（模块化思维提升）专题4-多次相遇问题-小升初数学思维拓展行程问题专项训练（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题4-多次相遇问题-小升初数学思维拓展行程问题专项训练（通用版），共16页。试卷主要包含了多次相遇的基本公式和方法计算等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、多次相遇的基本公式和方法计算。
距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲=V甲×T甲，S乙=V乙×T乙，有如下关系：
（1）当时间相同即T甲=T乙时，有S甲：S乙=V甲：V乙；
（2）当速度相同即V甲=V乙时，有S甲：S乙=T甲：T乙；
（3）当路程相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T甲．
在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果．
【典例一】小明和小华在学校的环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，反向而行．小明每秒跑5米，小华每秒跑3米，经过100秒两人第二次相遇．跑道长多少米？
【解答】解：
（米 答：跑道长400米．
【典例二】甲乙两车在一条长10千米的环形公路上从同一地点沿相反方向同时开出，甲车行4千米与乙车相遇，相遇后两车速度各加继续前进，按此规律每次相遇后速度都增加，第三次相遇时甲车离出发点多少千米？
【解答】解：甲乙两车的速度之比是： ；
因为每次相遇后速度都增加，
所以每次相遇时，甲乙行的路程之比不变，
因此每次相遇时甲车行的路程都是4千米，
所以第三次相遇时甲车离出发点：
（千米） 答：第三次相遇时甲车离出发点2千米．
【典例三】快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇．已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留半小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多少时间？
【分析】把甲、乙两地之间的路程看作单位“1”，快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇．由此可知：快车和慢车平均每小时的速度和是，又知慢车从乙地到甲地用12.5小时，则慢车平均每小时的速度为，用速度和减去慢车的速度即可求出快车的速度，慢车到甲地停留半小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，据此可以求出快车行完全程用了小时，到第二次相遇两车一共行驶了甲、乙之间的两个全程，然后根据相遇时间路程速度和，即可求出两车从第一次相遇到第二次相遇共需多少小时．
【解答】解：快车每小时行驶的速度为：
．
当慢车到达甲地并休息之后，快车行了（小时），
此时快车和慢车相距
．
所以还需要
（小时），
所以，第一次相遇到第二次相遇共用去（小时）．
答：两车从第一次相遇到第二次相遇共需10.8小时．
【点评】此题考查的目的是理解掌握相遇问题的基本数量关系：路程相遇时间速度和，相遇时间路程速度和，把路程看作单位“1”，关键是求出快车的速度．
一．选择题（共3小题）
1．甲乙两人分别从桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。甲的速度是70米分，乙的速度是80米分，过6分钟两人第二次相遇。这座桥长
A．150米B．300米C．450米
2．爸爸和儿子去外的公园，爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程．儿子立刻返回，遇到爸爸后又骑向公园，到公园又返回直到爸爸到达公园．儿子从出发开始一共骑了
A．B．C．
3．甲、乙两人从400米的环形跑道的一点背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与点沿跑道上的最短距离是
A．166米B．176米C．224米D．234米
二．填空题（共13小题）
4．甲和乙两人同时从一条路的两端出发，相对而行（甲从地出发，乙从地出发）．两人第一次在距地60千米处相遇，相遇后继续以原速行走，分别到达对方出发地后立即原路返回，第二次在距地55千米相遇．两次相遇点之间的距离是 千米．
