（模块化思维提升）专题8-带余除法-小升初数学思维拓展数论问题专项训练（通用版）

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
2、一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r。
当r=0时，我们称a能被b整除
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．
3、对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法。
【典例一】所有被4除余1的两位数的和为（ ）
A、1200 B、1208 C、1210 D、1224 E、1229
【分析】本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．
【解答】解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，
除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，
那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），
所有除以4后余1的两位数的和为：
13+17+21+…+97
=（13+97）×22÷2
=110×11
=1210．
答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．
故选：C．
【点评】本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．
【典例二】一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（ ）页．
【分析】设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．
【解答】解：设页数为x，①320＜x＜400；
②270＜x＜360；
③由①②得：320＜x＜360，
满足上述条件的只有n=18．
320＜18×18=324＜360．
故答案为：324．
【点评】此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．
【典例三】对于两个自然数和，较大数除以较小数，余数记为△，5△，6△，若13△且为两位数，求．
【分析】根据题意，可知两个不等的自然数和，较大的数除以较小的数，余数记为△，这是一种新的计数方法，再根据我们学习的有关有余数的除法就可以求出结果．
【解答】解：因为，所以5△；
因为，所以6△；
若13△，我们不知道13和哪个大（根据题意可知，，即哪个作除数，哪个作被除数，这样就要分两种情况讨论．
（1）当，这时除13余2，，可知整除11，是两位数，则．
（2），这时13除余2，这说明是13的倍数加2，所以可以为：
，，，，，，；
因此13△有8个解，，15，28，41，54，67，80，93．
【点评】解答这类问题的关键是理解新运算所表示的意义，严格按规定的计算法则代入计数，把定义新符号运算转化为熟悉的四则运算．
一．选择题（共6小题）
1．小华在计算除法时，把除数87写成78，结果得到商是64，还余54，正确的商应该是
A．54B．58C．64D．87
2．某民兵连在操场上列队，只知道人数在90到110人之间，且这些人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，则共有民兵 人．
A．108B．102C．107D．109
3．有四个自然数、、、，它们的和不超过400，并且除以商是5余5，除以商是6余6，除以商是7余7。那么，这四个自然数的和是
A．216B．108C．314D．348
4．有100条线段，长度都是整数，最短线段为7，任意三条线段都不能组成三角形，当他们总和最小时，总和除以3的余数是
A．0B．1C．2D．不能确定
5．某为自然数，被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7，已知，请问这样的数有几个？
A．5B．4C．3D．2
6．有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有 个．
A．13B．19C．61D．121
二．填空题（共10小题）
7．一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读页，恰好是自然数）天读完，这本书是 页．
8．有一个数，被3除余2，被4除余1，那么这个数除以12余 ．
