精品解析：2024年四川省德阳市什邡市初中毕业数学中考二诊试题（解析版）

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说明：1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷表、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回．
2. 本试卷满分150分．答题时间为120分钟．
第Ⅰ卷 （选择题，共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．
1. 64的算术平方根是
A. ±4B. ±8C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根．
【详解】∵64的算术平方根是8，
故选D．
【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握算术平方根的定义，即可完成．
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
3. 刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式（其中，为整数）表示即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，其形式为，且n为正整数，它等于原数的整数数位与1的差．
4. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A. 35°B. 45°C. 55°D. 25°
【答案】A
【解析】
【分析】先补全图形，根据对顶角相等得出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案．
【详解】如图所示．
根据题意可知．
∵，
∴，
解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，灵活选择平行线的性质是解题的关键．
5. 民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6. 实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【详解】解：根据图形可以得到：
，，，
则有：
，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C错误，符合题意；
，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
7. 将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率．根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列出表格如下：
由表可知，一共有12种情况，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的有2种情况，
∴两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率，
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先沿轴翻折，再向下平移个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图得出的坐标，根据沿轴翻折求出点对应点为，再向下平移个单位长度，即横坐标不变，纵坐标减即可求出最后的坐标．
【详解】解：由图可知的坐标为，将沿轴翻折后点对应点为，再向下平移个单位长度，点的对应点的坐标为，即．
故选：．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、坐标与图形的变化——对称和平移，解题本题的关键是掌握点的坐标的变化规律．
9. 如图，是矩形对角线，，，以为圆心、的长为半径作弧，交于，交于；再分别以，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，则下列说法错误的是（）
A. B.
C. 点到的距离为D. 图中阴影部分面积为
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据作图可得是的角平分线，进而判断A选项，根据得出，即可判断B选项，设，则，，解进而求得，即可判断C选项，根据求得阴影部分面积，即可判断D选项．
【详解】解：连接，
∵是矩形对角线，，
∴，
根据作图可得是的角平分线，
∴，故A选项正确；
∵，
∴，
∴，故B选项正确；
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，是的角平分线，
∴，
设，则，，则，
又∵，
∴，
解得：，
∴，即点到的距离为，故C选项错误，符合题意；
图中阴影部分面积为，故D选项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，求扇形面积，作角平分线，以及角平分线的性质；熟练掌握基本作图是解题的关键．
10. 用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）
A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 方案1或方案2
【答案】C
【解析】
【详解】解：方案1：
设垂直于墙面的一边长为x，则平行于墙面的边长为，
，
∴当时，y有最大值，最大值为；
方案2：
设等腰三角形底边长为d，高为h，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，即，整理得：，
∵，
∴，
令，则，
∴当时，有最大值，最大值为324，
∴当时，S有最大值，最大值为18，
方案3：
设半圆半径为r，
∵半圆的弧长为12米，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴最佳方案是方案3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，和求弧的半径，解题的关键是熟练掌握二次函数的图图象和性质，以及根据弧长求半径的方法．
11. 直角三角形中，是边上的中线，若，则的长为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由构造，使得，于是延长至点E，使，连接则，利用相似三角形的性质得出，再由在中，，利用双勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，延长至点E，使，连接
∵是边上的中线，且，
∴
设，则
∵，
∴
∵
∴，
∴
∴，即，
在中，，即①，
在中，，即②，
得，