5．甲乙两车分别同时从两地相对开出，第一次在离地100千米处相遇，继续前行到对方出发地后立即返回，第二次在离地30千米处相遇。两地相距 千米。
6．甲、乙两车分别同时从、两地相向而行，在距离地60千米的地方相遇。相遇后，两车继续以原来的速度前行，到达、两地后，又按原来的速度返回，第二次相遇在距离地50千米的地方，、两地相距 千米。
7．甲、乙两人沿长方形道路匀速相对而行，开始时甲在处，乙在处，同时出发．第一次相遇时甲走了50米，第二次相遇时，乙再走20米就回到处，这条道路的周长是 米．
8．小星和小明分别从一座桥的两端同时相向出发，往返于两端之间，小星每分钟走65米，小明每分走70米，经过10分钟两人第三次相遇，这座桥长 米．
9．、两地有条公路，甲从地出发步行到地，一辆110警车同时从地出发，不停地在、两地间来回进行巡逻．52分钟时，甲第一次与警车迎面相遇，又过8分钟这辆警车从后面超过甲．当甲到达地时，这辆警车与甲迎面相遇 次，超过甲 次．
10．红、黄、蓝三个小精灵，同一时间在同一地点按顺时针方向沿一条跑道匀速前进．绕行一周，红、黄、蓝三精灵各需12秒，8秒，9秒．那么在1小时内，红、黄、蓝三个小精灵共可同时相遇 次．（起始状态也记为一次）
11．甲、乙两人在100米跑道的起点，同时出发，往返行走．已知甲每分钟走40米，乙每分钟走60米．两人第2次迎面相遇时，离起点 米．
12．小明和小刚在长100米的游泳池的对边上相对同时开始游泳，小明每秒游3米，小刚每秒游2米，他们来回游了12分钟，若不计转向时间，他们迎面相遇的次数是 ．
13．如图，，是圆的直径的两端，甲在点，乙在点同时出发反向而行，两人在点第一次相遇，在点第二次相遇．已知离有40米，离有20米，则这个圆的周长 米．
14．王明从城步行到城，同时刘洋从城骑车到城，1.2小时后两人相遇．相遇后继续前进，刘洋到城立即返回，在第一次相遇后45分钟又追上了王明，两人再继续前进，当刘洋到达城后立即折回．两人第二次相遇后 小时第三次相遇．
15．两地相距，甲的速度，乙的速度是，相向而行，则两人第三次相遇时，甲距其出发点 。
16．两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站60千米处相遇，两车又以原来的速度前进，各车到站后立即返回，又在离中点30千米处相遇，两站相距 千米．
三．解答题
17．甲乙两人在400米环形跑道上跑步，甲每分钟300米，乙每分钟200米，如果两人在同一起点同时反向出发，
（1）几分钟后，两人第一次相遇？
（2）几分钟后，两人第一次相遇后又相距100米？
18．小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小华的速度是65米分，小明的速度是70米分，经过4分钟两人第一次相遇。
（1）这座桥长多少米？
（2）两人从出发到第二次相遇，一共走了多少米？
19．东、西两城相距75千米，小东步行从东城向西城走，每小时走6.5千米；小希步行从西城向东城走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东城向西城走，每小时走15千米。三人同时动身，途中小辉遇见小希又折回向东城走，遇见小东又折回向西城走，再遇见小希又折回向东城走一直到三人在途中相遇为止，小辉共走了多少千米？
20．甲、乙两人分别从、两地同时出发，往返跑步，甲每分180米，乙每分240米，如果他们的第10次相遇点与第11次相遇点的距离是600米，求、两地相距多少米？
21．甲、乙两人骑自行车分别从、两地相向出发，两人在途中距地20千米处第一次相遇，然后两人继续前行，甲、乙到达、两地后都立即返回，两车在途中距地15千米处第二次相遇，求、两地间的距离．（列式计算）
22．、两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行．各自达到目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二次相遇．已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？
23．甲、乙两人驾车分别从、两地同时出发，相向而行，在出发离地24千米处相遇后继续前进，甲到地、乙到地后立即返回，在离地12千米处第二次相遇，求、两地的路程．
24．甲乙两列车同时从、两地相对开出，第一次相遇在离地120千米处，相遇后继续前进，到达目的地后又立即返回．第二次相遇在距离地的处．、两地相距多少千米？