9．某小学四、五、六年级学生是星期六下午参加劳动，其中一个班学生留下来打扫环境卫生，一部分学生到建筑工地搬砖，其余的学生到校办工厂劳动，到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍．各个班级参加劳动人数如下表．留下来打扫卫生的是 班．
10．某个自然数被247除余63，被248除也余63。那么这个自然数被26除余数是 。
11．有一个自然数，用它去除226余，去除411余，去除527余，则 ．
12．整数除法，余数要比除数小．从1到1994各数都分别除以9，所有余数的和是 ．
13．正整数使得除以19的余数是6，那么除以19的余数是 ．
14．一个自然数去除300，245，210，得到的余数分别为，，，那么 。
15．已知，那么的余数是 ．
16．的和除以7的余数是 。
三．解答题
17．200912223除以3的余数是多少？除以4和125的余数分别是多少？除以11的余数又是多少？
18．同学们用气球装饰庆六一舞台，要求气球的个数无论扎成2个一组、4个一组或7个一组，必须剩2个，总数不能超过100个．气球的个数可能是多少个？
19．在没有余数的除法中，被除数与除数的和是560，商是6．被除数和除数各是多少？
20．一个数除以2.4没有余数，商是一个两位小数，商保留一位小数是5.4，被除数最大是多少？最小是多少？
21．、表示自然数，设、分别表示、的各位数字之和，▽表示除以所得的余数，已知、之和是7043。求▽9的值。
22．有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？
23．桌子上有七个纸盒，分别装有3，4，5，6，8，9，15千克糖，小明和小丽共拿走了六个纸盒，已知小明拿走糖的重量是小丽的3倍．剩下的一个纸盒有多少千克糖？
24．小马虎在做除法计算时，把被除数467写成了421，这样得到的商比原来小2，而余数正好相同。这道题正确的结果是多少？
25．已知一个正整数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数，写出简要的推理过程．
26．甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2，甲、乙两数之和是478．那么甲、乙丙三数之和是几？
27．已知1477除以一个两位数，余数是49，求满足这样条件的所有两位数。
28．两个数相除商9余4，如果被除数、除数都扩大到原来的3倍．那么被除数、除数、商、余数之和等于2583．原来的被除数和除数各是多少？
29．一个自然数除以6得到的商加上这个数除以7的余数，其和是11，求所有满足条件的自然数．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．【答案】
【分析】先利用被除数商除数余数求出除数是78，商是64，余数是54时被除数是多少，然后被除数不变，除数换成87，求出正确的商和余数，即可得解。
【解答】解：
答：正确的商应该是58。
故选：。
【点评】此题考查了除法各部分间的关系，将错就错先算出被除数是解决本题的关键。
2．【答案】
【分析】解答此题，首先把问题转化成带余除法算式，排成3列无余数，可以得出该整数为3的倍数，故排除选项、选项．排成5列不足2人，可以得出该整数被5整除余3，排成7列不足4人，可以得出该整数被7整除余3；故排除选项．故选．
【解答】解：，；；；，；108人排成3列无余数，排成5列不足2人，排成7列不足4人，答案为108．
故选：。
【点评】解答带余除法问题，一定要分清除数、被除数、余数之间的关系，否则易混淆余数，导致错误答案．
3．【答案】
【分析】根据与、、三个数的关系有：，，，得出：，所以为5、6、7的公倍数，因为5、6、7的最小公倍数为210，根据题意可知，它们的和不超过400，所以，进而求出另外三个数的值，求其和即可。
【解答】解：根据题意：
，，
所以为5、6、7的公倍数，因为5、6、7的最小公倍数为210，
因为它们的和不超过400，所以
所以：
这四个自然数的和是。
故选：。
【点评】本题主要考查带余除法的应用，关键是根据与其它三个数的关系，找到符合题意的的值。
4．【分析】首先根据题意，最短线段为7，所以任意三条线段，当他们总和最小时，另外两条线段中，其中的一条的长度可以是7；然后根据这两条长度为7的线段的长度和是14，任意三条线段都不能组成三角形，另一条的最短长度是14，据此求出总和除以3的余数是多少即可．
【解答】解：因为最短线段为7，
所以任意三条线段，当他们总和最小时，另外两条线段中，其中的一条的长度可以是7，
因为，任意三条线段都不能组成三角形，
所以另一条的最短长度是14，
所以当他们总和最小时，总和除以3的余数是1．
答：当他们总和最小时，总和除以3的余数是1．
故选：．
