（模块化思维提升）专题3-质数与合数问题-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题3-质数与合数问题-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版），共15页。试卷主要包含了巧记100以内的质数，找n个连续合数的方法等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、巧记100以内的质数：2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31 和37；41，43，47；53，59，61；67和71；73，79，83；89和97。
2、“2”是最小的质数，也是唯一的偶质数；“3”是最小的奇质数。
3、“1”这个数既不是质数也不是合数。
4、根据定义如果能够找到一个小于Q的质数p（均为整数），使得p能够整除Q，那么Q就不是质数，所以我们只要拿所有小于Q的质数去除Q就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的Q，我们可以先找一个大于且接近Q的平方数K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除Q，如没有能够除尽的，那么Q就是为质数。
5、找n个连续合数的方法：（n+1）!+2，（n+2）!+3，（n+1）!+4，…，（n+1）!+（n+1）这n个数分别能被2、3、4、…、（n+1）整除，它们是连续的n个合数，其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n。
【典例一】a、b、c是100以内的3个质数，使得a+b=c成立的不同质数算式共有（ ）个．
A、6 B、7 C、8 D、9
【分析】2是质数中唯一的偶数，其它都是奇数；奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；所以其中一个加数必是2；再找出两个质数的差是2的情况即可．
【解答】解：这样的算式有：
2+3=5；
2+5=7；
2+11=13；
2+17=19；
2+29=31；
2+41=43；
2+59=61；
2+71=73；
一共有8组．
故选：C．
【点评】本题先找出质数中唯一的偶数2，再根据两个奇数和是偶数，而一个偶数与一个奇数的和才是奇数求解．
【典例二】有三张卡片，在它们上面各写有一个数字2、3、7，从中至少取出一张组成一个数，其中有几个质数？请将它们写出来．
【分析】①从三张卡片中任抽一张，有三种可能，即一位数有三个，分别为2、3、7，2、3、7都是质数；
②从三张卡片中任抽二张，组成的两位数共六个，但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数，都不是质数；所以，两位数的质数只有23，37，73；
③因为，12能被3整除，所以由2、3.7按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数；
故满足要求的质数有2、3、7、23、37、73这五个．
【解答】解：有6个质数，分别是2、3、7、23、37、73．
答：其中有6个质数：2、3、7、23、37、73．
【点评】本题采用边列举、边排除的策略求解．在抽二张卡片时，也可将得到六个两位数全部列举出来：23，27，32，37，72，73．再将三个合数27，32，72排除即可．
【典例三】从2至100的数中划掉2的倍数，再依次划掉3、5、7的倍数（但2、3、5、7本身不划掉）．看一看剩下的数都是什么数？
【分析】根据2、3、5、7的倍数的特征，将2至100中除2、3、5，7外相关的数划划掉，那么剩下的数是质数．
【解答】解：根据2、3、5、7的倍数的特征，划掉的数是：
4，6，8，10，12，14，15，16，18，20，
21，22，24，25，26，27，28，30，32，
33，34，35，36，38，39，40，42，44，
45，46，48，49，50，51，52，54，55，
56，58，60，62，63，64，65，66，68，
69，70，72，74，75，76，77，78，80
81，82，84，85，86，87，88，90，91，
92，93，94，95，96，98，99，100．
剩下的数为：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，57，59，61，67，71，73，79，83，89，97．
由此可以发现，剩下的都是质数．
【点评】完成本题首先要明确质数的意义，古希腊科学家就是用这种方法寻找质数的．
一．选择题（共8小题）
1．、、是100以内的3个质数，使得成立的不同质数算式共有 个．