25．、两地间有一座桥，甲、乙两人分别从、两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多行2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍旧在桥上相遇，如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇，则、两地相距多少千米？
26．如图，两只小爬虫从点出发，沿长方形的边按箭头方向爬行，在距点16厘米的点它们第一次相遇，在距点8厘米的点第二次相遇，在距点8厘米的点第三次相遇，求长方形的边的长．
27．甲乙两人同时从两地出发相向而行，第一次在离地1000米处相遇，相遇后继续前进，达到目的地立即返回，在离地1400米处相遇，两地相距多少米？
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．【答案】
【分析】两人第二次相遇时，两人走的路程和是桥长的3倍。先利用速度和相遇时间路程，可以计算出两人所行的路程和，再用两人所行的路程和除以3，可以计算出这座桥长多少米。
【解答】解：
（米
答：这座桥长300米。
故选：。
2．【答案】
【分析】爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程，即相同时间内，爸爸走的路程是儿子的一半，所以爸爸速度是儿子的，当爸爸到达公园时行了2千米，此时儿子一直在运动，根据分数除法的意义，爸爸到达公园时，儿子行了千米．
【解答】解：（千米）
答：儿子一共骑了4千米．
故选：。
3．【答案】
【分析】甲乙两人第三次相遇，他们的路程和就是环形跑道长度的3倍；根据甲乙两人的速度差以及相遇时间，可以求出他们的路程差；根据和差关系，求出两人各自的路程；取路程较短的一方，除以环形跑道的长度，所得余数就是两人第三次相遇的地点与点沿跑道上的最短距离。
【解答】解：甲乙两人的路程和为：（米，
甲乙两人的路程差为：
（米
根据和差公式，路程较短的乙的路程为：
（米
（圈（米
答：两人第三次相遇的地点与点沿跑道上的最短距离是176米。故选：。
二．填空题（共13小题）
4．【分析】根据“在距地60千米处相遇”可知，第一次相遇时甲车走了60千米，而到这次相遇时，两车共走了1个全程，由于甲、乙两车速度不变，所以在每个全程中甲车都走了60千米．根据第二次相遇，可知两车一共走了3个全程．就可以推出甲车一共走了3个60千米．再根据此时距地55千米处相遇可知：甲车走了1个全程加55千米，那么（千米）就是1个全程，也就是、两地间的路程．
【解答】解：
（千米）答：、两地间的路程是125千米．故答案为：125．
5．【答案】270。
【分析】由于甲和乙第一次相遇时离地100千米说明两车合行了一个全程，其中甲行驶了100千米；而当第二次相遇时，两车合行了三个单程，其中甲行了（千米）；这时甲行了一个单程多30千米，故全程是千米。
【解答】解：
（千米）答：两地相距270千米。故答案为：270。
6．【答案】130。
【分析】第一次相遇时，甲乙共有一个全程，甲走60千米；第二次相遇时，甲乙共走3个全长，甲走（千米），此时离地50千米，则甲比1个全长多走50千米，则用180千米减去50千米就是、两地的距离；据此解答。
【解答】解：
（千米）答：、两地相距130千米。故答案为：130。
7．【分析】第一次相遇时，二人行的距离之和是长宽，从出发到第二次相遇时，二人行的距离之和是（长宽），从第一次相遇到第二次相遇时，二人行的距离之和是（长宽）
第一次甲行50米，即甲，乙每共行一个长宽，甲就行50米；那么从第一次相遇到第二次相遇甲行米，甲共行米，依题意甲超过点20米．则长宽米，
周长米．
【解答】解：，
，
，
（米．
答：这条道路的周长是260米．
8．【分析】除第一次相遇外，每相遇一次即两人就行走了2个全程的距离；经过10分钟两人第三次相遇，那么共行了5个桥长，所以用速度和乘10就是总长度，再除以5即可．
【解答】解：
（米
答：这座桥长 270米．
故答案为：270．
【点评】解答此题要明确除了第一次相遇外，每相遇一次即两人就行走了2个全程的距离．
9．【分析】设甲的速度为，警车的速度为，则两人的速度和是，52分钟时，甲第一次与警车迎面相遇，则两地的距离为；又过8分钟这辆警车从后面超过甲，此时警车正好比甲多行了一个全程，此时甲乙共行了分钟，则正好是一个全程，由此可得等量关系式：，整理此关系式求出速度比后即能求出这辆警车与甲迎面相遇几次，超过甲几次．