【点评】此题主要考查了带余除法问题，以及三角形的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形任意两边的长度之和都大于第三边的长度．
5．【分析】根据题意，把“被10除余数是9，被9除余数是8，被8除余数是7”转化为：每10个分一份，少1；每9个分一份，少1；每8个分一份，少1；每7个分一份，少1．所以求10、9、8、7的公倍数在之间的数少1，即可．
【解答】解：10、9、8的最小公倍数是360，在之间的倍数有：360，720，
所以这个数可能是：359，719．
这样的数有2个．
故选：．
【点评】本题主要考查带余除法，关键是把除以一个数余几，转化为少多少，再解答．
6．【分析】2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．
【解答】解：2、3、4三个数的最小公倍数是，
，13不满足5个5个地数却少4个；
，25不满足5个5个的数却少4个；
，37不满足5个5个的数却少4个；
，49不满足5个5个的数却少4个；
，61满足5个5个的数却少4个．
答：这堆苹果最少有61个．
故选：．
【点评】此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
二．填空题（共10小题）
7．
【分析】设页数为，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得；③由①②得．满足上述条件的只有．
【解答】解：设页数为，①；
②；
③由①②得：，
满足上述条件的只有．
．
故答案为：324．
【点评】此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．
8．【分析】利用带余数的除法运算性质，将这个数看成，为可以被12整除的部分，则为除以12的余数，得出可以被3或4整除，再结合已知这个数除以3余2，除以4余1，得出也相同，归纳出符合要求的只有5．
【解答】解：将这个数看成，为可以被12整除的部分，则为除以12的余数．
可以被12整除，则也可以被3或4整除．
因为这个数“除以3余2，除以4余1”，
所以也是“除以3余2，除以4余1”，
又因为是大于等于1而小于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．
故答案是：5．
【点评】此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数为两部分构成，是本题的解答关键，然后分析得出符合要求的数据．
9．【分析】根据“到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动的人数的2倍”，可得到这两个地方去的10个班的学生数之和应是3的倍数个班的学生总数是584人，而584除以3余2，因此留下来打扫卫生的这个班的学生人数应除以3余2，而各班人数中只有53除以3余2，故留下来打扫卫生的是五（4）班．
【解答】解：人，
，
各班人数中，只有53除以3余数是2，所以留下来打扫卫生的是五（4）班．
故答案为：五（4）．
【点评】本题主要考查带余的除法问题，根据到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍，可知这些人数的和是3的倍数是解答本题的关键．
10．【答案】11。
【分析】某个自然数被247除余63，被248除也余63，这个数减去63得到的新数既能被247整除，也能被248整除，因为相邻的两个整数互质，所以新数能被整除，即可求出247和248的最小公倍数，用“最小公倍数余数”即可求出这个数，然后再除以26，即可得出余数。由此解答即可。
【解答】解：最小公倍数：
这个数：
答：那么这个自然数被26除余数是11。
故答案为：11。
【点评】此题考查带余数的除法。利用“同余余”解答即可，关键是求出这个数是多少。（同余余即如果余数相同，用最小公倍数余数）。
11．
【分析】由题意得知，用此数去除410余，去除525余，即除226、410、525的余数相同，根据同余定理求出这个自然数，然后根据除226余，求出即可．
【解答】解：由题意得知，用此数去除410余，去除525余，即除226、410、525的余数相同．
，，，所以此自然数是：23，
，
即：；
故答案为：19．
【点评】解答此题的关键：应明确此数是226、525和410的最大公约数，进而根据题意，根据“被除数除数商余数”进行解答．
12．【分析】从1到1994各数都除以9所有的余数：1，2，3，4，5，6，7，8，0；1，求出的商和余数，从而可得余数和是：．
【解答】解：
余数和是：，
，
，
．
答：所有余数的和是 7971．
故答案为：7971．
