1个单位，再向下平移2个单位顶点坐标为，所以平移后的抛物线解析式为．
16. 如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接，，，与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的结论有__________________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
垂直平分，
，，
∵，
∴，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故①正确；
，，
，
，故②正确；
∵，
∴，
，
，故③错误，
设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积，
的面积为，
．故④错误，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
三、解答题（本大题共8小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【详解】解：原方程变形为
∴，．
【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则．
18. 二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（2，﹣9），且当x=﹣1时，y=0，
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的顶点坐标．
【答案】（1）y=x2﹣4x﹣5；（2）（2，﹣9）
【解析】
【分析】（1）将（2，-9）、（-1，0）代入y=x2+bx+c，利用待定系数法即可确定二次函数的解析式；
（2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标．
详解】（1）将（2，﹣9）、（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，
得：
解这个方程组，得，
所以所求二次函数的解析式是y=x2﹣4x﹣5；
（2）y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
所以顶点坐标是（2，﹣9）．
【点睛】此题考查二次函数解析式，解题关键在于掌握待定系数法求二次函数解析式.
19. 已知关于x的方程．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式即可验证；
（2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解．
【小问1详解】
证明：根据题意可知：，
∴方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：由题意得：
∴，
解得
【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．
20. 如图，，相交于点O，．
（1）求证：；
（2）已知，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）对顶角相等得到，结合，即可得出；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，又，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，，
∴，解得
21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中
（1）以点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍，得到，请在网格中面出；
（2）直接写出D、E、F的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了位似的作图和点的坐标．
（1）根据位似的作图方法找到的对应点，顺次连接即可；
（2）写出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
【小问2详解】
D、E、F的坐标分别为．
22. 如图，中，，过点C作垂直斜边于点D．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．
（1）由，即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，即可求出线段的长．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
【小问2详解】
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
23. 金秋十月，硕果累累，莆田某村文旦柚今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱文旦柚的售价为60元时，每天可卖出120箱，由于水果不易储存，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱文旦柚成本为44元，设每箱文旦柚降价x元．
（1）当每箱文旦柚售价降低1元时，求此时的利润为多少；
（2）设每天销售文旦柚可获利w元，当x为多少时，w最大，并求出最大值．
【答案】（1）元；
（2）x为2时w最大，最大值为1960
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，列出函数解析式是解题的关键；
（1）根据售价减去成本，再减去降价部分，即可得到答案；
（2）根据题意得w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可得，（元）．
答：当每箱文旦柚售价降低1元时，求此时的利润为元；
【小问2详解】
解：由题意得：，
即，
配方得：，
由于二次项系数为负数，则当时，利润最大，最大利润为1960元；
答：x为2时w最大，最大值为1960．
24. 【问题呈现】
某数学兴趣小组在完成上面题目的解答后，做了如下探究．
【问题探究】如图②，在四边形中，点P在边上（P不与点A、B重合），当时，，你同意这个结论吗？请说明理由．
【知识应用】如图③，在矩形中，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若是直角三角形，求的长．
【答案】[问题探究]同意，理由见解析；[知识应用] 6或或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，正确识别“一线三等角”相似是解题的关键．
[问题探究]同题干方法即可证明；
[知识应用]分三种情况讨论，借助于“一线三等角”相似求解即可．
详解】[问题探究] 解：同意，理由如下：
如上图，∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
[知识应用]解：当时，如图：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，如图：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴,，
∴，
∴
∴，
∴
∴；
当时，如图：
同理可证明：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：若是直角三角形，的长为6或或．
25. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点D在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于E点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标；
（3）当点F为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点M，使得以A，C，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，或或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象及性质，待定系数法和相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法解题即可；
（2）过点D作轴交于点P，过点A作轴交于点Q，然后证明，表示出，求出直线的解析式为，点A的坐标为，点Q的坐标为，得到，设，则，，则，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）首先根据二次函数的解析式求出顶点坐标，然后证明，最后分情况利用相似三角形的判定及性质求解即可．
【小问1详解】
解：将，代入，
得：
解得，．
抛物线的表达式为；
【小问2详解】
过点D作轴交于点P，过点A作轴交于点Q，
∴，
∴，
∴
∵的面积为，的面积为，
∴
设直线的解析式为，将，代入得到，
，
解得
∴直线的解析式为，
当时，，解得，或，
∴点A的坐标为，
当时，，
∴Q的坐标为，
∴，
设，则，，
∴，
当时，的最大值为，
当时，，
∴
【小问3详解】
∵，
．
又，，
，，．
，
．
如图所示：连接．
，，
，．
，
又，
∽．
当Q的坐标为时，∽．
过点C作，交x轴与点．
为直角三角形，，
∽．
又∽，
∽．
，
即，
解得：．
．
过点A作，交y轴与点．
为直角三角形，，
∽．
又∽，
∽．
，即，
解得：．
，
如图①，在四边形中，点P在边上（P不与A、B重合），
求证：．
证明：∵
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