【解答】解：设人速度为 车速度为，可得：
，

，
即人与车的速度比是：．
所以车的速度是人的14倍，
因此甲走完全程，车共走了14个全程，甲始终是从到，
车走了7个来回，最后同时到达地，
即相遇7次，超过6次．
故答案为：7，6．
【点评】首先通过设未知数，根据所给条件列出等量关系式求出两者的速度比是完成本题的关键．
10．【分析】先求出红、黄、蓝三个小精灵一次相遇的时间，即12，8，9的最小公倍数72秒钟，用一个小时除以72秒的结果再加上1即可．
【解答】解：根据题意可得：
1小时秒；
12，8，9的最小公倍数72；
（次．
答：红、黄、蓝三个小精灵共可同时相遇51次．
故答案为：51．
【点评】本题考查了最小公倍数的计算，求出12、8、9的最小公倍数是解题的关键．
11．【分析】根据题干分析可得：第一次迎面相遇时，二人行走之和是这个跑道的2倍，当二人第2次迎面相遇时，二人行走的路程之和是跑道的长度的4倍，据此设第2次相遇的时间是分，据此根据速度时间路程即可列出方程解决问题．
【解答】解：设第2次相遇的时间是分，根据题意可得方程：
，
，
，
此时乙行驶了（米，
（米，
答：两人第2次迎面相遇时，离起点40米．
故答案为：40．
12．【分析】根据题意，12分钟共游的路程是：（米；因为一开始他们相遇行了100米，减100，1个来回的路程200米，所以来回一共相遇：（次，再加上一开始的一个相遇，共：（次．
【解答】解：12分钟共游的路程是：
（米
（次
（次答：他们迎面相遇次数是18．故答案为：18．
【点评】本题主要考查多次相遇问题，关键主要来回所行的路程．利用路程、速度和时间的关系做题．
13．【分析】如图，第一次相遇于点，距点40米，此时甲行40米，甲乙共行圆的半个周长．即每行半周甲就行40米，第二次相遇于点，此时两人共行1周半即3个半周，则甲一共走了米，点距点20米，即此时甲行的路程比半周多20米，那么圆形场地的半周长为米，周长为米．
【解答】解：
（米
答：这个圆的周长为200米．
故答案为：200．
【点评】完成本题的关键是根据两次相遇点、距、两点的距离求出两次相遇时甲行的路程是多少．
14．【分析】由题意知道两人走完一个全程要用1.2小时．从开始到第三次相遇，两人共走完了三个全程，故需3.6小时．第一次相遇用了1.2小时，第二次相遇用了45分钟，那么第二次到第三次相遇所用的时间是：3.6小时小时分钟据此计算即可解答．
【解答】解：45分钟小时，
从开始到第三次相遇用的时间为：
（小时）；
第二次到第三次相遇所用的时间是：
（小时）；
答：第二次相遇后1.65小时第三次相遇．故答案为：1.65．
15．【答案】1400。
【分析】先分别求出甲、乙走一个全程所需要的时间，然后画出柳卡图，根据相遇问题中的总路程、时间、速度和之间的关系求解即可。
【解答】解：甲走一个全程需要：
乙走一个全程需要：
柳卡图如下：
三次相遇都是迎面相遇，第三次相遇时，两人共走了5个全程，
总时间：
甲走的总路程：
（米
距离出发点距离：
（米
答：甲距其出发点。
故答案为：1400。
【点评】本题主要考查了多次相遇问题，运用柳卡图来使问题更直观是多次相遇问题的解题关键。
16．【分析】因两车第二次相遇，一共走了三个全程，第一次在离东站60千米的地方相遇，所以从东站出发的汽车一共走了千米，因第二次相遇，离中点30千米处相遇，如从东站开出的车快，则减去30千米是三个全程的一半，如从东站开出的车慢，则加上30千米是三个全程的一半．据此解答．
【解答】解：（1）如从东站开出的车快，则两站相距
，
，
，
（千米），
（2）如从东站开出的车慢，则两站相距
，
，
，
（千米）．答：两站相距可能是100千米或140千米．
三．解答题
17．【分析】（1）由于是环形跑道，两人同时反向出发第一次相遇时，两人共行了一周即400米，两人的速度和为米，根据路程除以速度和等于相遇时间，所以两人第一次相遇时共行了分钟；
（2）同理，两人第一次相遇后又相距100米，说明两人共行了米，根据路程除以速度和等于时间，所以共同行驶的时间是分钟；据此解答即可．
【解答】解：（1）
（分钟）答：0.8分钟后，两人第一次相遇．
（2）
（分钟）答：1分钟后，两人第一次相遇后又相距100米．
18．【答案】（1）540米；（2）1620米。
【分析】第一次相遇两人走了一个桥长，然后分别走到桥头两人又走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又走了一个桥长，先用加法求出两人的速度和，再根据“路程速度和第一次相遇的时间”，求出桥长；求两人从出发到第二次相遇，一共走了多少米，用桥长乘3即可。
