（行程问题专项讲义）专题4 多次相遇问题-小升初数学模块化思维提升（通用版）.zip

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、多次相遇的基本公式和方法计算。
距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲=V甲×T甲，S乙=V乙×T乙，有如下关系：
（1）当时间相同即T甲=T乙时，有S甲：S乙=V甲：V乙；
（2）当速度相同即V甲=V乙时，有S甲：S乙=T甲：T乙；
（3）当路程相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T甲．
在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果．
【典例一】爸爸和儿子去外的公园，爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程．儿子立刻返回，遇到爸爸后又骑向公园，到公园又返回直到爸爸到达公园．儿子从出发开始一共骑了
A．B．C．
【分析】爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程，即相同时间内，爸爸走的路程是儿子的一半，所以爸爸速度是儿子的，当爸爸到达公园时行了2千米，此时儿子一直在运动，根据分数除法的意义，爸爸到达公园时，儿子行了千米．
【解答】解：（千米）
答：儿子一共骑了4千米．
故选：。
【点评】首先根据已知条件求出爸爸速度是儿子的几分之几是完成本题的关键．
【典例二】如图，，是圆的直径的两端，甲在点，乙在点同时出发反向而行，两人在点第一次相遇，在点第二次相遇．已知离有40米，离有20米，则这个圆的周长 米．
【分析】如图，第一次相遇于点，距点40米，此时甲行40米，甲乙共行圆的半个周长．即每行半周甲就行40米，第二次相遇于点，此时两人共行1周半即3个半周，则甲一共走了米，点距点20米，即此时甲行的路程比半周多20米，那么圆形场地的半周长为米，周长为米．
【解答】解：
（米
答：这个圆的周长为200米．
故答案为：200．
【点评】完成本题的关键是根据两次相遇点、距、两点的距离求出两次相遇时甲行的路程是多少．
【典例三】如图，两只小爬虫从点出发，沿长方形的边按箭头方向爬行，在距点16厘米的点它们第一次相遇，在距点8厘米的点第二次相遇，在距点8厘米的点第三次相遇，求长方形的边的长．
【分析】由题意和图示知甲三次走的路程相等：，也就是．由此求出答案即可。
【解答】解：甲和乙既然是相遇问题，说明时间相同。
以甲分析为例，甲三次相遇所走的路程应该是相同的，
即：，也就是。
得到厘米。
【点评】此题属于多次相遇问题，“甲三次相遇所走的路程应该是相同的”是解题关键。
一．填空题（共8小题）
1．、两地有条公路，甲从地出发步行到地，一辆110警车同时从地出发，不停地在、两地间来回进行巡逻．52分钟时，甲第一次与警车迎面相遇，又过8分钟这辆警车从后面超过甲．当甲到达地时，这辆警车与甲迎面相遇 7 次，超过甲 次．
【分析】设甲的速度为，警车的速度为，则两人的速度和是，52分钟时，甲第一次与警车迎面相遇，则两地的距离为；又过8分钟这辆警车从后面超过甲，此时警车正好比甲多行了一个全程，此时甲乙共行了分钟，则正好是一个全程，由此可得等量关系式：，整理此关系式求出速度比后即能求出这辆警车与甲迎面相遇几次，超过甲几次．
【解答】解：设人速度为 车速度为，可得：
，

，
即人与车的速度比是：．
所以车的速度是人的14倍，
因此甲走完全程，车共走了14个全程，甲始终是从到，
车走了7个来回，最后同时到达地，
即相遇7次，超过6次．
故答案为：7，6．