A．6B．7C．8D．9
2．下面说法正确的是
A．两个质数的积一定是合数
B．0既是整数，又是负数
C．10000枚1元的硬币的质量约1吨
3．著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和。”下面与哥德巴赫猜想不符合的是
A．B．C．D．
4．若数，则不是的约数的最小质数是
A．19B．17C．13D．非上述答案
5．五年级有47名志愿者，六年级有50名志愿者，如果每个年级的志愿者都分成4组去义务劳动，每个组的人数都是奇数， 这样分配。
A．五年级可以B．六年级可以
C．五、六年级都可以D．都不可以
6．下列判断中正确的有 个。
①任何一个质数加1，必是合数。②0的倒数是0。③一个正方体棱长扩大倍，体积就扩大倍。④速度与时间成反比。⑤用8、、、这四个数可以组成比例。
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于2的偶数，都能写成两个质数的和。”下面各式与哥德巴赫猜想不符合的是
A．B．C．D．
8．有一种最简分数，它们的分子与分母的乘积都是140，如果把所有可能的分数从小到大排列，那么，第三个分数是
A．B．C．
二．填空题（共8小题）
9．在1、2、5、29、57、这些数中， 是合数， 是质数， 既不是质数也不是合数。 是这些数的公因数。
10．猜猜我是谁．
（1）“我”是一个两位数，且是偶数，十位上的数字与个位上的数字的积是30．“我”是
（2）“我”是一个质数，我与其他任何一个质数的和都是奇数．“我”是 ．
11．在横线里填上合适的质数。
12．袋中有红球，绿球和蓝球，球的个数都是质数，并且满足：红（绿蓝）蓝，那么绿球有 个．
13．有五个质数，按从小到大的顺序排列，每相邻的两个质数之差是6，这五个质数分别是 。
14．已知，在的所有因数中，有 个质数，这些质数中所有奇数的积的个位数字是 。
15．、为质数，，，则上 。
16．小华把数字分成4对，使得每对数的和为质数，则一共有 种不同的分法。
三．解答题
17．和都是质数，小于50且是7的倍数，如果又是奇数，那么可能是多少？
18．丽丽收集了一套《北京2022年冬奥会——雪上运动》纪念邮票，邮票长、宽，丽丽准备挑出几枚放在一张周长是的长方形卡片上。已知这张卡片的长和宽都是质数，那么这张卡片上最多可以放几枚邮票？
19．小林和小华去看十四运的比赛，他们两个的座位号之和是20，差不超过10，已知他们的座位号都是质数，他们的座位号分别是多少？
20．现有1，3，5，7四个数字。
（1）用它们可以组成哪些两位质数？（数字可以重复使用）
（2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？
21．桌上放有若干堆糖块，每堆数量互不相同且都是不大于100的质数，其中任意3堆糖块可以平均分给3名小朋友，任意4堆糖块也可以平均分给4名小朋友，已知其中有1堆是17块，则桌上放的糖块总数最多是多少？
22．将四个不同的合数分成两组，要求每组的两个合数之和都相等，而且每组的两个合 数互质．这四个合数之和最小可以是多少？
23．在3张牌上分别写上3个最小的连续奇质数，如果任意从中取出至少一张组成一个数，将质数写下来．
24．一个长方体的长、宽、高分别是两位数，并且长、宽、高的和为偶数，（其中长最大，高最小）．这个长方体的体积是下面4个数中的一个：8735、6864、8967、7853，求这个长方体的长、宽、高各是多少？
25．是一个质数，而且，，，都是质数，试求出满足要求的最小质数。
26．269，1111112111111，这三个数分别是合数，还是质数？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】2是质数中唯一的偶数，其它都是奇数；奇数奇数偶数；奇数偶数奇数；所以其中一个加数必是2；再找出两个质数的差是2的情况即可．
【解答】解：这样的算式有：
；
；
；
；
；
；
；
；
一共有8组．
故选：．
【点评】本题先找出质数中唯一的偶数2，再根据两个奇数和是偶数，而一个偶数与一个奇数的和才是奇数求解．
2．【答案】
【分析】在目然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；0是整数，但不是负数；1枚1元硬币的质量大约是6克，1000个1元硬币的质量大约是6000克，即6千克，1吨千克，6千克与1千克相差很远，据此解答。
【解答】解：两个质数的积一定是合数，说法正确；
是整数，但0不是负数，说法错误；
枚1元硬币的质量大约是6克，1000个1元硬币的质量大约是6000克，即6千克，远远不到1吨，估计不准确。
故选：。
【点评】本题考查了质数、合数及整数、负数的意义，解决本题注意和实际生活相结合，注意一些单位的大小。
3．【答案】
