苏教版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理课时练习

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理课时练习，共6页。
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－ eq \f(1,2)e2
C．2e2－3e1，6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e2
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若 eq \(BC,\s\up6(→))＝e1， eq \(DC,\s\up6(→))＝e2，则 eq \(OC,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(1,2)(e1＋e2) B． eq \f(1,2)(e1－e2)
C． eq \f(1,2)(2e2－e1) D． eq \f(1,2)(e2－e1)
3．已知e1，e2为基底，向量 eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2， eq \(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2， eq \(CD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2B．－3
C．－2D．3
4．(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A． eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))B． eq \(MC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))
C． eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))D． eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))
5．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点， eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5) eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))，连接AC，MN交于P点．若 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))，则λ的值为( )
A． eq \f(3,5)B． eq \f(3,7)
C． eq \f(4,11)D． eq \f(4,13)
6．已知a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2 eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝0，若 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量 eq \(OC,\s\up6(→))，则 eq \(OC,\s\up6(→))＝________．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若 eq \(BE,\s\up6(→))＝λ eq \(BA,\s\up6(→))＋μ eq \(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)若4e1－3e2＝λa＋ub，求λ，u的值．
10．已知e，f为两个不共线的向量，在四边形ABCD中，已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝e＋2f， eq \(BC,\s\up6(→))＝－4e－f， eq \(CD,\s\up6(→))＝－5e－3f.
(1)将 eq \(AD,\s\up6(→))用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
[B 能力提升]
11．(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
A．λe1＋μe2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ，μ∈R))可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对
C．λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ2e1＋μ2e2))
D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
12.如图所示，在四边形ABCD中， eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))，E为BC的中点，且 eq \(AE,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AD,\s\up6(→))，则3x－2y＝( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(3,2)
C．1D．2
13．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点， eq \(AP,\s\up6(→))＝y eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AQ,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，且均不为0.若 eq \(PQ,\s\up6(→))∥ eq \(BE,\s\up6(→))，则 eq \f(x,y)＝__________．
14.如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且 eq \(OP,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))，则x的取值范围是________；当x＝－ eq \f(1,2)时，y的取值范围是________．
[C 拓展探究]
15.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，线段OD上有点M满足 eq \(DO,\s\up6(→))＝3 eq \(DM,\s\up6(→))，线段CO上有点N满足 eq \(OC,\s\up6(→))＝λ eq \(ON,\s\up6(→))(λ>0)，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，已知 eq \(MN,\s\up6(→))＝μa－ eq \f(1,6)b，试求实数λ，μ的值．
参考答案
[A 基础达标]
1．解析：选D．不共线的两个向量可以作为平面的一组基底．
对于A，e2－e1＝－(e1－e2)不满足；对于B，2e1－e2＝2(e1－ eq \f(1,2)e2)不满足；
对于C，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)不满足；故选D．
2．解析：选A．因为O是矩形ABCD对角线的交点， eq \(BC,\s\up6(→))＝e1， eq \(DC,\s\up6(→))＝e2，所以 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)(e1＋e2)，故选A．
3．解析：选A． eq \(DB,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→))＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2).又A，B，D三点共线，则 eq \(DB,\s\up6(→))和 eq \(AB,\s\up6(→))是共线向量，所以k＝2.
4．解析：选ABD． eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，A正确；
eq \(MC,\s\up6(→))＝ eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))，B正确；
eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DN,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))，C错误；
eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＝－ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，D正确．
故选ABD．
5．解析：选C．因为 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5) eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))，
所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))＝λ( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)\(AM,\s\up6(→))＋\f(3,2)\(AN,\s\up6(→))))＝ eq \f(5,4)λ eq \(AM,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2)λ eq \(AN,\s\up6(→)).
因为M，N，P三点共线．
所以 eq \f(5,4)λ＋ eq \f(3,2)λ＝1.
解得λ＝ eq \f(4,11).
6．解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝3，))所以x－y＝3.
答案：3
7．解析： eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))，因为2 eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝0，所以2( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))＋( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))＝0.所以 eq \(OC,\s\up6(→))＝2 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))＝2a－b.
答案：2a－b
8．解析：因为 eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(BO,\s\up6(→))＋ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(EA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(EB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))，所以 eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(BD,\s\up6(→)).
所以λ＝ eq \f(1,2)，μ＝ eq \f(1,4)，所以λ＋μ＝ eq \f(3,4).
答案： eq \f(3,4)
9．解：(1)证明：假设a＝λb (λ∈R)，由e1，e2不共线，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝1，,3λ＝－2，))
所以λ不存在，故a，b不共线，可以作为一组基底．
(2)由4e1－3e2＝λa＋ub，得4e1－3e2＝λa＋ub＝λ(e1－2e2)＋u(e1＋3e2)
＝(λ＋u)e1＋(－2λ＋3u)e2，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＋u＝4，,－2λ＋3u＝－3，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝3，,u＝1.))
10．解：(1) eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)
＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为 eq \(AD,\s\up6(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2 eq \(BC,\s\up6(→))，即 eq \(AD,\s\up6(→))＝2 eq \(BC,\s\up6(→))，
所以 eq \(AD,\s\up6(→))与 eq \(BC,\s\up6(→))同方向且 eq \(AD,\s\up6(→))的长度为 eq \(BC,\s\up6(→))的长度的2倍．
所以在四边形ABCD中，AD∥BC且AD≠BC.
所以四边形ABCD是梯形．
[B 能力提升]
11．解析：选BC．由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，
对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C说法不正确．
故选BC．
12.解析：选C．由题意，得 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)(－ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→)))
＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)).
因为 eq \(AE,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AD,\s\up6(→))，所以x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)).
因为 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(AD,\s\up6(→))不共线，所以由平面向量基本定理得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(1,2)．))
所以3x－2y＝3× eq \f(2,3)－2× eq \f(1,2)＝1.故选C．
13．解析：因为 eq \(PQ,\s\up6(→))＝ eq \(AQ,\s\up6(→))－ eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))－y eq \(AD,\s\up6(→))，由 eq \(PQ,\s\up6(→))∥ eq \(BE,\s\up6(→))，可设 eq \(PQ,\s\up6(→))＝λ eq \(BE,\s\up6(→))，即x eq \(AB,\s\up6(→))－y eq \(AD,\s\up6(→))＝λ( eq \(CE,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→)))＝ λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))))＝－ eq \f(1,2)λ eq \(AB,\s\up6(→))＋λ eq \(AD,\s\up6(→))，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)λ，,y＝－λ，))则 eq \f(x,y)＝ eq \f(1,2).
答案： eq \f(1,2)
14.解析：由题意得 eq \(OP,\s\up6(→))＝a eq \(OM,\s\up6(→))＋b eq \(OB,\s\up6(→))(a，b∈(0，＋∞)且0