【点评】首先通过设未知数，根据所给条件列出等量关系式求出两者的速度比是完成本题的关键．
2．红、黄、蓝三个小精灵，同一时间在同一地点按顺时针方向沿一条跑道匀速前进．绕行一周，红、黄、蓝三精灵各需12秒，8秒，9秒．那么在1小时内，红、黄、蓝三个小精灵共可同时相遇 51 次．（起始状态也记为一次）
【分析】先求出红、黄、蓝三个小精灵一次相遇的时间，即12，8，9的最小公倍数72秒钟，用一个小时除以72秒的结果再加上1即可．
【解答】解：根据题意可得：
1小时秒；
12，8，9的最小公倍数72；
（次．
答：红、黄、蓝三个小精灵共可同时相遇51次．
故答案为：51．
【点评】本题考查了最小公倍数的计算，求出12、8、9的最小公倍数是解题的关键．
3．甲、乙两车同时从、两站出发，两车第一次相遇时，甲车行了100千米，两车分别到达站和站后，立即又以原速返回，当两车第二次相遇时，甲车离站70千米，则、两站间的距离是 185 千米．
【分析】第二次相遇说明共行了三个总路程，根据两车第一次相遇时，甲车行了100千米，可知甲乙每行一个总路程，甲就行100千米，则第二次相遇时甲就行了：（千米），那么再加上70千米就是、两地距离的2倍，所以、两地距离是：（千米），据此解答．
【解答】解：（千米）
（千米）
答：、两站间的距离是185千米．
故答案为：185．
【点评】本题关键是明确两次相遇说明共行了三个总路程，如果画线段图更容易帮助理解．
4．甲、乙两人沿长方形道路匀速相对而行，开始时甲在处，乙在处，同时出发．第一次相遇时甲走了50米，第二次相遇时，乙再走20米就回到处，这条道路的周长是 260 米．
【分析】第一次相遇时，二人行的距离之和是长宽，从出发到第二次相遇时，二人行的距离之和是（长宽），从第一次相遇到第二次相遇时，二人行的距离之和是（长宽）
第一次甲行50米，即甲，乙每共行一个长宽，甲就行50米；那么从第一次相遇到第二次相遇甲行米，甲共行米，依题意甲超过点20米．则长宽米，
周长米．
【解答】解：，
，
，
（米．
答：这条道路的周长是260米．
【点评】由题意得出甲，乙每共行一个长宽，甲就行50米，并由此求第二次相遇时，甲共行的米数是完成本题的关键．
5．甲乙两人在100米直跑道的一端同时同向出发，往返行走．已知甲每分钟走30米，乙每分钟走70米．两人第 4 分钟第二次相遇时，甲离起点 米．
【分析】根据题干分析可得：第一次迎面相遇时，二人行走之和是这个跑道的2倍，当二人第2次迎面相遇时，二人行走的路程之和是跑道的长度的4倍，据此设第2次相遇的时间是分，据此根据速度时间路程即可列出方程解决问题．
【解答】解：设第2次相遇的时间是分，根据题意可得方程：


（米
（米
答：两人第4分钟第二次相遇时，甲离起点80米．
故答案为：4，80．
【点评】根据题干分析得出二人第2次相遇时，行驶的路程之和是跑道的长度的4倍，是解决本题的关键．
6．甲乙二人分别从、两地同时出发，在、两地之间往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米．如果他们第三次迎面相遇与第四次迎面相遇点的距离是150米，那么、之间的距离为 375 米．
【分析】由题意可知，两人的速度比为，第一次相遇甲乙共跑一个、全程，以后每相遇一次多行两个全程，则第二次相遇共跑三个全程，第三次相遇共跑五个全程，第四次相遇共跑七个全程，得：第四次相遇甲跑了个全程，第三次相遇甲跑了个全程，除去全程后，第三次相遇地点应在全程的处，第四次相遇地点应在全程的处，所以两次相遇点距离应该是个全程，所以全程是：米．
【解答】解：第三次相遇甲跑了：
个全程；
第四次相遇甲跑了：
，
，
个全程；
所以全程是：
，
，
（米．
答：全程为375米．
故答案为：375．