解得：或（舍去）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理，解题关键是根据已知条件，联想到利用三角形外角性质构造等腰三角形，进而可利用相似三角形的性质解决问题．
12. 抛物线（a，c是常数且）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点在抛物线上，且，则④若是方程的两个根，其中，则其中正确的个数是（）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】①根据函数图象经过点的意义，只要得到即可；
②由①得，结合判断出a的正负即可；
③特值法，取时也符合题意，从而可得到结论；
④将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断．
【详解】解：Q抛物线经过点，
，
，
当时，，
∴该抛物线一定经过，故此项正确；
②由①得：，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线，
当时，，
，
，
也符合题意，但与矛盾，
故此项错误．
④是方程的两个根，
是抛物线与直线交点的横坐标，
，
如图：
由图得：，故此项正确．
故答案为：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．
第Ⅱ卷 （非选择题，共114分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，运用公式法分解即可
【详解】解：
，
故答案为：
14. 已知关于一元二次方程有一个根为1，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】将代入方程，解方程即可得到的值．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为1，
∴将代入方程，得
，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
15. 若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组，解之可得答案．
【详解】解：，
则不等式组的解集为，
不等式组有2个整数解，
不等式组的整数解为2、3，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于的不等式组是解答此题的关键．
16. 如图，是正六边形的外接圆，正六边形的边长为，则阴影部分的面积为___________．
【答案】2π-．
【解析】
【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，根据正六边形的特点，阴影部分的面积等于扇形AOB的面积与三角形AOB的面积之差，认真计算即可．
【详解】过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵是正六边形的外接圆，正六边形的边长为，
∴∠OAB=∠AOB==60°，OA=OB=AB=，
∵sin60°=，
∴OG=OAsin60°==3，
∴阴影部分的面积为：
=2π-，
故答案为：2π-．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，扇形的面积，阴影部分的面积，熟练掌握正多边形的中心角的计算，灵活运用扇形的面积，准确进行图形面积的分割计算是解题的关键．
17. 学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则图中的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟跑的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值，解题的关键是根据函数图象求出甲、乙的速度．
【详解】解：由图象可得，
甲的速度为(米秒)，
乙的速度为(米秒)，
∴，
故答案为：．
18. 如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为_____．
【答案】．
【解析】
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
∵DE＝DF，DO＝DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，
∴OC＝，
∴OD＝＝5，
∴OM＝＝5，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥，
∴线段OF长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19. （1）计算：；
（2）化简求值：其中．
【答案】（1）4；（2），
【解析】
【分析】本题考查含特殊角三角函数值的实数混合运算，负整数指数幂，零指数幂，二次根式的混合运算，分式的化简求值等知识，掌握相关的运算法则和公式是解题的关键．
（1）按照特殊角的三角函数值，负整数指数幂公式，零指数幂公式，二次根式的化简等知识，运算即可；
（2）先按分式的运算法则化简，再代入求值即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
当时，原式．
20. 如图，，垂足分别为D，E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，再根据，即可解答．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和全等的三个条件．
21. 某学校九年级共1200名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，视力在4.5≤x≤5.0范围内的数据如下：
4.7 4.5 4.9 5.0 4.6 4.8 4.5 4.9 4.9 4.8 4.5 4.5 4.9 5.0
根据数据绘制了如下的表格和统计图：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝________，b＝________．
（2）请补全条形统计图．
（3）写出这40名同学视力的中位数是________．
（4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生视力为“E级”的有多少人？
【答案】（1）6，25
（2）见解析（3）4.55
（4）该校九年级学生视力为“E级”约有300人
【解析】
【分析】（1）由所列数据得出的值，继而求出组对应的频率，再根据频率之和等于1求出的值；
（2）总人数乘以的值求出组对应的频数，从而补全图形；
（3）根据已知数据补全统计图，再找出第20个数和第21个数，求出平均数即为中位数；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