【点评】考查了带余除法，关键是找到余数的规律为：1，2，3，4，5，6，7，8，0；9个一循环．
13．【分析】将展开，其中一定能被19整除，也一定能被19整除，剩下除以19的余数是6，此时或14，据此解答即可．
【解答】解：
能被19整除，也能被19整除，所以除以19的余数是6，
，，
所以，5除以19的余数是5，
，，
所以，14除以19的余数是14，
故答案为：5或14．
【点评】本题主要考查带余除法与整除的性质，找到能被19整除的数的特征是解答本题的关键．
14．【答案】15。
【分析】设这个数为，得：
即
即
得：能被整除
能被整除
能被整除
求出这三个数的最大公因数，可得为19，即这个自然数是19。
然后用就可以得出余数是多少了。
【解答】解：设这个数为，根据题意可得：
即
即
得：能被整除
能被整除
能被整除
所以是19．
答：一个自然数去除300，245，210，得到的余数分别为，，，那么。
故答案为：15。
【点评】根据这个数除几余几求出这个数是哪些数的最大公约数是完成本题的关键。
15．【分析】根据“弃九法”直接简算即可．
【解答】解：6143去掉数字，剩下的数字和是，
728去掉数字，剩下的数字是8，
5减8不够减，所以，
所以的余数就是6；
同理，22472去掉数字，剩下的数字和是，所以的余数就是8；
所以，
所以，的余数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了利用“弃九法”求余数的问题，一个数除以9的余数，等于数字和除以9的余数．
16．【答案】6。
【分析】，则其和为，则的余数为4，的余数为5，根据余数的可乘性，积的余数等于余数的积。则。
【解答】解：
的余数为4，的余数为5，
故的和除以7的余数是6。
故答案为：6。
【点评】本题考查带余除法，根据余数的可乘性，积的余数等于余数的积。
三．解答题
17．【分析】运用整数的除法法则进行解答，把每一个算式解答出结果后即可求出它们的余数．
【解答】解：
没有余数，所以，200912223除以3的余数是0；
所以，200912223除以4的余数是3；
所以，200912223除以125的余数是98；
所以，200912223除以11的余数是6．
【点评】本题依据整数的除法法则进行计算即可．
18．【分析】由题意可知，扎成2个一组、4个一组或7个一组，必须剩2个，则这个数是4和7的公倍数加2，然后找出100以内的所有数，即可得解．
【解答】解：4是2的倍数，4、7互质，
所以4和7的最小公倍数是
（个
（个
（个
答：气球的个数可能是30、58或86个．
【点评】此题解答的关键是通过题意，进行分析，得出实际上是求这三个数的最小公倍数，用求最小公倍数的方法即可得出．
19．【分析】在一道没有余数的除法算式里，被除数除数商，设除数是，那么被除数就是，根据被除数除数，列出方程求出除数，进而求出被除数．
【解答】解：设除数是，则被除数就是，




答：被除数是480，除数是80．
【点评】解决本题关键是理解被除数、除数和商三者的关系，先设出除数，表示出被除数，再找出等量关系列出方程求解．
20．【分析】首先根据商保留一位小数是5.4，可得商的最大值是5.44，最小值是5.35，然后根据被除数除数商，用除数乘以商的最大值，求出被除数最大是多少；再用除数乘以商的最小值，求出被除数最小是多少即可．
【解答】解：因为商保留一位小数是5.4，
所以商的最大值是5.44，最小值是5.35，
所以被除数最大是：，
所以被除数最小是：．
答：被除数最大是13.056，最小是12.84．
【点评】此题主要考查了四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出商的最大值和最小值各是多少．
21．【答案】5。
【分析】、分别表示、的各位数字之和，▽表示除以所得的余数，根据同余定理和能被9整除的数的特征，即、的各位数字之和除以9的余数与、之和除以9的余数相等。由此列式计算即可。
【解答】解：
所以：▽9
▽9
▽9
所得的余数是5。
答：▽9的值是5。
【点评】本题考查9的余数特征。关键理解▽9和除以9的余数相同。
22．
【分析】据题意可设这个自然数为，去除63，90，130所得的余数分别为，，，则，，都是的倍数．则，也是的倍数．又因为．则可能是2或3或6或43，又，故，，中至少有一个要大于8（否则，，，都不大于8，就推出不大于24，这与矛盾）．根据除数必须大于余数，可以确定．从而，，．显然，20是三个余数中最大的．
【解答】解：设这个自然数为，去除63，90，130所得的余数分别为，，，
则，，都是的倍数．可得：
也是的倍数．
又．则可能是2或3或6或43；
，故，，中至少有一个要大于8；
根据除数 必须大于余数，可以确定．
从而，，．显然，20是三个余数中最大的．
答：这3个余数中最大的一个是20．