【点评】其实我不用管他们是几次相遇，总之前一次相遇到后一次相遇，间隔150米．自前一次相遇到后一次相遇所用时间都是相等的．只是路程不等而已．这不等的路程就是因他俩速度不同而造成相距150米．所以150米的路程会用150除以的时间在这样的时间里总速度为10米每秒，故得总路程为10乘以150除以的差，等于375米．
7．东西两村相距4200米，甲从东村、乙和丙从西村同时出发，甲与乙、丙相向而行，甲与乙相遇后1分钟甲与丙相遇，甲每分钟走110米，乙每分钟走100米，丙每分钟走 90 米．
【分析】已知全程及甲乙的速度，由此可得甲乙相遇时所用的时间为：（分钟）；甲与乙相遇后1分钟甲与丙相遇，则甲与丙相遇时所用时间为分钟，由路程相遇时间速度和，可知两人的速度和为，所以丙的速度为：（米分钟）．
【解答】解：丙的速度为：
，
（米分钟）．
故答案为：90．
【点评】完成本题关键是通过求出甲乙两人相遇时间进而求出甲丙丙人的相遇时间．
8．在一个圆环形的跑道上，甲、乙两人在同一地点沿相同方向跑时，每隔16分相遇一次，如果两人速度不变，两人在同一地点沿相反方向跑时，每隔8分相遇一次，则甲跑一圈需要 分，乙跑一圈需要 分．
【分析】可设甲速度为米分，乙速度为米分，根据等量关系：方向相同，每隔16分相遇一次，方向相反时，每隔8分一次，列出方程组求解即可．
【解答】解：设甲速度为米分，乙速度为米分，则：


因为为1圈的长度．
．
所以1圈的长度为，
甲跑1圈需要的时间为
（分
由可得，甲的速度是乙的速度的3倍，
那么，甲的时间就是乙的，
乙的时间就是甲的3倍，所以乙跑一圈需要的时间为：
（分
答：甲跑一圈需要分，乙跑一圈需要32分．
故答案为：，32．
【点评】本题主要考查了学生解决行程问题的能力，求出甲的速度是乙的速度的3倍，从而推出乙的时间是甲的3倍是解题关键．
二．解答题（共15小题）
9．、两地间有一座桥，甲、乙两人分别从、两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多行2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍旧在桥上相遇，如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇，则、两地相距多少千米？
【分析】因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的．
在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是小时，甲每小时多走2千米，2.5小时就多走了千米，这5千米就是甲原来0.5小时走的，所以甲的速度就是每小时千米．
在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是小时，乙每小时少走2千米，3.5小时就少走了千米，这7千米就是乙原来小时走的，所以乙的速度就是每小时千米．这样就可以求出、两地的距离为千米．
【解答】解：，
，
，
（千米）．
答：、两地相距72千米．
【点评】此题考查学生路程、速度与时间的关系，有一定难度，重点应求出二人的速度．
10．甲从地到地需要5小时，乙从地到地，速度是甲的，现在甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，在途中相遇后继续前进，甲到地后立即返回，乙到地后也立即返回，他们在途中又相遇一次，如果两次相遇点相距36千米，、两地间的距离是多少千米？
【分析】由题意可知，甲乙速度比为，第一次相遇，甲乙共行1个全程，甲行全程的，第二次相遇，甲乙共行3个全程，甲行全程的，第一次相遇点与的距离为全程的，第二次相遇点与的距离为全程的，两次相遇点之间的距离为全程的，所以全程为：千米．