解：由题意知等级的频数，
则组对应的频率为，
，
，
故答案为：、；
【小问2详解】
解：D组对应的频数为，
补全图形如下：
【小问3详解】
解：40名同学视力的中位数是，
故答案为：4.55；
【小问4详解】
解：估计该校九年级学生视力为“级”的有（人）；
答：该校九年级学生视力为“E级”约有300人．
【点睛】本题考查条形统计图和样本估计总体，解题的关键是读懂题意，掌握中位数概念，能用样本估计总体．
22. 为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买《论语》和《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如下表：
（1）《论语》和《弟子规》每本的价格分别是多少元？
（2）若学校计划购买《论语》和《弟子规》两种图书共100本，《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】（1）《论语》每本的价格为20元，《弟子规》每本的价格为15元
（2）最省钱的购买方案是购买《论语》图书的数量为34本，购买《弟子规》图书的数量为66本，此方案的总费用为1670元
【解析】
【分析】（1）设《论语》每本的价格为元，《弟子规》每本的价格为元，再根据购买信息表建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买《论语》图书的数量为本，则购买《弟子规》图书的数量为本，先根据“《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍”求出的取值范围，再设购买方案的总费用为元，求出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得．
【小问1详解】
解：设《论语》每本的价格为元，《弟子规》每本的价格为元，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：《论语》每本的价格为20元，《弟子规》每本的价格为15元．
【小问2详解】
解：设购买《论语》图书的数量为本，则购买《弟子规》图书的数量为本，
由题意得：，
解得，
设购买方案的总费用为元，
则，
由一次函数的性质可知，当时，随的增大而增大，
因为是正整数，
所以当时，取得最小值，最小值为，
答：最省钱的购买方案是购买《论语》图书的数量为34本，购买《弟子规》图书的数量为66本，此方案的总费用为1670元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和一次函数是解题关键．
23. 如图，等腰的直角顶点与平面直角坐标系的原点重合，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点．
（1）试猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，求当点的纵坐标分别为1和2时，等腰的面积；
（3）请直接写出当时，等腰的面积的最小值_________．
【答案】（1），理由见解析
（2），
（3）2
【解析】
【分析】（1）分别过点，向轴作垂线，垂足为，．由已知可证得．有，．由反比例函数的性质可知，，．从而有．由点位于第二象限，点位于第一象限，可得其关系．
（2）当，点的纵坐标为1时，得点的横坐标为2．点的纵坐标为2时，得点的横坐标为1．勾股定理可得．从而求得等腰的面积；
（3）过点作轴，轴，垂足分别是，．有四边形是矩形，且面积为定值2．当四边形为正方形时，的值最小，且最小值为2．由此可求得的面积的最小值．
【小问1详解】
解：．理由如下：
如图，分别过点，向轴作垂线，垂足为，．
∵，
∴．
在与中，，
，，
∴．
∴，．
由反比例函数的性质可知，，．
∴．
又∵点位于第二象限，点位于第一象限，
∴，．
∴．
【小问2详解】
解：当，点的纵坐标为1时，得点的横坐标为2．
如图，在中，由勾股定理可得．
∴．
当，点的纵坐标为2时，得点的横坐标为1．
在中，由勾股定理可得．
∴．
【小问3详解】
解：过点作轴，轴，垂足分别是，．
则四边形是矩形，且面积为定值2．
所以，
又，
所以当时，OB取得最小值，
则当四边形为正方形时，的值最小，且最小值为2．
∴的面积的最小值为．
【点睛】本题考查反比例函数的性质和几何意义，关键在于利用反比例函数的性质和几何意义求得三角形的边长以及其面积与反比例函数的k的关系.
24. 如图，已知是的直径，点C为上一点，点D在AB的延长线上，且，过点B作于点H．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）连接，根据是的直径，得出，根据半径相等可得，继而得到，，即可得证；
（2）根据已知得出进而求得，根据，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
是的直径，
，
，
，
又，
半径于C，
∴是的切线
【小问2详解】
解：的半径为，
，
，
，
，
，
的长是．
25. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k值；
（2）当次方程有一根为零时，直线与关于x的二次函数的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．
【答案】（1）1，2；（2），M（，）；（3）b=1或=．
【解析】
【详解】试题分析：（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；
（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；
（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△==，∴，∴k＜3，∵k为正整数，∴k为1，2；
（2）把x=0代入方程得k=1，此时二次函数为，此时直线与二次函数的交点为A（﹣2，0），B（1，3），由题意可设M（m，m+2），其中，则N（m，），MN===，∴当时，MN的长度最大值为，此时点M的坐标为（，）；
（3）当过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），把A（﹣2，0）代入得b=1，当与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点，由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为，∴有一组解，此时有两个相等的实数根，则所以=，综上所述b=1或=．
考点：二次函数综合题．最
美
济
南
最
（最，美）
（最，济）
（最，南）
美
（美，最）
（美，济）
（美，南）
济
（济，最）
（济，美）
（济，南）
南
（南，最）
（南，美）
（南，济）
等级
视力（x）
频数
百分比
A
x