【点评】完成本题的关键是据已知条件推出258也是的倍数之后就好解答了．
23．
【分析】根据题意，小明拿走糖的重量是小丽的3倍，那么小明和小丽拿走糖的重量是4的倍数，我们可以先从这一组数字，去掉一个除以4余2的数即可，只有6符合题意，由此列式解答即可．
【解答】解：7个纸盒共重：（千克），
（千克）（千克），
只有6除以4余2，所以剩下一个纸盒是6千克．
答：剩下的一个纸盒有6千克．
【点评】解答此题的关键是分析出小明和小丽拿走糖的重量是4的倍数，然后再将7个数相加除以4，结果有余数，就找那个除以4是与余数相同的，也就是剩下的一个纸盒．
24．【答案】。
【分析】根据被除数除数商余数，由于余数不变，所以首先求出467与421的差，然后用所得的差除以2，就是这道题的除数，然后用467除以这个除数，求出正确的结果。
【解答】解：
答：这道题正确的结果是。
【点评】解决本题关键是明确减少部分的被除数除以减少部分的商，就是除数，从而解决问题。
25．【分析】如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，故而先求10，9，8的最小公倍数，然后再减去1，即得所求的数．
【解答】解：因为，
，
，
所以10，9，8的最小公倍数是，
，
所以所求的数是359．
【点评】此题解题的关键是先通过读题，根据给出的条件，进行转化思想，从另一个角度去理解，进而发现规律，继而得出结论．
26．【分析】根据题意得出以下关系式：甲数乙数商；乙数丙数商．甲、乙、丙三个数都是整数，还有丙数大于2．商是大于0的整数，如果商是0，那么甲数和乙数都是2，就不符合要求．
所以，必然存在，甲数乙数丙数，由于丙数，所以乙数大于商的2倍．
因为甲数乙数乙数（商
因为，所以“商 “
当商时，甲数是240，乙数是238，丙数是236，和就是714
当商时，甲数是359，乙数是119，丙数是39，和就是517
当商时，甲数是410，乙数是68，丙数是11，和就是489
当商时，甲数是444，乙数是34，丙数是，不符合要求
当商时，甲数是450，乙数是28，丙数是，不符合要求
所以，符合要求的结果是．714、517、489三组．
【解答】解：由“余数是2，甲、乙两数之和是478”，因此是乙的倍数，因为，
甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2，则剔除商比乙大或商小于3的组合．
容易得到：
，，，
则甲、乙、丙三数之和：；
同理：，，，
甲、乙、丙三数之和为：；
，，，
甲、乙、丙三数之和为：．
答：甲、乙、丙三数之和是714、489或517．
【点评】此题属于比较复杂的差倍问题，需认真分析，进行推理，得出结果．
27．【答案】51，68，84。
【分析】由1477除以一个两位数，余数是49可知这个两位数大于49，是的因数。，所以选取1428的质因数相乘，满足大于49的两位数即可。
【解答】解：
故满足这样条件的所有两位数：51，68，84。
答：满足这样条件的所有两位数：51，68，84。
【点评】本题考查带余除法，本题关键是通过变换得到这样条件的所有两位数的倍数1428。
28．【分析】当被除数和除数扩大3倍的时候，余数也会扩大3倍，只有商不会变，所以根据被除数、除数、商和余数的和是2583，求出现在的被除数和除数，再除以3即可解答．
【解答】解：当被除数和除数扩大到原来的3倍时，余数也会扩大3倍，商不变．
因此商还是9，余数就变成了．所以，被除数除数．
所以，被除数除数商余数除数除数
整理可以知道：除数
所以被除数是．
所以原来的被除数是，除数是．
答：原来的被除数是769，除数是85．
【点评】被除数和除数扩大3倍的时候，余数也会扩大3倍，只有商不会变，由此求出现在的被除数、除数是解答此题的关键．
29．
【分析】一个数除以7，余数从0到6，有7种可能；因为商余数，余数最小是0，所以商最大是11；所以此数最大是，可以把这些数分成7组，它们除以7余数分别是0到6；当余数是0，则除以6的商是11，则（余数）（这个自然数），，所以，此时，解是70，同理，当余数是1、2、3、4、5、6时，解出的数即可．
【解答】解：当余数是0，则除以6的商是11，（余数）（这个自然数），，
所以，解是70，
当余数是1时，解是64，
当余数是2时，解是58，
当余数是3时，解是52，
当余数是4时，解是46，
当余数是5时，解是40，
当余数是6时，解是34．
所以所有满足条件的自然数一共有7个：34，40，46，52，58，64，70．
【点评】解决此题关键是审清“一个自然数除以6得到的商加上这个数除以7的余数，其和是11”，逐一分析得出答案．班级
四（1）
四（2）
四（3）
四（4）
五（1）
五（2）
五（3）
五（4）
六（1）
六（2）
六（3）
人数
55
54
57
55
54
51
54
53
51
52
48