【解答】解：第一次相遇，甲行全程的，即相遇点与的距离为全程的，
二次相遇，甲行全程的，
则全程为：
，
，
（千米）．
答：两地间的距离为78千米．
【点评】根据两人的速度比求出每次相遇时甲行的占全程的分率，进而求出两次相遇地点的距离占全程的分率是完成本题的关键．
11．甲、乙两队学生从相距31.5千米的两地同时出发，相向而行．一个同学骑自行车以每小时14千米的速度，在两队间不停地往返联络，甲队速度是每小时5千米，乙队每小时4千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行了多少千米？
【分析】首先理清：反复行走的学生走的时间等于两队的相遇时间．相遇时间：（小时）．骑车走了：（千米）．
【解答】解：（小时）．
（千米）．
答：骑自行车的同学共行了49千米．
【点评】此题的关键要弄清：反复行走的学生走的时间等于两队的相遇时间．
12．甲乙两车同时从、两地相对开出，第一次在离地80千米处相遇．相遇后两车继续前进，到达目的地后又立即返回，第二次相遇在离地60千米处．求、两地间的距离．
【分析】第一次相遇时，两车共行了两城的距离，其中城出发的甲行了80千米；即每行一个两城的距离，城出发的甲车就行80千米，第二次相遇时，两车共行了两城距离的3倍，则城出发的甲车行了千米；所以，两城相距千米．
【解答】解：，
，
（千米）．
答：、两地间的距离是180千米．
【点评】抓住每行一个两城的距离，城出发的甲车就行80千米这个重点进行解答是完成本题关键．
13．如图，，是圆的直径的两端，甲在点，乙在点同时出发反向而行，两人在点第一次相遇，在点第二次相遇．已知离有80米，离有60米，求这个圆的周长．
【分析】如图，第一次相遇于点，距点80米，此时甲行80米，甲乙共行圆的半个周长．即每行半周甲就行80米，第二次相遇于点，此时两人共行1周半即3个半周，则甲一共走了米，点距点60米，即此时甲行的路程比半周多60米，那么圆形场地的半周长为米，周长为米．
【解答】解：，
，
（米．
答：这个圆的周长为360米．
【点评】完成本题的关键是根据两次相遇点、距、两点的距离求出两次相遇时甲行的路程是多少．
14．甲、乙、丙三人围绕800米的环形跑道跑步，甲跑一圈要2分钟，乙跑一圈要3分钟，丙跑一圈要4分钟，三人同时从同一地点出发，至少经过多少分钟，三人在出发点再次相遇？三人共跑了多少米？
【分析】当三人在原出发地相遇时用的时间一定是三人各跑一圈所用时间的最小公倍数，求出它的最小公倍数，就是再次在原出发地相遇时用的时间，再用这个时间除以每人跑一圈所需时间求出各人跑的圈数，然后圈数之和乘以800进而可求出三人共跑多少米．
【解答】解：2，3和4的最小公倍数是12，所以三人又在原出发地相遇时用的时间是12分；
（米，
答：至少经过12分钟，三人在出发点再次相遇，三人共跑，10400米．
【点评】本题的重点是让学生理解：三人又在原出发地相遇时用的时间相同，是三人用时的最小公倍数．
15．甲乙两人同时从两地出发相向而行，第一次在离地1000米处相遇，相遇后继续前进，达到目的地立即返回，在离地1400米处相遇，两地相距多少米？
【分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了1000米，即乙距离地的距离，再次相遇时在离地1400米处相遇，说明乙在两次相遇之间应该行驶了米个两地间距离），也就是第一次相遇时乙行驶路程的2倍，依据除法意义，求出乙第一次相遇时行驶的路程，最后加第一次相遇时甲距离地的距离即可解答．
【解答】解：
（米
答：两地相距2200米．
【点评】第一次相遇到第二次相遇时，两人各自行驶的路程应该是第一次相遇时行驶路程的2倍．