【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2，由此解答即可。
【解答】解：、，46是大于2的偶数，17和29是质数，符合哥德巴赫猜想；
、，94是大于2的偶数，41和53是质数，符合哥德巴赫猜想；
、，80是大于2的偶数，43和37是质数，符合哥德巴赫猜想；
、，91不是质数，不符合哥德巴赫猜想；
故选：。
【点评】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用，熟记100以内的质数表是解答关键。
4．【分析】是10、20、30、40、50、60、70、80、90、100、110、120、130这几个因数的乘积，每个因数又可以分解质因数，然后从最小的质因数依次寻找即可．
【解答】解：根据，可知
10有质因数：2，5；
20有质因数：2，5；
30有质因数：2，3，5；
40有质因数：2，5；
50有质因数：2，5；
60有质因数：2，3，5；
70有质因数：2，5，7；
80有质因数：2，5；
90有质因数：2，3，5；
100有质因数：2，5；
110有质因数：2，5，11；
120有质因数：2，3，5；
130有质因数：2，5，13；
所以2，3，5，7，11，13都是的约数；
所以，不是的约数的最小质数为17．
故选：．
【点评】本题考查了极值问题与因数问题的综合应用，关键是确定的较小的质因数有哪些．
5．【答案】
【分析】根据题意，每个年级的志愿者都分成4组去义务劳动，每个组的人数都是奇数，可知4个奇数相加和为偶数，由此判断。
【解答】解：每个年级的志愿者都分成4组去义务劳动，每个组的人数都是奇数，可知4个奇数相加和为偶数，而47是奇数，50是偶数。
所以五年级不能这样分配，六年级可以这样分配。
故选：。
【点评】此题考查了奇数和偶数的问题，要明确：奇数奇数偶数。
6．【答案】
【分析】①2是最小的质数，2加，3还是质数不是合数；②0没有倒数；③一个正方体棱长扩大倍，根据正方体的体积公式可知，体积就扩大倍；④路程一定，速度与时间成反比；⑤利用比例的基本性质判断。
【解答】解：①任何一个质数加1，不一定是合数，说法错误。②0没有倒数，说法错误；③一个正方体棱长扩大倍，体积就扩大倍，说法错误；④路程一定，速度与时间成反比，说法错误；⑤用8、、、这四个数可以组成比例，说法正确。
只有⑤说法正确。
故选：。
【点评】解答此题的关键是熟记质数合数定义、倒数的定义及正方体体积公式和比例的基本性质。
7．【答案】
【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。最小的质数是2，由此解答即可。
【解答】解：、，40是大于2的偶数，17和23是质数，符合哥德巴赫猜想；
、，50是大于2的偶数，37和13是质数，符合哥德巴赫猜想；
、，69不是质数，不符合哥德巴赫猜想；
、，100是大于2的偶数，29和71都是质数，符合哥德巴赫猜想。
故选：。
【点评】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用，熟记100以内的质数表是解答关键。
8．【分析】因为所以最简分数从小到大排列、、、进而解答．
【解答】解：
最简分数从小到大排列、、、，
所以第三个分数是；
故选：．
【点评】解答主要考查最简分数即分子和分母互质的分数以及分数大小的知识解答．
二．填空题（共8小题）
9．【答案】57，2，5，29，1，1。
【分析】质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数，公因数是指所有数共有的因数，只有1，由此解答。
【解答】解：在1、2、5、29、57、这些数中，57是合数，2，5，29是质数，1既不是质数也不是合数。1是这些数的公因数。
故答案为：57，2，5，29，1，1。
【点评】此题主要考查质数与合数的概念及意义，明确1既不是质数也不是合数。
10．【答案】56；2。
【分析】（1）根据偶数和十位上的数字与个位上的数字的积是30，可以推断这个数56；
（2）根据质数和我与其他任何一个质数的和都是奇数，可以推断这个数是偶数，所以这个数是2。
【解答】解：（1）“我”是一个两位数，且是偶数，十位上的数字与个位上的数字的积是30．“我”是56
（2）“我”是一个质数，我与其他任何一个质数的和都是奇数．“我”是2。
故答案为：56；2。
【点评】根据奇数、偶数、质数的定义解答此题即可。
11．【答案】23；3；19；2；17；3；11；3。（答案不唯一）
【分析】除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；据此分析填空。
【解答】解：
故答案为：23；3；19；2；17；3；11；3。（答案不唯一）
【点评】根据质数的定义解答此题即可。
12．