【解答】解：（1）
（米答．这座桥长540米。
（2）（米
答：两人从出发到第二次相遇，一共走了1620米。
19．【答案】90。
【分析】小辉走的路程是用小东和小希相遇的时间乘小辉的速度。因为小辉在相遇时间内一直在走。先求出小东和小希的相遇时间。路程速度和，再用速度乘时间等于路程求出小辉所行路程。
【解答】解：
（小时）
（千米）答：辉共走了90千米。
20．【分析】由题意可知，甲乙两人的速度比为，甲、乙每次走完全程所用的时间比与速度成反比，即，根据时间画出时间距离图象，可以明显看出两人的相遇点，再根据第十次和第十一次的距离求出、两地的距离即可。
【解答】解：甲乙两人的速度比为，
则，两人分别走完全程的时间比为速度比的倒数，即，
时间距离图如图：
第10次相遇到第11次相遇两人共走了两个全程，相遇点之间的距离就是甲走的路程，
将一个全程的距离看作单位“1”，则，他们共走了2，根据时间相同时，路程比等于速度比，所以，甲走的距离是：，
、之间的距离为：
（米
答：、两地相距700米．
21．【分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时乙应该行了20千米，即乙共行了千米，然后再减去15千米，就是两地距离．
【解答】解：
（千米）
答：两地相距45千米．
【点评】解答本题关键是明确：第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离．
22．【分析】由于它们相向而行，各自达到目的地后又立即返回，他们应是在快车返回地后又在去地的路上和返回地的慢车相遇，所以相遇时他们行了3个全程即（千米），已知相遇时间为8小时，甲车每小时行45千米，所以两车的速度和为．
【解答】解：，
，
（千米）．答：乙车每小时行67.5千米．
23．【分析】甲、乙两人驾车分别从、两地同时出发，相向而行，第一次在出发离地24千米处相遇，则此时甲行了24千米，此时两人共行了一个全程，即两人每共行一个全程，甲就行24千米．当他们分别到达地、地后，立即返回，又在离地12千米处第二次相遇，此时两人共行了3个全程，则甲行了千米，即行了一个全程后又行了12千米，所以全程是千米．
【解答】解：
（千米）答：、两地的路程是60千米．
24．【分析】第一次相遇时，两车共行了两城的距离，其中地出发的甲行了120千米；即每行一个两城的距离，城出发的甲车就行120千米，第二次相遇时，两车共行了两城距离的3倍，则城出发的甲车行了千米；第二次相遇在距离地的处，即第二次相遇时甲共行了全程的，即360千米，然后根据分数除法的意义解答即可．
【解答】解：
（千米）答：、两地相距280千米．
25．【分析】因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的．
在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是小时，甲每小时多走2千米，2.5小时就多走了千米，这5千米就是甲原来0.5小时走的，所以甲的速度就是每小时千米．
在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是小时，乙每小时少走2千米，3.5小时就少走了千米，这7千米就是乙原来小时走的，所以乙的速度就是每小时千米．这样就可以求出、两地的距离为千米．
【解答】解：，
，
，
（千米）．答：、两地相距72千米．
26．【答案】16厘米。
【分析】由题意和图示知甲三次走的路程相等：，也就是．由此求出答案即可。
【解答】解：甲和乙既然是相遇问题，说明时间相同。
以甲分析为例，甲三次相遇所走的路程应该是相同的，
即：，也就是。
得到厘米。
【点评】此题属于多次相遇问题，“甲三次相遇所走的路程应该是相同的”是解题关键。
27．【分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了1000米，即乙距离地的距离，再次相遇时在离地1400米处相遇，说明乙在两次相遇之间应该行驶了米个两地间距离），也就是第一次相遇时乙行驶路程的2倍，依据除法意义，求出乙第一次相遇时行驶的路程，最后加第一次相遇时甲距离地的距离即可解答．
【解答】解：
（米
答：两地相距2200米．
【点评】第一次相遇到第二次相遇时，两人各自行驶的路程应该是第一次相遇时行驶路程的2倍．