16．小明、小芳、小菲三人步行，小明每分钟走60米，小芳每分钟走50米，小菲每分钟走40米，小明从甲地，小芳与小菲从乙地同时出发相向而行，小明与小芳相遇后，过了15分钟又与小菲相遇．求甲、乙两地的距离．
【分析】由题意，可设小明与小芳用了分钟相遇，那么小明与小菲就用了分钟相遇，根据速度和时间路程，可分别求得小明与小芳所行的路程和以及小明与小菲所行的路程和，根据这两个路程是相等的列方程即可求得小明与小芳相遇所用的时间，再乘他们的速度和就是甲、乙两地的距离．
【解答】解：设小明与小芳用了分钟相遇，那么小明与小菲就用了分钟相遇，
（米
答：甲、乙两地的距离是16500米．
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速度，路程速度时间，要熟练掌握．
17．小强和小明围绕操场的周长晨练，两人同时从起点出发背向而行，小强每分行75米，小明每分行70米，两人相遇后以原来的速度继续前行，直到第二次相遇共用了12分钟．操场的周长是多少米？
【分析】由于两个人是相背而行，所以每相遇一次就共同行驶了操场一周的长度，所以第二次相遇就行驶了2圈，然后用速度和乘第二次相遇的时间12分钟求出总路程，再除以2即可．
【解答】解：
（米
答：操场的周长是725米．
【点评】本题考查了环形跑道上的相遇问题，关键是明确每相遇一次就共同行驶了操场一周的长度．
18．甲乙两地相距222千米，小李、小张从甲地，小王从乙地同时出发相向而行，小李、小张和小王的速度分别是17千米，13千米、16千米，问经过几小时后，小李正好在小张和小王相距路程的正中处？
【分析】经过小时后，小李正好在小张与小王相距的正中点处；此时小张行驶的路程是千米，小李行驶的路程是千米，小王行驶的路程是千米；小张和小王两人之间距离的一半就是小李比小张多行驶的路程；小李行驶的路程加上小张和小王两人之间距离的一半，再加上小王行驶的路程就是全程；由此列出方程求解．
【解答】解：设经过小时后，小李正好在小张与小王相距的正中点处，由题意得：


；
答：经过6小时后，小李正好在小张与小王相距的正中点处．
【点评】解决本题关键是找出路程之间的等量关系：小张和小王两人之间距离的一半就是小李比小张多行驶的路程．
19．两地相距125千米，甲乙两人分别骑自行车从两地出发，相向而行，丙骑摩托车以的速度，和甲同时从出发，在甲乙两人之间来回穿梭，已知甲的速度为，当丙第二次回到甲之处时，甲乙相距为．乙的速度是多少？（此题难度较高）
【分析】根据甲丙的速度差（同向时）和速度和（相向时）的比例，得到两段路程的时间比为，所以丙走的距离第一次和第二次的比例为，乙走的距离第一次和第二次的比例为，由此列出如下的两个式子：丙行程乙行程，丙行程乙行程．从而得到，同样的时间内，乙行程是丙行程的，所以乙的速度为丙速度的，即．
【解答】解：丙走的距离第一次和第二次的比例为
乙走的距离第一次和第二次的比例为
丙所行路程乙所行路程
丙所行路程乙所行路程
得乙所行路程是丙所行路程的
所以乙的速度为丙速度的
（千米小时）
答：乙的速度为每小时7千米．
【点评】本题主要考查多次相遇问题，关键分清追及还是相遇，利用路程、速度和时间的关系做题．
20．甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是．甲每小时行，乙每小时行．甲带着一只狗，狗每小时跑．这只狗同甲一道出发，碰到乙时它就掉头跑向甲，碰到甲时又掉头跑向乙，直到两人相遇时才停止．这只狗一共跑了多少千米？
【分析】由题意知，这只狗速度，求它跑的路程，所以只要知道狗跑的时间即可；实际上狗跑的时间就是甲、乙相遇的时间，故根据“相遇公式”即可求出甲乙相遇的时间为小时，至此就能轻松求出答案了．
【解答】解：（小时）
（千米）
答：这只狗一共跑了40千米．