【分析】运用质数和奇偶性的性质和逆向思维法可解决，逐个排除即可．
【解答】解：根据题意运用逆向思维法：若绿蓝偶数，则蓝为偶数2，
①红（绿，绿球为2，
所以红球个数为28不是质数，不合题意；
②红（绿，红球为2，
所以绿球个数为54不是质数，不合题意；
若绿蓝奇数，则绿为2符合题意，
故答案为：2．
【点评】根据题意，运用奇数、偶数，逆向思维进行逐个验证．
13．【答案】5，11，17，23，29。
【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），再根据100以内的质数表，以此解答。
【解答】解：最小的质数是2，，8是合数，不符合题意；
，9是合数不符合题意；
，，，；
故答案为：5，11，17，23，29。
【点评】此题主要考查质数的意义，和100以内的质数表，100以内有25个质数。
14．【答案】8，5。
【分析】根据质数（也叫做素数）、合数的概念，再根据20以内的质数（素数）表，进行解答即可。
【解答】解：在的积的所有因数中，有8个质数，
它们分别是：2、3、5、7、11、13、17、19。
这些质数中所有奇数有3、5、7、11、13、17、19。
这些质数中所有奇数的积的个位数字是5。
故答案为：8，5。
【点评】此题主要考查质数（素数）、合数的概念及意义。
15．【答案】。
【分析】根据质数的定义，根据，即可得到，只能一个为1，另一个为．再根据，而又是质数，即可求得，的值，从而求解。
【解答】解：因为是质数，，
所以，只能一个为1，另一个为。
此时，而又是质数，
只能，
即、一个是1，另一个是2。
所以
故答案是：。
【点评】本题主要考查了质数的定义，正确确定、的值是解题的关键。
16．【答案】6
【分析】2是质数中唯一的偶质数，其它都是奇数；奇数奇数偶数，奇数偶数奇数；要使每对数的和为质数，只能是一奇一偶分为一组，按一定的顺序去列举。
【解答】解：2，3；4，7；5，6；8，9
2，3；4，9；5，8；6，7
2，5；3，4；6，7；8，9
2，5；3，8；4，9；6，7
2，9；3，4；5，8；6，7
2，9；3，8；4，7；5，6
每对数的和为质数有2，3；4，7；8，9；4，9；5，8；6，7。
故答案为：6种。
【点评】列举的时候，要按一定的顺序，防止遗漏。
三．解答题
17．【分析】和都是质数，如果又是奇数，则和一定都是奇数，那么的和一定是偶数，又小于50且是7的倍数，由于小于50且是7的倍数的数有7、14、21、28、35、42、49，所以的和可能是14、28、42，分情况讨论出的值，再分别求得的积即可．
【解答】解：因为和都是质数，如果又是奇数，则和一定都是奇数，那么的和一定是偶数；
又小于50且是7的倍数，由于小于50且是7的倍数的数有7、14、21、28、35、42、49，
所以的和可能是14、28、42，
①因为，所以；
②因为，所以，或；
③因为，所以，或，或，或；
答：可能是33、115、187、185、341、377、437．
【点评】此题主要考查了质数与合数问题的应用，解答此题的关键是：根据和都是质数，又是奇数，判断出的值．
18．【答案】6枚。
【分析】分析题目，根据长方形的周长（长宽），并结合质数的概念，求出长方形的长与宽；接下来结合已知数据，列式计算，分别求出第一排和第二排横着和竖着放的数量；然后将第一排和第二排横着和竖着放的数量，进行求和，即可解答。
【解答】解：
（枚
（枚
（枚
（枚
第一排可以横着放2枚，竖着放1枚，第二排可以竖着放2枚，横着放1枚
（枚
答：这张卡片上最多可以放6枚邮票。
【点评】本题侧重考查知识点的能力。培养对知识点的能力。
19．【答案】7，13。
【分析】20以内的质数有：3，5，7，11，13，17，19，和是2，0差不超过10的只有7，13。
【解答】解：
答：他们的座位号分别是7，13。
【点评】掌握质数的意义是解决本题的关键。
20．【答案】（1）11，13，17，31，37，53，71，73；
（2）137，173，317，157，571，751。
【分析】只有1和它本身的因数的数是质数，据此分析解答即可。
（1）从1，3，5，7四个数字中，从它们中任选两个数，组成两位质数即可。
（2）从1，3，5，7四个数字中，从它们中任选三个数，组成三位质数即可。
【解答】解：（1）11，13，17，31，37，53，71，73；
（2）137，173，317，157，571，751。
【点评】本题考查的是有关质数的概念。
21．【答案】234。
【分析】各堆糖块数被3除都余2，被4除余1，则每堆糖块的数量都是块且是小于100的质数，这些质数只有5，17，29，41，53，89；其和为计算结果即可。
【解答】解：因为任意3堆数量之和能被3整除，所以每堆被3除的余数相同，又因为17倍3除余2，所以各堆糖块数被3除都余2；同理，各堆糖块数被4除余1，所以每堆糖块的数量都是块，且是小于100的质数，这些质数只有5，17，29，41，53，89，其和为：