【点评】此题较简单，关键是知道“狗跑的时间等于甲、乙相遇的时间”即可．
21．甲、乙、丙三人沿着一条环形跑道跑步，三人同时同地出发，乙、丙两人沿着逆时针方向跑，甲沿着顺时针方向跑，经过一段时间后甲与乙第一次相遇，再经过分钟后甲与丙相遇，再经过分钟后，甲与乙第二次相遇，已知跑道一圈的长为600米，乙的速度是甲的速度的．求丙的速度．
【分析】经过一段时间后甲与乙第一次相遇，再经过分钟后甲与丙相遇，再经过分钟后，甲与乙第二次相遇，则可看成甲乙两人共同走完环形路共用了分钟，则每分钟甲乙共走了米，乙的速度是甲的速度的，把甲的速度看成1，则乙就是，则
甲速：米分
乙速：米分
甲第一次遇到乙后分钟遇到丙，则这段时间乙比丙多走丙）米，正好是甲丙用分钟走的，据此列出方程解答即可．
，据此解答即可．
丙米分
【解答】解：甲乙两人共同走完环形路共用了（分
每分钟甲乙共走了（米
把甲的速度看成1，则乙就是，则
甲速：（米
乙速：（米
设丙的速度是每分钟跑米，根据题意得：

化简得：







答：丙的速度是每分钟跑24米．
【点评】本题的关键是理解第一次相遇到第二次相遇，他们相遇时间是5分钟，然后再根据路程时间速度进一步解答即可．
22．甲、乙两只猿猴同时从地面沿树向上爬，爬到树顶立即降到地面，然后再往上爬。甲、乙向上爬的速度之比为，下降速度为各自上爬速度的3倍。如果树高40米，则甲、乙两只猿猴开爬后第一次相遇处距离地面多高？第二次相遇呢？
【分析】根据甲、乙向上爬的速度之比为，下降速度为各自上爬速度的3倍，求出甲上：乙上，甲下：乙上，甲上：乙下，甲下：乙下；求出甲到顶时，乙爬至距地面的长度，以及两猿相距，然后甲下降，乙上爬，求出二者相遇时甲下降的长度，继而求出第一次相遇处距离地面的长度；乙爬到顶时，求出甲下降的长度，可知恰好到底面，此时二者相距40米，然后甲上爬，乙下降，继而求出二者相遇时甲上爬的长度。
【解答】解：甲上：乙上
甲下：乙上
甲上：乙下
甲下：乙下
（米
（米
（米
（米
（米
（米
答：甲、乙两只猿猴开爬后第一次相遇处距离地面32米，第二次相遇处距离地面米。
【点评】解答此题关键是，理解两只猴爬行速度的比即是路程的比（相同时间内），求出它们所爬路程的比，问题就容易解决。
23．乌龟与小白兔赛跑，比赛场地从起点到插小旗处为104米，比赛规定，小白兔从起点出发，跑到插小旗处马上返回，跑到起点又返回，，如此继续下去，已知小白兔每秒跑10.2米，乌龟每秒跑0.2米，如果从起点出发第一次相遇，问：
（1）出发后多长时间它们第二次相遇？
（2）第三次相遇距起点多远？
（3）从第二次相遇到第四次相遇乌龟爬了多远？
（4）乌龟爬到50米时，它们共相遇多少次？
【分析】（1）第二次相遇是在小白兔返回时，迎面相遇，此时它们共行两个全程，根据路程速度和相遇时间可知，用时为：（秒．以后两者每迎面相遇一次就为20秒．
（2）第三次相遇是小白兔比乌龟多跑一圈后追上乌龟的时候，用时为：（秒，此时乌龟爬了：（米，即第三次相遇距起点4.16米；
（3）第四次相遇是小白兔第二次与乌龟迎面相遇，与上一次迎面相遇相差时间为20秒，乌龟爬了：（米，即第二次与第四次相遇乌龟爬了4米；
（4）乌龟爬50米用时为（秒，小白兔跑了（米，在乌龟没到小旗处之前，小白兔每104米中都会与乌龟相遇一次，因此米，，第25次乌龟与小白兔也已经相遇，因此它们共相遇了25次．
【解答】解：（1）
，
（秒．
答：出发后20秒时间它们第二次相遇．
（2）
，
（米．
答：第三次相遇距起点4.16米远．
（3）（米，
答：第二次相遇到第四次相遇乌龟爬了4米．
（4）
，
次米．
，第25次乌龟与小白兔也已经相遇，因此它们共相遇了25次．
答乌龟爬到50米时，它们共相遇25次．
【点评】这是一道综合题，包括相遇问题、追及问题等，正确判断问题的类型，用适当方法解决也是重要的技巧．