所以，桌子放的糖块总数最多是234。
答：桌子放的糖块总数最多是234。
【点评】本题是一道有关带余除法（中国剩余定理）（奥数）的题目。
22．【分析】每组的两个合数互质，所以两个合数一个为偶数一个为奇数；又要求四个合数之和最小，所以数尽量小；每组的两个合数之和都相等，所以这四个合数为4、15和9、10，再求和即可．
【解答】解：要求四个合数之和最小，所以数尽量小；
每组的两个合数互质，所以两个合数一个为偶数一个为奇数；
再根据每组的两个合数之和都相等，可得这四个合数为4、15和9、10，
，
答：这四个合数之和最小可以是38．
【点评】本题主要考查了最大与最小问题，还用到合数与互质的知识．
23．【分析】根据3个最小的连续奇质数是3、5、7，可得组成的两位数质数有53、37、73，注意组成的三位数不可能是质数，据此解答即可．
【解答】解：3个最小的连续奇质数是3、5、7，
因为3、5、7组成的两位数有35、53、37、73、57、75，
，，，
所有3、5、7组成的两位数质数有53、37、73；
因为，，即15是3的倍数，
所以组成的三位数不可能是质数．
综上，所有的质数有：3、5、7、53、37、73．
【点评】此题主要考查了质数与合数问题的应用，解答此题的关键是要弄清楚：3个最小的连续奇质数是3、5、7．
24．
【分析】由于长、宽、高的和为偶数，根据数和的奇偶性可知，这3个数中只有一个为偶数或3个全为偶数，又长方体的体积长宽高，则其体积一定是偶数，所以符合条件的只有6864，据此将6864分解质因数后重新组合即可．
【解答】解：由题意可知，这3个数中只有一个为偶数或3个全为偶数，
则其体积一定是偶数，所以符合条件的只有6864，
，
，
，
，
．
即这个长方体的长、宽、高可为：48、11、13；16、33、13；16、11、29；12、22、26．
【点评】首先根据数的奇偶性确定它的体积是完成本题的关键．
25．【答案】5。
【分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的质数是2，依次是3，5，7，；然后从最小的进行验证，即可得出结论。
【解答】解：已知是质数，而且，，，都是质数，
当时，，，，，都是合数，不合题意；
当时，，是合数；，是质数，不符合题意；
当时，，，，，都是质数，符合题意。
答：满足要求的最小质数是5。
【点评】此题考查了质数和合数，明确质数和合数的意义，是解答此题的关键。
26．【答案】269是质数，1111112111111是合数，是合数。
【分析】（1）对于一个不太大的数，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于且最接近的平方数，再写出以内的所有质数。如果这些质数都不能整除，那么是质数；如果这些质数中有一个能整除，那么是合数。
（2）按照刚才的方法判别1111112111111这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。
（3）是奇数，不能被2整除；不能被3整除，所以也不能被3整除；然后判断能否被5整除。首先看看的余数的变化规律，再解答。
【解答】解：（1）对于一个不太大的数，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于且最接近的平方数，再写出以内的所有质数。如果这些质数都不能整除，那么是质数；如果这些质数中有一个能整除，那么是合数。
因为。17以内的质数有2，3，5，7，11，13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；，所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。
（2）按照刚才的方法判别1111112111111这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。
根据整数的意义，这个13位数可以写成：
1111112111111
由上式知，1111111和1000001都能整除11112111111，所以1111112111111是合数。
（3）是奇数，不能被2整除；不能被3整除，所以也不能被3整除；然后判断能否被5整除。首先看看的余数的变化规律：
因为的余数是2，则，能被5整除，所以能被5整除，比大2，所以不能被5整除。再判断能否被7整除。首先看看的余数的变化规律：
因为的余数是2，从上表可知除以7的余数是4，除以7的余数是，7能被7整除，即能被7整除，所以是合数。
【点评】本题考查了质数与合数，能够灵活掌握法则是关键。



2
除以5的余数
2
4
3
1
2
4
2
除以7的余数
2
4
3
1
2
4